山西省2024屆高三上學(xué)期優(yōu)生聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第25頁/共25頁山西省優(yōu)生聯(lián)考2023-2024學(xué)年上學(xué)期1月考試高三數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?故選：B2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，最后根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，等價(jià)于，解得或，所以，又，所以.故選：C3.第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，時(shí)值中秋和國慶假期，某班同學(xué)利用假期在家通過網(wǎng)絡(luò)直播觀看比賽.已知該班有30名學(xué)生喜歡看排球比賽，40名同學(xué)喜歡看籃球比賽，50名同學(xué)喜歡看排球比賽或籃球比賽，若從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出喜歡觀看兩種比賽的人數(shù)，再用古典概率求解即可.【詳解】設(shè)有人兩種比賽都喜歡，則有人只喜歡看排球比賽，人只喜歡看籃球比賽，所以有，解得人，所以從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為.故選：B4.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即與的夾角為.故選：D5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長的最小值為（）．A.13 B.12 C.10 D.8【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線取得最小值.【詳解】，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則.故選：A.6.已知、是兩個(gè)平面，直線，，若以①；②；③中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確的命題有（）A.①③②；①②③ B.①③②；②③①C.①②③；②③① D.①③②；①②③；②③①【答案】A【解析】【分析】對(duì)三個(gè)命題逐個(gè)分析，可采用判定定理、定義、作圖的方法進(jìn)行說明，由此可確定出正確選項(xiàng).【詳解】（1）證明：①②③為真命題因?yàn)?，，設(shè)平行于內(nèi)一條直線，所以，根據(jù)面面垂直的判定定理可知：，所以①②③為真命題；（2）證明：①③②為真命題因?yàn)?，，所以或，又因?yàn)?，所以，所以①③②為真命題；（3）證明：②③①為假命題作出正方體如下圖所示：記直線為，平面為，平面為，所以，，但，所以②③①為假命題；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中關(guān)于線、面的命題的真假判斷，主要考查學(xué)生對(duì)空間中位置關(guān)系的理解，難度一般.說明位置關(guān)系不成立也可以舉反例.7.已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，若將的圖象向左至少平移個(gè)單位長度后可得到的圖象，則（）A.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.C.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】先設(shè)，，從而根據(jù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到方程，求出，A選項(xiàng)，根據(jù)，得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，化簡得到B正確；C選項(xiàng)，利用整體法判斷函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)，由得到D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，可設(shè)，，因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，則，解得，由于，，故的最小值為，因?yàn)榈膱D象向左至少平移個(gè)單位長度后可得到的圖象，所以，解得，則.對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以不是奇函?shù)，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，由，得，又在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故不是圖象的對(duì)稱中心，D錯(cuò)誤.故選：B.8.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù).設(shè)初始正方形的邊長為，依次構(gòu)造出的小正方形（含初始正方形）的邊長構(gòu)成數(shù)列，若的前n項(xiàng)和為，令，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，再根據(jù)集合新定義確定，再由不等式恒成立分類討論時(shí)列不等式和時(shí)列不等式求出對(duì)應(yīng)的值取并集即可.【詳解】因?yàn)榈那皀項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列滿足，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，而是遞增數(shù)列；，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，所以是數(shù)列中的最小項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，則，即，解得，取并集可得，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中集合新定義是取較大者，這樣就轉(zhuǎn)化成比較和的大小問題了，利用已知求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式再比較大小可確定，最后由不等式恒成立，列不等式組求出參數(shù)范圍即可.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列代數(shù)式的值為的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷A選項(xiàng)；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判斷B選項(xiàng)；利用二倍角的正弦公式可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，；對(duì)于B選項(xiàng)，；對(duì)于C選項(xiàng)，；對(duì)于D選項(xiàng)，.故選：BCD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故，又因，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.是周期為的周期函數(shù) B.C.當(dāng)時(shí)， D.【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項(xiàng)；由可得的值，可計(jì)算出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性求出函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)周期性的定義可求出所求代數(shù)式的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，則，故是周期為的周期函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，在等式中，令可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，解得，故當(dāng)時(shí)，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)，可知，，則，且，所以，，因，故，D對(duì).故選：ABD.12.在長方體中，，E是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，E，的平面交棱于點(diǎn)F，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)P，使得C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.三棱錐外接球的表面積的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用面面平行的性質(zhì)，得到平面，從而可判斷出選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)存在，可推出平面，從而判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，利用線面角的定義，找出線面角為，從而在中，求出的值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，根?jù)面面平行的性質(zhì)，平面與這兩個(gè)平面的交線互相平行，即，因?yàn)槊妫?，所以平面，又點(diǎn)P在線段上，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，若存在點(diǎn)P，使得，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，平?所以平面，與題意矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖1所示，取的中點(diǎn)Q，連接，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影在上，直線與平面所成角即，且有，由已知可得，最小為，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于D，如圖2，取的中點(diǎn)G，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)指數(shù)運(yùn)算求出的值，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)求得值，代入求出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以．故答案為?14.已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則________________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)切線的斜率求出切點(diǎn)，再代入切線方程即可得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，由題意可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以，所以切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.15.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見.某學(xué)習(xí)小組通過單光源實(shí)驗(yàn)來演示月球背面.由光源點(diǎn)射出的兩條光線與分別相切于點(diǎn)、，稱兩射線、上切點(diǎn)上方部分的射線與優(yōu)弧上方所夾的平面區(qū)域(含邊界)為圓的“背面”.若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓處于的“背面”，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出，即可得到直線、的方程，從而求出的取值范圍，當(dāng)圓與圓外切且圓與（或）相切時(shí)，取最大值，從而求出的最大值，即可得解.【詳解】如圖設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，所以，解得，所以直線的方程為，即，令，解得，直線的方程為，即，令，解得，因?yàn)閳A處于圓的“背面”，所以，當(dāng)圓與圓外切且圓與（或）相切時(shí)，取最大值，由圓與圓外切得，圓與相切時(shí)，又，所以，所以，即，解得或，結(jié)合，所以，所以的最大值為，同理圓與相切時(shí)的最大值為，綜上可得的最大值為.故答案為：16.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積__________.【答案】2【解析】【分析】先利用平面向量加法的法則和雙曲線的性質(zhì)求出和的邊長，再分別利用余弦定理聯(lián)立可得，最后根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故由得，又因?yàn)椋?，在中，，在中，，所以，解得，所以，所以雙曲線方程為，則，設(shè)，，，所以，故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求出的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，可求得的值，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，則，解得，所以，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.【小問2詳解】解：因?yàn)?，則，①可得，②①②得，故.18.已知中，角所對(duì)的邊分別為.（1）求；（2）設(shè)是邊上的點(diǎn)，且滿足，求內(nèi)切圓的半徑.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式求解結(jié)果；（2）在中根據(jù)余弦定理得出關(guān)于邊長的一個(gè)關(guān)系，再由兩邊平方得出另一個(gè)方程，聯(lián)立解出邊長，再由的面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求得結(jié)果.【小問1詳解】已知，由正弦定理得，又，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?【小問2詳解】如圖所示：在中根據(jù)余弦定理得，即，①又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，將兩邊平方并整理得，②?lián)立①②得到，所以，，所以，.所以的面積為.設(shè)其內(nèi)切圓半徑為，則，解得，所以內(nèi)切圓的半徑為.19.2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)．為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．（ⅰ）利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長超過10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，．若，則．【答案】（1）9，1.64；（2）（?。?.7734，（ⅱ）0.994，4.532.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式直接求解即可.

（2）（?。┯桑?）可得由題知，，所以，則可得答案.

（ⅱ）（?。┲?則從而可得答案.【詳解】解：（1）．．（2）（ⅰ）由題知，，所以，．所以．（ⅱ）由（?。┲?，可得．．故的數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和方差以及根據(jù)正態(tài)分布求概率和二項(xiàng)分布問題，解答本題的關(guān)鍵是將問題“從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長超過10小時(shí)的人數(shù)”，轉(zhuǎn)化為得到，屬于中檔題.20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面的面積為4，且四棱錐的體積為.（1）求點(diǎn)到平面的距離;（2）若平面平面，側(cè)面是正方形，為中點(diǎn)，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由棱柱及棱錐的體積公式，結(jié)合等體積法即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由三棱柱知，四邊形是平行四邊形，所以，所以，由三棱柱知四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為2；【小問2詳解】取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以，又平面平面，則平面，且是正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向，過點(diǎn)作軸平行，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫嫫矫妫沂钦叫?，則平面，由（1）可知，，，則，，，，，且為的中點(diǎn)，則，所以，設(shè)平面法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由離心率及焦距求出、，從而求出；（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論當(dāng)、時(shí)的情況，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡計(jì)算即可求解.【小問1詳解】依題意可得，所以，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線