遼寧省鞍山市2024年高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷

遼寧省鞍山市2024年高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z=2?mi2+i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A．?1 B．?4 C．1 D．42．已知直線(xiàn)l：x?y?2=0，點(diǎn)C在圓(x?1)2+y2A．322+1 B．522 3．已知非零向量a，b滿(mǎn)足|a|=2|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是2bA．23 B．26 C．224．設(shè)l，m是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，若l?α，α//β，則“m⊥l”是“m⊥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．在某次美術(shù)專(zhuān)業(yè)測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，則測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下，乙沒(méi)有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的概率為()A．126 B．513 C．586．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為aA．355 B．275 C．57．針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”，校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的45，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)35，若有附表：

P(

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

k

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828附：KA．20 B．30 C．35 D．408．已知α，β均為銳角，sinα=3sinβcos(α+β)，則tanα取得最大值時(shí)，tan(α+β)A．2 B．3 C．1 D．2二、多選題9．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．當(dāng)ω>0時(shí)，ω的取值范圍是0<ω≤B．當(dāng)ω<0時(shí)，ω的取值范圍是?C．當(dāng)ω>0時(shí)，ω的取值范圍是0<ω≤D．當(dāng)ω<0時(shí)，ω的取值范圍是?10．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，是棱AA1，A1D1，B1C1，A．過(guò)M，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形B．三棱錐A1C．當(dāng)λ=12時(shí)，AC//D．當(dāng)λ=1時(shí)，三棱錐A1?MEF11．在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|為點(diǎn)A(x1,y1)到點(diǎn)B(xA．d(O,Q)的最小值為2 B．d(O,P)的最大值為2C．d(P,Q)的最小值為52 D．d(R,Q)的最小值為三、填空題12．已知圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)與底面所成的角為60°，則該圓錐的表面積為．13．f(x)=x2e14．已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，PF⊥x軸于點(diǎn)F，且四、解答題15．鞍山市普通高中某次高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試后，將化學(xué)成績(jī)按賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換為等級(jí)分?jǐn)?shù)(賦分后學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于30至100之間).某校為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的化學(xué)等級(jí)分?jǐn)?shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，將分?jǐn)?shù)按照[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，（1）求頻率分布直方圖中m的值，并估計(jì)這50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三組中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記ξ為16．如圖1，在平面五邊形ABCDE中，AE//BD，且DE=2，∠EDB=60°，CD=BC=7，cos∠DCB=57，將△BCD沿BD折起，使點(diǎn)C到P的位置，且EP=3（1）求證：PE⊥平面ABDE；（2）若AE=1，求平面PBA與平面PBD所成銳二面角的余弦值．17．已知函數(shù)f(x)=12a（1）若曲線(xiàn)y=f(x)在x=2處的切線(xiàn)與y軸垂直，求實(shí)數(shù)a的值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．18．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x24+y2b2=1的左頂點(diǎn)為M，A(x1,y1（1）求b的值；（2）若△OAB的面積為1，求x12+（3）在(2)的條件下，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，求|OD|?|AB|的最大值．19．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知（1）證明：{an2（2）設(shè)bn=log3(an（3）高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，用他名字定義的函數(shù)稱(chēng)為高斯函數(shù)f(x)=[x]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[2.3]=2，[?1.9]=?2，設(shè)cn=[an+2n4]，數(shù)列{

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閦=(2-mi)(2-i)(2+i)(2-i)=(4-m)-(2m+2)i5是純虛數(shù)，

所以4-m=02m+2≠0解得2．【答案】C【解析】【解答】解：由x-12+y2=2得圓心為M(1,0)，半徑r=2，

所以點(diǎn)M到直線(xiàn)l：x-y-2=0的距離d=1-0-22=22，

3．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)a與b夾角為θ，向量a在向量b方向上的投影向量是2b，

則a→cosθ×b→|b→|=2b→,|4．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閘?α，α//β，由m⊥l，不一定得出m⊥α，所以不一定m⊥β，

則"m⊥l"是"m⊥β"的不充分條件；

若m⊥β，α//β，可得m⊥α，又因?yàn)閘?α，可得m⊥l，所以"m⊥l"是"m⊥β"的必要條件，

所以"m⊥l"是"m⊥β"的必要不充分條件.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)面面平行性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件定義，即可判斷.5．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)分別為事件A，B，C，三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件D，P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(C)=0.5

則P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.6x(1-0.8)x1-0.5+(1-0.6)x0.8x(1-0.5)+1-0.6x(1-0.8)x0.5=0.26

6．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)?+525=1321+55

=132C50×50+C51×7．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：設(shè)男生可能有必人，[由被調(diào)查的男女生人數(shù)相同知女生也有必人，填寫(xiě)列表如下：喜歡抖音不喜歡抖音總計(jì)男生4515x女生3525x總計(jì)75352x若有90%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則K2>2.706，

即K2=2x45x·25x-358．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)?，B均為銳角，sinα=3sinβcos(α+β)，

則sin[(α+β)-β]=3sinβcos(α+β)，

即sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=3sinβcos(α+β)，

即sin(α+β)cosβ=4sinβcos(α+β)，

即tan(α+β)=4tanβ>0，

則tanα=tan(α+β)-9．【答案】A,D【解析】【解答】根據(jù)題意，易知T2≥π，即T≥2π，因此當(dāng)ω>0時(shí)，0<ω≤1，因?yàn)?<x<π，所以π6又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ωx+π6)解得0<ω≤1當(dāng)ω<0時(shí)，?1≤ω<0，因?yàn)?<x<π，所以π6又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ωx+π6)解得0>ω≥?2故答案為：AD.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的周期性和單調(diào)性，逐項(xiàng)進(jìn)行分析，可得答案。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)λ=0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)H重合過(guò)M，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，如圖所示：

所以過(guò)M，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形，故A正確；

對(duì)于B，HM→=λHG→，點(diǎn)M是線(xiàn)段GH的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

由于正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，GH?平面BCC1B1，

所以GH∥平面ADD1A1，點(diǎn)M到平面ADD1A1的距離為定值.

而S△EFA1=12，三棱錐VM-EFA1是定值，

VM-EFA1=VA1-MEF，三棱錐A1-MEF的體積為定值，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)λ=12時(shí)，點(diǎn)M為GH中點(diǎn)，由于AC∥EH,EH?平面MEF,AC?平面MEF

所以AC與平面MEF不平行，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D，當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)M與G重合，△11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A：設(shè)Q(x,25-2x)，則d(O,Q)=x+2|5-x|≥|x|+5-x≥x+5-x=5

(當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取"=")，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：設(shè)P(x,y)，則x2+y2=1，則d(O,P)=x+y≤2(x2+y)=2，故B正確；

對(duì)于C：設(shè)P(cosθ,sinθ)，Q(x,25-2x)，

則d(P,Q)=cosθ-x+12．【答案】12π【解析】【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的底面半徑為2.母線(xiàn)與底面所成的角為60°如圖，

OA=2，∠SAO=60°

則SA=OAcos60°=4，故該圓錐的側(cè)面積S1=πrl=8π，其底面面積S2=πr’=4π，

故該圓錐的表面積S=S1+S2=12π.

故答案為：12π.

【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)與底面所成的角為13．【答案】4【解析】【解答】解：由f(x)=x2e?x，得f'x=2xe-x-x2e-x令f'x=0，則x=0或x=2，

當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f'14．【答案】5【解析】【解答】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，所以A1(-a,0)，A2(a,0)，

設(shè)F(c，0)，因?yàn)镻F⊥x軸于點(diǎn)F，且PF→=2QF→，

所以Q為PF的中點(diǎn)，且PF⊥A1F，設(shè)QF=h，則PF=2h

在直角三角形A1QF中，tan∠A115．【答案】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得：(0.002+0.004+m+0.020+0.03+0.028+0.004)×10=1，解得m=0.012；設(shè)中位數(shù)為x0，由0.26<0.5<0.56x0∈[60,70解得x0=68，即這50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為（2）分?jǐn)?shù)在[70,80)的7人，在[80,90)的3人，ξ可取值的集合為{0,1則P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=C所以ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

3

P

56

28

8

1ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×56【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)計(jì)算m的值，由中位數(shù)的定義求得中位數(shù)；

(2)由分層抽樣得分?jǐn)?shù)在(70，80)的7人，[80，90)的3人，[90，100]的1人，ξ可取值的集合為{0,116．【答案】（1）證明：在△BCD中，CD=BC=7，cos由余弦定理可得BD所以BD=2，又因?yàn)镈E=2，∠EDB=60°，所以△BDE為正三角形，設(shè)BD中點(diǎn)為F，連接EF，PF，因?yàn)椤鰾DE為正三角形，所以BD⊥EF，因?yàn)镻D=BP，所以BD⊥PF，又EF?面PEF，PF?面PEF，EF∩PF=F，所以BD⊥面PEF，又因?yàn)镻E?面PEF，所以BD⊥PE，在△BDE中，EF=E在△PFD中，PF=P又因?yàn)镋P=3由勾股定理可得PE⊥EF，又因?yàn)镋F?面ABDE，BD?面ABDE，EF∩BD=F，所以PE⊥面ABDE．（2）因?yàn)锳E//BD，所以AE⊥EF，再由PE⊥面ABDE，PE⊥AE，PE⊥EF，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EF，EP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：A(1,0,0)，B(1,3,0)，F(xiàn)(0,3設(shè)平面PAB的法向量為n1因?yàn)锳B=(0,3,0)由n1??所以3y解得y1=0，令z1解得平面PAB的一個(gè)法向量n1設(shè)平面PDB的法向量n2因?yàn)镻B=(1,3,?所以PB?令y2=1，則z2所以平面PDB的一個(gè)法向量n2設(shè)所求銳二面角為θ，則cosθ=|n整理可得cosθ=2所以平面PBA與平面PBD所成銳二面角的余弦值為24【解析】【分析】(1)利用余弦定理求出BD，BE，根據(jù)線(xiàn)面垂直判定及性質(zhì)，證得BD⊥PE，由勾股定理證明PE⊥EF，利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明.

(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EF，EP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和平面PBA與平面PBD法向量的坐標(biāo)，由向量的夾角公式求得兩法向量夾角余弦即為平面PBA與平面PBD所成銳二面角的余弦值.17．【答案】（1）由f(x)=1得f'因?yàn)樵趚=2處的切線(xiàn)與y軸垂直，所以f'(2)=a?1=0，解得（2）由(1)知，f'①當(dāng)a≤0時(shí)，由f'(x)>0，得0<x<1，由f'所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間②當(dāng)a>0時(shí)，分以下三種情況：(i)若a=2，則f'所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；(ii)若0<a<2，令f'(x)>0，得0<x<1或x>2a；令所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，(2(iii)若a>2，令f'(x)>0，得0<x<2a或x>1，令所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2a),(1,+∞)綜上，a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間0<a<2，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，(2a=2，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；【解析】【分析】(1)先對(duì)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得出曲線(xiàn)y=f(x)在x=2處的切線(xiàn)斜率，再根據(jù)曲線(xiàn)y=f(x)在x=2處的切線(xiàn)與y軸垂直，列方程求出a的值即可.

(2)對(duì)f(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)，分a≤0和a>0兩種情況，判斷f(x)的單調(diào)性，即可求解.18．【答案】（1）由OB=λOC可知，B，O，再由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，B，C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，即x3=?x易知M(?2,0)，由直線(xiàn)MB和直線(xiàn)MC的斜率之積為y2x2+2??y再由x224+y22故b2=1，所以（2）若x1=x2，即直線(xiàn)△OAB的面積為1，即12|x故x22=所以x12+若x1≠x2，即直線(xiàn)AB斜率存在，設(shè)直線(xiàn)代入橢圓方程得x24+(kx+m)2=1，所以x1由韋達(dá)定理可知，當(dāng)Δ=(8km)2?4(4x1+x|x△OAB的面積為1，即12整理得4k2+1=2即x12+綜上，x12+（3）