第一部分-第一章-§4-數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用教學(xué)幻燈片

§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第一章數(shù)列考點(diǎn)一考點(diǎn)三4考點(diǎn)二2011年8月某人存入銀行1000元，年利率為3.50%.問(wèn)題1：如果按照單利，第五年末的本利和是多少？提示：本利和為：1000＋1000×3.50%×5＝1175(元)．問(wèn)題2：如果按照復(fù)利，第五年末的本利和是多少？提示：設(shè)各年的本利和為數(shù)列{an}，a0＝1000，r＝3.50%，a1＝1000×1.035，a2＝1000×1.0352，…，a5＝1000×1.0355≈1187.7(元)．單利和復(fù)利單利單利的計(jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為利息＝

若以符號(hào)P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金與利息和，則有S＝

復(fù)利把上期末的本利和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為S＝

本金×利率×存期P(1＋nr)P(1＋r)n1．零存整取模型所謂零存整取，是指開(kāi)戶時(shí)約定存期，分次每月固定存款金額，到期一次支取本利和的一種個(gè)人存款．對(duì)于零存整取，在計(jì)算利息時(shí)，每次存入的錢不計(jì)復(fù)利．這種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)按單利利息．每期的本利和組成等差數(shù)列，它就是等差數(shù)列模型．2．定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型所謂定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存，是指儲(chǔ)戶與銀行約定在存款到期日自動(dòng)將本利和按原存期轉(zhuǎn)入下一個(gè)存款周期，定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，在計(jì)算利息時(shí)，以復(fù)利計(jì)算，是等比數(shù)列模型．

3．分期付款模型：分期付款是一種新的付款方式，就是可以不一次性將款付清，就使用商品(或貸款)，還款時(shí)可以分期將款逐步還清．[例1]某單位用分期付款的方式為職工購(gòu)買40套住房，共需1150萬(wàn)元，購(gòu)買當(dāng)天先付150萬(wàn)元，以后每月這一天都交付50萬(wàn)元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150萬(wàn)元后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢？全部按期付清后，買這40套住房實(shí)際花了多少錢？

[思路點(diǎn)撥]明確儲(chǔ)蓄類型，構(gòu)建等差數(shù)列求解．

[精解詳析]

因購(gòu)房時(shí)付150萬(wàn)元，則欠款1000萬(wàn)元，依題意分20次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an}．則a1＝50＋1000×1%＝60，

a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，

a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，

a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，

…[一點(diǎn)通]

分期付款是一種常見(jiàn)的付款方式，與存款中的“零存整取”，都屬于等差數(shù)列模型．解題的關(guān)鍵是確定首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)．1．某人從1月起每月第一天存入100元，到12月最后一

天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按

單利計(jì)息，那么實(shí)際取出多少錢？解：實(shí)際取出的錢等于：本金＋利息．到12月最后一天取款時(shí)：第一個(gè)月存款利息：100×12×0.165%第二個(gè)月存款利息：100×11×0.165%…[例2]某大學(xué)張教授年初向銀行貸款20萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行貸款的年利息為10%，按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息)．若這筆款要分10次等額還清，每年年初還一次，并且在貸款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)還多少萬(wàn)元？(參考數(shù)據(jù)1.110≈2.594)[思路點(diǎn)撥]認(rèn)真分析理解題意，構(gòu)造等比數(shù)列模型解決問(wèn)題．[精解詳析]法一：設(shè)每年還款x萬(wàn)元，需10年還清，那么各年還款利息情況如下：第10年付款x萬(wàn)元，這次還款后欠款全部還清；第9年付款x萬(wàn)元，過(guò)一年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(1＋10%)萬(wàn)元；第8年付款x萬(wàn)元，過(guò)2年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(1＋10%)2萬(wàn)元；

…法二：第1次還款x萬(wàn)元之后還欠銀行20(1＋10%)－x＝20×1.1－x，第2次還款x萬(wàn)元后還欠銀行[20(1＋10%)－x](1＋10%)－x＝20×1.12－1.1x－x，…[一點(diǎn)通]本題屬于“復(fù)利”問(wèn)題，是等比數(shù)列模型．根據(jù)還款的本利和等于貸款的本利和，建立方程是解題的關(guān)鍵．2．某人從2011年1月1日起，每年這一天到銀行存一

年定期a元，若年利率r保持不變，且每年到期的存款將本和利都再存入新一年的定期，到2015年1

月1日，將所有的存款利息全部取回，他可取回

的錢數(shù)為_(kāi)_______．[例3]

(12分)某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前年多獲利5千元，兩種方案，使用期限都是十年，到期一次性歸還本息，若銀行貸款利息按年息10%的復(fù)利計(jì)算，比較兩種方案，哪個(gè)獲利更多？(計(jì)算數(shù)據(jù)精確到千元1.110≈2.594，1.310≈13.786)[思路點(diǎn)撥]分清兩種方案分別屬于什么數(shù)列模型，然后分別建立不同數(shù)列模型解決．1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(萬(wàn)元)，乙方案凈獲利32.50－17.53≈15.0(萬(wàn)元)．

(11分)比較兩方案可得甲方案獲利較多．

(12分)[一點(diǎn)通]解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是讀懂題意，從實(shí)際問(wèn)題中提煉出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，分清是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決．本題方案甲屬等比數(shù)列模型，方案乙則屬于等差數(shù)列模型．3．某市2011年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平

方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每

年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%，另外，每

年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50

萬(wàn)平方米，那么到哪一年底：(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2011年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米？(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36，1.085≈1.47,1.086≈1.59)(2)設(shè)新建住房面積成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列．其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400×1.08n－1，由題意可知an>0.85bn，則有250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85，即5n＋20>34×1.08n－1.則n≥6.故到2016年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.1