2023高考文科數(shù)學一輪復習(配北師版)第8章-立體幾何-高考解答題專項四-立體幾何中的綜合問題

高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI立體幾何中的綜合問題高考解答題專項四2023考情分析從近五年的高考試題來看,立體幾何解答題是高考的重點內容之一,每年必考,一般處在試卷第18題或者第19題上,主要考查空間線線、線面、面面的平行與垂直及空間幾何體的體積或側面積,試題以中檔難度為主.著重考查推理論證能力和空間想象能力以及轉化與化歸思想,幾何體以四棱柱、四棱錐、三棱柱、三棱錐等為主.增素能精準突破考向1.平行、垂直關系的證明例1.(2021四川九市二模)在如圖所示的多面體中,四邊形ABCD是正方形,

A,D,E,F四點共面,AF∥平面CDE.(1)求證:BF∥平面CDE;(2)若AD=DE=3,AF=1,EF=

,求證:AD⊥平面CDE.證明:(1)因為ABCD是正方形,所以AB∥CD.又AB?平面CDE,CD?平面CDE,所以AB∥平面CDE.因為AF∥平面CDE,AF∩AB=A,AF?平面ABF,AB?平面ABF,所以平面ABF∥平面CDE.又BF?平面ABF,所以BF∥平面CDE.(2)在平面ADEF中,作FG∥AD交DE于點G,因為AF∥平面CDE,AF?平面ADEF,平面ADEF∩平面CDE=DE,所以AF∥DE.又因為FG∥AD,所以四邊形ADGF為平行四邊形.所以DG=AF=1,FG=AD=3,EG=DE-DG=2.因為EF=,所以EF2=FG2+EG2,所以∠FGE=90°,所以FG⊥DE,所以AD⊥DE.又由AD⊥DC,DE∩DC=D,DE?平面CDE,DC?平面CDE,所以AD⊥平面CDE.解題心得立體幾何中線線、線面、面面的平行、垂直關系在一定條件下既可以縱向轉化(線線平行、線面平行、面面平行之間的轉化或線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化),也可以橫向轉化(主要有由線線平行轉化為線面垂直、線面垂直轉化為線線平行、面面平行),解題時要認真審題,根據(jù)題設與定理合理轉化,解決問題.對點訓練1如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點,求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.證明:(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個平面的交線AD,PA?平面PAD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四邊形ABED為平行四邊形.∴BE∥AD.又BE?平面PAD,AD?平面PAD,∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD,而且四邊形ABED為平行四邊形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD,∴CD⊥平面PAD,又PD?平面PAD,∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點,∴PD∥EF,∴CD⊥EF.又BE⊥CD,EF∩BE=E,EF?平面BEF,BE?平面BEF,∴CD⊥平面BEF,又CD?平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.考向2.立體幾何中的體積、距離的計算問題例2.(2021黑龍江大慶一模)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,M,N分別為PC,CD的中點,PD=AD=2,AB=4.(1)求證:BN⊥AM;(2)求點P到平面AMD的距離.(1)證明:連接MN,AN,∵M,N分別為PC,CD的中點,∴MN∥PD.∵PD⊥平面ABCD,∴MN⊥平面ABCD.又BN?平面ABCD,∴MN⊥BN.而四邊形ABCD為矩形且AD=2,DN=CN=2,故AN=BN=2

,∴在△ABN中,AN2+BN2=AB2,即AN⊥BN.又MN∩AN=N,MN,AN均在平面AMN中,∴BN⊥平面AMN.又AM?平面AMN,∴BN⊥AM.(2)解:(方法1)過點P作PE⊥DM,垂足為點E.∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.∵AD⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD均在平面PCD中,∴AD⊥平面PCD.∵PE?平面PCD,∴AD⊥PE.又AD∩DM=D,AD,DM均在平面AMD中,∴PE⊥平面ADM,∴PE為點P到平面AMD的距離.(方法2)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.∵AD⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD均在平面PCD中,∴AD⊥平面PCD.∵DM?平面PCD,∴AD⊥DM.∵M為PC中點,解題心得空間位置關系的證明、幾何體體積計算、點到平面距離,這是高考對立體幾何解答題的常見考查方向.求距離或體積時常有兩種思路:一是依據(jù)線面、面面的垂直關系,確定垂線的垂足,并轉化到三角形中求解;二是由三棱錐等幾何體的特征,利用等體積變換解決問題.對點訓練2(2021江西六校3月聯(lián)考)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.(1)求證:A1C⊥CC1;(2)若AB=1,AC=,BC=,問AA1為何值時,三棱柱ABC-A1B1C1體積最大,并求此最大值.(1)證明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC,又A1B⊥BB1,A1B∩BC=B,A1B與BC均在平面A1BC中,∴BB1⊥平面BCA1,而A1C?平面BCA1,則BB1⊥A1C,又BB1∥CC1,∴A1C⊥CC1.(2)解:設AA1=x,過A作BC的垂線,垂足為D,連接A1D,∵BC⊥AA1,BC⊥A1D,AA1∩A1D=A1,AA1與A1D均在平面AA1D中,∴BC⊥平面AA1D,而A1D?平面AA1D,∵BB1⊥A1B,AA1∥BB1,∴AA1⊥A1B.又A1D?平面A1BC,∴AA1⊥A1D.考向3.立體幾何中角的計算問題例3.(2021遼寧丹東質量監(jiān)測)如圖,已知A,C是直徑為BD的球O表面上兩點,BA=BC=2.(1)證明:BD⊥AC;(2)若AC=3,二面角A-BD-C的大小為120°,求直線AD與平面AOC所成角的正弦值.(1)證明:在平面ABD內作AE⊥BD,垂足為點E,連接CE,因為A,C是直徑為BD的球面上兩點,所以∠BAD=∠BCD=90°.又因為BA=BC,BD=BD,所以Rt△BAD≌Rt△BCD,所以CE⊥BD.又AE∩CE=E,所以BD⊥平面AEC,于是BD⊥AC.(2)解:由(1)可知∠AEC是二面角A-BD-C的平面角,所以∠AEC=120°.突破技巧立體幾何關于角的計算問題,包括異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角,求異面直線所成角主要是平移法;線面角和二面角平面角主要是定義法,根據(jù)定義及幾何體特征,利用垂直關系構造角,并轉化到三角形中計算.對點訓練3如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD⊥平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(1)解:如圖,由已知AD∥BC,故∠DAP即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,(2)證明:因為AD⊥平面PDC,直線PD?平面PDC,所以AD⊥PD.又因為BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC均在平面PBC中,所以PD⊥平面PBC.(3)解:過點D作AB的平行線交BC于點F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因為PD⊥平面PBC,故PF為DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,所以四邊形ABFD是平行四邊形,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,考向4.翻折問題例4.(2021陜西渭南二模)如圖,AD,BC是等腰梯形CDEF的兩條高,AD=AE=CD=4,點M是線段AE的中點,將該等腰梯形沿著兩高AD,BC折疊成如圖所示的四棱錐P-ABCD(E,F重合,記為點P).(1)求證:BM⊥DP;(2)求點M到平面BDP的距離.(1)證明:因為AD⊥EF,所以AD⊥AP,AD⊥AB.又AP∩AB=A,AP?平面ABP,AB?平面ABP,所以AD⊥平面ABP.因為BM?平面ABP,所以AD⊥BM.由已知得,AB=AP=BP=4,所以△ABP是等邊三角形.又因為點M是AP的中點,所以BM⊥AP.因為AD⊥BM,AP⊥BM,AD∩AP=A,AD?平面ADP,AP?平面ADP,所以BM⊥平面ADP.因為DP?平面ADP,所以BM⊥DP.(2)解:取BP中點N,連接DN,BM.因為AD⊥平面ABP,AB=AP=AD=4,突破技巧翻折問題的兩個解題策略

確定翻折前后變與不變的關系畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形,分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變.一般地,位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變,而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化;對于不變的關系應在平面圖形中處理,對于變化的關系則要在立體圖形中解決確定翻折后關鍵點的位置所謂的關鍵點,是指翻折過程中運動變化的點.因為這些點的位置移動,會帶動與其相關的其他點、線、面之間位置關系與數(shù)量關系的變化.只有分析清楚關鍵點的準確位置,才能以此為參照點,確定其他點、線、面的位置,進而進行有關的證明與計算對點訓練4已知點E,F分別是正方形ABCD的邊AD,BC的中點.現(xiàn)將四邊形EFCD沿EF折起,使二面角C-EF-B為直二面角,如圖所示.(1)若點G,H分別是AC,BF的中點,求證:GH∥平面EFCD;(2)求直線AC與平面ABFE所成角的正弦值.(1)證明:連接AF,設點O為AF的中點,連接GO,OH,在△ACF中,又因為點G為AC中點,所以OG∥CF.因為OG?平面EFCD,CF?平面EFCD,所以OG∥平面EFCD.同理可證得OH∥AB,又因為E,F分別為正方形ABCD的邊AD,BC的中點,故EF∥AB,所以OH∥EF.因為OH?平面EFCD,EF?平面EFCD,所以OH∥平面EFCD.又因為OH∩OG=O,OH,OG均在平面GOH中,所以平面GOH∥平面EFCD.又因為GH?平面GOH,所以GH∥平面EFCD.(2)解:因為四邊形ABCD為正方形,E,F分別是AD,BC的中點,所以四邊形EFCD為矩形,則CF⊥EF.又因為二面角C-EF-B為直二面角,平面EFCD∩平面ABFE=EF,CF?平面EFCD,所以CF⊥平面ABFE,則AF為直線AC在平面ABFE內的射影,因為∠CAF為直線AC與平面ABFE所成的角.考向5.立體幾何中的探索性問題例5.如圖,AC是☉O的直徑,點B是☉O上與A,C不重合的動點,PO⊥平面ABC.(1)當點B在什么位置時,平面OBP⊥平面PAC,并證明;(2)請判斷,當點B在☉O上運動時,會不會使得BC⊥AP,若存在這樣的點B,請確定點B的位置;若不存在,請說明理由.解:(1)當OB⊥AC時,平面OBP⊥平面PAC,證明如下:∵OP⊥平面ABC,OP?平面ACP,∴平面ACP⊥平面ABC,∵OB⊥AC,平面APC∩平面ABC=AC,OB?平面ABC,∴OB⊥平面PAC.∵OB?平面OBP,∴平面OBP⊥平面PAC.(2)假設存在點B,使得BC⊥AP,∵點B是☉O上的動點,∴BC⊥AB,又BC⊥AP,AB?平面PAB,AP?平面PAB,AB∩AP=A,∴BC⊥平面PAB.∵PB?平面PAB,∴BC⊥BP.突破技巧1.對于線面關系中的存在性問題,首先假設存在,然后在該假設條件下,利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證,尋找假設滿足的條件,若滿足,則肯定假設,若得出矛盾的結論,則否定假設.2.對命題條件探索的三種途徑途徑一:先猜后證.途徑二