中農(nóng)大地下水動力學講義02滲流理論基礎

第二章滲流理論基礎

本章所討論的都是滲流理論的基本概念和基本定律。是以后各章所討論的基礎。沒

有建立正確的概念，沒有牢固地掌握基本定律，就不可能獨立地創(chuàng)造性地分析問題和解

決問題。

第一節(jié)滲流的基本概念

地下水存在于巖層的孔隙、裂隙和溶洞中，并在其中運動。地下水動力學中，把固

體骨架和相互溝通的孔隙和裂隙（包括溶蝕裂隙等）兩部分組成的整體稱為空隙介質(zhì)。

通常，我們所指的空隙介質(zhì)包括多孔介質(zhì)和裂隙介質(zhì)。

賦存地下水的孔隙巖層稱為多孔介質(zhì)。

賦存地下水的裂隙巖層稱為裂隙介質(zhì)。

一.滲透與滲流

重力地下水在多孔介質(zhì)和裂隙介質(zhì)中的運動稱為滲透。它沒有方向性。

滲入：重力地下水在非飽和帶中由上向下的垂直運動。它具有方向性。

由于固體骨架排列的隨機性，造成空隙的大小、形狀、延伸方向及相互排列等沒有

一定的規(guī)律，致使地下水在其中的運動極其復雜，不僅在不同的空隙中地下水的運動方

向、速度不同，就是在同一空隙的不同部位，其運動速度也不一樣。那么，我們怎樣來

研究地下水在空隙介質(zhì)中這種復雜的運動規(guī)律呢？顯然，研究個別孔隙和裂隙中的地下

水運動特征不僅難而且實用價值也不大。但是，當我們把大量的地下水微觀運動進行宏

觀研究時，即研究巖層內(nèi)地下水的平均運動，我們就可以尋找出地下水運動的平均性質(zhì)

M滲誘知律c

,首先，.我們對實際地下水流進行概化：

1.不考慮骨架，認為空隙及骨架所占據(jù)的空間全部都可以為水流所充滿；

2.不考慮地下水實際運動途徑的迂回曲折，運動方向多變，只考慮運動的總體方向。

通過對這一假想水流的研究來達到了解真實水流平均滲透規(guī)律的目的。為了使這種

假想水流準確、如實地反映真實水流的特征，它還必須滿足下述條件：

1.它通過任一斷面的流量應與真實水流通過同一斷面的流量相等；

2.它在某斷面上的壓力或水頭應等于真實水流的壓力或水頭；

3.它在任意巖層體積內(nèi)所受到的阻力應等于真實水流所受到的阻力。

滿足上述條件的這種假想水流稱為滲透水流，簡稱滲流。

滲流所占有的空間區(qū)域稱為滲流場。

由于滲流在滲流場內(nèi)是連續(xù)的，從而可利用數(shù)學分析這一有力的工具來研究滲流問

題。

在符合上述條件時，滲流與真實水流有何不同呢？

二.滲流的運動要素

滲流的運動要素：描述滲流場中滲流運動特征的物理量，如滲流速度、滲流量、水

頭等。它們是時間C）和空間坐標（x,y,z）的連續(xù)函數(shù)。

1.滲流量

過水斷面一一垂直于滲流方向的巖層截面，即包括空隙的面積，也包括固體骨架所

占據(jù)的面積?？梢允瞧矫?，也可以是曲面。用W表示。

滲流量一一單位時間通過過水斷面的水量，用。表示。常用單位：加3/晝夜，或升/

秒。

2.滲流速度

地下水在空隙介質(zhì)中運動，其各個質(zhì)點的實際流速是不一樣的；設滲流過水斷面的

空隙面積為4，則定義〃=Q/M為地下水的實際流速。顯然，地下水的實際流速是各孔

隙點實際流速的平均值。

設滲流過水斷面面

積為卬(包括固體骨架

面積和空隙面積)，則定

義口=。/卬為地下水的

滲流速度。

顯然u=

w

當空隙分布均勻時,

斷面上空隙面積R與斷

面面積w之比應等于介

質(zhì)的空隙體積U與介質(zhì)

體積V之比，也就是等

于介質(zhì)的空隙率，即

_V'圖IT滲流速度與實際流速示意圖

~w~~V

因而

v=nu(1—1)

如果考慮到固體骨架表層有一層薄膜水(結合水)，它是不參加滲流的，因此上式

中的〃要用巖層的給水度〃去代替，亦即

V=JLIU(1-1,)

如圖1—L四個顆粒，三個孔隙大小不一。各孔隙的實際流速是不一樣的；孔隙大

的其最大點實際流速相應較大，反之，較小。同一孔隙中，孔隙中心的點實際流速最大，

顆粒壁上的約為零，中間過渡大體呈拋物線型。每一個孔隙都可以作其過水斷面的平均

流速；將三個孔隙的過水斷面平均流速平均后即得地下水實際流速〃，當然它也可以直

接由三個點實際流速直接平均之,最后，將地下水實際流速”對整個滲流斷面AA平均，

即可得到滲流速度八

3.滲流壓強

滲流場中任意點所具有的壓強，稱為滲流壓強。因為地球表面的壓強都是大氣壓強,

所以，在地下水動力學中，將滲流壓強與測壓計壓強等同起來，也就是說，滲流壓強通

常指的就是測壓計壓強。

4.水頭

如圖1—2。我們在承壓含水層中打?鉆孔,

其基準面取在隔水底板(水平)含水層中的水就

沿著鉆孔上升到一個高度兒。

測壓高度一一自A點到其測壓管水面的垂直

距離，hno

測壓水頭一一測壓管水面至其基準面的垂直

距離，用“〃表不，Hn-hn+z=z+—

Y

據(jù)伯諾里方程，總水頭

pu

Hrr=z+—+—

Y2g

由于在地下水的流動過程中，地下水的實際流速很小，比g要小得多，因而//2g可以

忽略不計。所以，在地下水動力學中，把某點的總水頭在數(shù)值上看作與測壓管水頭相等，

亦即：

H=(1—2)

Y

5.水力坡度

根據(jù)伯諾里方程

Pl,P2,^2^2,,

Zl+一十二--Z2+—+不一+〃卬

y2gy2g

可知，地下水的水頭線永遠是一條下降的曲線。事實上，由于地下水在滲流過程中，沿

流程要不斷克服阻力，機械能不斷地被消耗，地下水的水頭線就是一條沿流程水頭值不

斷減小的降落曲線。對潛水來說，就是潛水的浸潤曲線，對承壓水來說，就是承壓水的

壓力曲線。我們用水力坡度來描述水頭線的變化特征。

水力坡度一一通過該點單位微分滲流途徑長度上的水頭損失。

dH

［無量綱］(1—3)

dh

隨著滲流途徑增加，水頭值減小，則d"為負值，但習慣上J為正值，因此，在(1

—3)式中加一負號。

6.流線

在水力學中我們曾學習過流線的概念，在這里我們再復習一下。

流線是在給定時刻、于滲流場中人為繪制的一些曲線，曲線上各點的滲流速度向量

均與該點的曲線相切。因而流線上任一點處的切線方向也就是通過該點處的滲流的運動

方向。流線可以表征某一瞬間滲流場中任一點處的滲流的運動趨勢。

流線有以下性質(zhì)：

a.同一瞬間各流線不能相交，即通過任一點處的流線只有一條。

b.在均質(zhì)各向同性含水層的條件下，流線應是光滑的曲線，不會有急轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角。

c.流線的形狀受邊界形狀和性質(zhì)的控制。在供水邊界，流線應與邊界垂直正交;

在緊靠隔水邊界的流線與邊界彼此平行。

d.流線起著“隔水”的作用，滲流不能穿越流線運動。

7.等水頭線

滲流場中水頭值相等的各點連成的面稱為等水頭面，可為平面或曲面。它在平面上

或剖面上表現(xiàn)為等水頭線，可為直線或曲線。

在各向同性含水層中，流線（面）與等水頭線（面）正交；但在各向異性含水層中，

它們并不正交。

等水頭線（面）具有“透水”的作用。事實上，等水頭面也就是過水斷面。

8.流網(wǎng)

在滲流場中，由流線（面）與等水頭線（面）組成的網(wǎng)格稱為流網(wǎng)。在各向同性介

質(zhì)中，它是一個正交網(wǎng)格；在各向異性介質(zhì)中它就不是正交網(wǎng)格。

流網(wǎng)全面地反映了滲流運動要素的分布及變化規(guī)律。

三.滲流的分類

為了便于分析研究，對滲流可從不同角度進行分類：

1.根據(jù)滲流的運動要素隨著時間變化特征分為：穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流。

穩(wěn)定流一一滲流場中任一點處，滲流的運動要素不隨時間發(fā)生變化的滲流。

非穩(wěn)定流一一滲流場中任一點處，滲流的運動要素中只要有一個是隨著時間變化的

滲流。

運動要素以水頭”及滲流速度n為例：

穩(wěn)定流非穩(wěn)定流

H=/(x,y,z)H=/(x,y,z,r)

v=^(x,ytz)V=(p(x,y,zj)

dH八

以=0——#0

dtdt

史=0匕。

dtdt

2.根據(jù)滲流是否具有與大氣接觸的自由表面分為：有壓流和無壓流。

有壓流一一滲流不具有與大氣接觸的自由表面，這就是承壓水。

無壓流一一滲流具有與大氣接觸的自由表面，這就是潛水。

若兩隔水層間的地下水沒有充滿整個含水層，也為無壓潛水。

3.根據(jù)流線沿流程變化的緩急程度分為：緩變流和急變流。

緩變流：流線間的夾角很小，流線的曲率很小，可以近似認為流線是相互平行的直

線。它具有以下特點：

a.緩變流正同一過水斷面上各點的水頭近似相等；

b.緩變流的實際過水斷面可用平面近似代替。

不符合緩變流條件的稱為急變流，顯然上述兩個特點對它是不符合的。

區(qū)分緩變流和急變流在實際計算時是非常重要的。然而它們之間并無嚴格的判別標

準，應該根據(jù)邊界條件、流線沿程的變化特點以及計算的要求來靈活掌握和運用。

無入滲、無蒸發(fā)、無側滲的河間地塊中的地下水流一一緩變流；

井流-----種特殊的急變流。

4.根據(jù)滲流速度向量與所選坐標的關系分為：一、二、三維流。

a.一維流（線性流）：所有流線都是相互平行的直線。在滲流場中，可選擇坐標系

中任意坐標（如Ox軸）與滲流速度方向一致。

b.二維流（平面流）：所有流線與某一固定平面平行的地下水流。若固定面為鉛垂

面，則為剖面的平面流；若固定面為水平面，則為水平面的平面流。

平面流最大的特點是存在一組相互平行的流面。研究平面流，只需研究兩流面所隔

開的單位寬度（對剖面平面流）或單位厚度（對平面平面流）的滲流，即可掌握整個水

流的運動特征。

下面介紹一個概念：

單寬流量：通過單位水流寬度上的流量，用4表示。

顯然通過水流寬度為B的流量。為：

Q=qB

c.三維流（空間流）：所有流線相互之間不平行的地下水流。例如：潛水井抽水。

嚴格地講，自然界中的地下水流均為三維流。但考慮到求解的困難，以及計算精度

的要求和滲流在水平方向上的速度分量遠大于垂直方向上的速度分量，而后者往往被忽

略，把三維流近似看作為二維流來研究、求解。

四.水流的兩種型態(tài)

實際液體的流動由于粘滯性的存在而具有兩種不同的型態(tài)一一層流和紊流。1883

年英國物理學家雷諾（OsborneReynolds）通過試驗，揭示了這兩種流動型態(tài)的不同實

質(zhì)。

雷諾實驗的裝置如圖1—3。

圖1—3雷諾實驗裝置示意圖

開始實驗,輕微打開開關K2,使水以某一較小流速沿玻璃管流出，同時打開開關K,

使顏色水液隨著水箱中的清水一起進入玻璃管。此時，在整個玻璃管中，出現(xiàn)?條固定

而明顯的著色平滑直線，而不與周圍清水相混雜。

繼續(xù)扭開開關K?,玻璃管中的流速也隨之增加，當流速增大到某一數(shù)值后，著色

直線開始顫動，發(fā)生彎曲，線條逐漸加粗，最后整個玻璃管中的清水和著色液體完全混

合。顯然，管中的顏色水流呈直線狀態(tài)的水流和顏色水流與清水流相混雜的紊亂狀態(tài)時

的水流，其內(nèi)部結構是完全不同的。

任何實際液體的流動都具有兩種流動型態(tài)，即層流和紊流。

液體流動型態(tài)轉(zhuǎn)變時的斷面平均流速叫臨界流速。

上臨界流速九'：從層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鲿r的臨界流速。

下臨界流速匕：從紊流轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鲿r的臨界流速。

對同一條件下的液體，匕.'〉匕。

據(jù)雷諾試驗的結果，流態(tài)不同，沿程水頭損失的規(guī)律也不同，若以Igu為橫軸，1g即

為縱軸的直角坐標系，將試驗數(shù)據(jù)描繪成Igv—1g勺曲線，圖1—4。

圖中，AB和DE為直線，方程為：

lghf=Igk+"21gv

hf=k\T

"層流時，加=1

v紊流時，m=2

.過渡區(qū)，加=1.75~2

因此，要判別沿程水頭損失，必須首先確定液

體的流態(tài).那么，用什么作為判別流態(tài)的標準呢？！

在圖1—4中，似乎下臨界流速可作為判別流態(tài)的

標準，但是，大量實驗證明，臨界流速并不是一個

固定的數(shù)值，它和流速、過水斷面的形狀及尺寸，

液體的物理性質(zhì)等有關：在圓管中

圖1—4lghf?Igy曲線

vk=R’k三(1—4)

pd…囁

式中：〃一一動力粘滯系數(shù);

p一一液體密度;

d一一圓管的內(nèi)直徑;

R&、Rek----常數(shù)。

變化(1—4)式：

vkdpvkd

(1—4')

般dp二"d

式中：u=巴:運動粘滯系數(shù)。

P

我們稱凡=以為雷諾數(shù)。相應地，Rek一一下臨界雷諾數(shù)；&J一一上臨界雷諾數(shù)。

V

雷諾數(shù)是一個無量綱的數(shù)，它僅反映了介質(zhì)一定時，慣性力與粘滯力的對比關系

(-)o當液體為層流時，粘滯力的作用占統(tǒng)治地位，對質(zhì)點的運動起控制作用，如果

U

某一液體質(zhì)點企圖脫離它自己的流層，粘滯力就會阻止它，因而各液體質(zhì)點都必須規(guī)則

地有條不紊地沿著自己的流層作線狀流動。此時，雷諾數(shù)較小。當液體為紊流時，慣性

力對質(zhì)點的運動起控制作用，質(zhì)點的運動在慣性力的作用下，互相混雜；此時雷諾數(shù)較

大。

因此，雷諾數(shù)是判別流動型態(tài)的準數(shù)。在工程實際中，總是用下臨界雷諾數(shù)尺★與

實際雷諾數(shù)比較來判別流態(tài)的。凡是實際雷諾數(shù)大于下臨街雷諾數(shù)時就是紊流了；小于

時為層流。

「此實＜Rek，層流

實》Rek，紊流

大量試驗確定，圓管的下臨界雷諾數(shù)4人=2300。

在滲流中，也可以用類似的雷諾數(shù)來判別滲流的流態(tài)，當飽和巖層由粗砂組成時:

_""。10J(巴浦洛夫斯基)(1-5)

u0.75/+0.23

式中：一—地下水的滲流速度；

含水層顆粒的有效粒徑；

D10——

D一—地下水的運動粘滯系數(shù)。

地下水絕大多數(shù)情況下都呈層流運動狀態(tài)，只有在卵石層的大孔隙中，當水力坡度

很陡時，以及在大的裂隙和洞穴中，才會出現(xiàn)紊流運動狀態(tài)。

大量實驗資料得：R4.=7?9,平均可取8。

例：設有一飽水巖層由粗砂組成：n=0.4,D10=0.05cw,水溫在15℃時,

z>=0.011W/5,地下水滲流速度〃=50米/晝夜，此時的雷諾數(shù)為：

]__________5000x0.05

Re=0.48<<

0.75x0.4+0.324x3600x0.0114

所以，在這種狀態(tài)下，水流呈層流狀態(tài)。

五.巖層按滲流性質(zhì)的分類

1.按滲透性能的強弱，將巖層分為透水層和隔水層。而充滿重力水的透水層稱為含水

層。

一般認為亞砂土、砂土、砂礫石土是透水的，而亞粘土、粘土等是隔水的。當然，

透水層與隔水層之間并無絕對的界限存在，它們完全是相對關系。

2.根據(jù)巖層的透水性在空間上是否變化分為均質(zhì)含水層和非均質(zhì)含水層。

均質(zhì)含水層：滲透系數(shù)是與滲流區(qū)域坐標無關的常數(shù)，亦即含水層中各點的滲透系

數(shù)相同。

非均質(zhì)含水層：滲透系數(shù)隨著空間坐標而變化，含水層中各點的滲透系數(shù)不同。

事實上，自然界中絕對均質(zhì)的含水層是不存在的，實際工作中，通常把同一巖性成

分和大致相同的滲透系數(shù)的巖層稱為均質(zhì)含水層。

3.根據(jù)滲透系數(shù)是否隨著滲流方向而變化，將含水層分為各向同性和各向異性的。

各向同性含水層：含水層中任何一點的滲透系數(shù)與滲流的方向無關，亦即不管水流

向哪個方向運動，在同一點上都具有相同的滲透系數(shù)。

各向異性含水層：滲透系數(shù)取決于滲流的方向，在同一點上，當滲流方向不同時，

可以有不同的滲透系數(shù)。黃土就是各向異性含水層的一個例子，它垂直方向的滲透系數(shù)

大于水平方向的滲透系數(shù)。

必須注意：不要把含水層的均質(zhì)與非均質(zhì)的概念同各向同性與各向異性的概念混淆。

前者是指巖層透水性和空間坐標的關系，而后者指巖層透水性和滲流方向的關系。

組合起來，自然界存在均質(zhì)各向同性巖層、均質(zhì)各向異性巖層、非均質(zhì)各向同性巖

層、非均質(zhì)各向異性巖層。

第二節(jié)滲流的基本定律

地下水在含水層中的運動條件極其特征盡管千變?nèi)f化，但都遵守質(zhì)量守恒和能量守

恒這兩條基本定律。具體應用到對地下水運動的研究上，這兩條定律分別就是水均衡原

理和直線及非直線滲透定律。

一.水均衡原理

眾所周知，地下水不會自生自滅。在任意時間間隔（均衡期）內(nèi)，含水層中某一體

積（均衡單元）中地下水水量的變化必然遵循著一定的平衡關系一一水均衡原理。這種

平衡關系可表示為：

V入一V出=VQ（1-6）

式中：V入一一某一瞬間流入含水層中的水量（以體積表示）；

V出—同一瞬間流出含水層的水量；

V貯一一同一瞬間含水層中水量的變化值。

當V入》V出時,V貯增加，表現(xiàn)為水頭上升；

當V入＜v出時，V貯減小，表現(xiàn)為水頭下降。

總之，貯存水量的增減必然會引地下水水位相應地升高或下降。

二.直線滲透定律

1.達西定律

直線滲透定律是由達西通過實驗得到的，所以又叫達西定律。

達西在1856年通過實驗得到了下列關系式：

H-H

Q=Kw]2（1—7）

L

這就是著名的達西公式。式中：

Q----流量（相3/晝夜）

K——滲透系數(shù)（機/晝夜）

卬一一試驗圓筒的橫截面積，包括砂顆粒和孔隙所占的部分面積在內(nèi)，亦即滲流的過水

斷面的面積（m2）?

乩、H2——在滲流方向上相距為L（米）的1、2兩點處滲流的水頭值。

達西定律是在一維流的條件下，通過實驗得到的，因而水流也必定滿足緩變流的條

件。于是，出及也也是1、2兩點多在過水斷面的水頭值，水頭隨流程呈線性規(guī)律遞

減，因而.”2不僅表示]、2兩點間所在過水斷面間的平均水力坡度，亦表示任一

L

斷面的水力坡度，式（1-7）可改寫如下：

Q=KwJ（1—7'）

上式中兩邊同除以過水斷面面積w可得：

v=KJ（1—8）

式中：y——滲流速度（米/晝夜）;

K一一滲透系數(shù)（米/晝夜）；

J---水力坡度（無量綱）。

該式表明，滲流速度-與水力坡度，呈線性關系，所以達西定律又稱為直線滲透定

律。

2.達西定律的討論

（1）在均質(zhì)各向同性含水介質(zhì)的條件下，達西公式可以微分形式表示：

(1—9)

對二維流

=-K

dx

oH

對三維流

為

dH

dz

（2）達西定律的應用條件：

當R,,<1?10時，地下水運動服從達西定律。

多孔介質(zhì)中的地下水流可以區(qū)分為以下三個區(qū)域：

第一個區(qū)域：有一個層流區(qū)，這時粘滯力占優(yōu)勢，慣性力可忽略不計,

達西定律適用。

第二個區(qū)域：尺尸10~100,這時，慣性力占優(yōu)勢的非線性層流。

第三個區(qū)域：（>100時，紊流區(qū)。

達西定律適用達西定律不適用

粘滯力占優(yōu)勢慣性力占優(yōu)勢

層流向紊流過渡

大量的實驗證明，（1）達西定律既適用于均質(zhì)、各向同性，也適用于非均質(zhì)、各項

異性巖層；（2）既適用于穩(wěn)定運動，也適用于非穩(wěn)定運動。（3）既適用于飽和巖層，又

適用于非飽和巖層。

3.達西定律的實質(zhì)

由—”="一"2

L

可得：H[=“2+—v

K

L

把該式與伯諾里方程加以對比，可以看出7u就是1、2兩個斷面間的水頭損失兒修。

顯然，水頭損失的大小與滲流速度及滲流途徑成正比，與空隙介質(zhì)的透水性能成反比。

達西定律的實質(zhì)就是滲流的能量守恒或者能量轉(zhuǎn)換定律。

4.關于滲透系數(shù)與滲透率

由達西公式可知，滲透系數(shù)在數(shù)值上等于當水力坡度為1時的滲流速度。它是一個

重要的水文地質(zhì)參數(shù)。

滲透系數(shù)不僅取決于巖石的性質(zhì)（如粒度成分、顆粒排列、充填狀況、裂隙的性質(zhì)

和發(fā)育程度等），而且和滲透液體的物理性質(zhì)（容重、粘滯性等）有關。同一巖層，對

于水是一種滲透系數(shù)，對于石油又是另一種滲透系數(shù)。就是同樣都是水，當水溫和水的

礦化度不同時，也會引起容重和粘滯性的一些變化，因而滲透系數(shù)也隨著變化。當然,

在地下淡水的運動中，這些變化很小，常?？梢院雎圆挥?。因此在這種情況下，可以把

滲透系數(shù)作為表示巖層透水性能的一個常數(shù)。但在研究鹽水、鹵水、石油以及高溫地下

水等液體的運動時，就不能忽略它們的影響，亦即不能把滲透系數(shù)當作一個常數(shù)來看待。

水力學中，在層流條件下，圓管中過水斷面的平均流速為：

若把多孔介質(zhì)透水性理想化，看成是由一系列細管組成，其空隙率仍舊不變。則地下水

的實際流速為：

滲透速度為：

=H^,L,j（1—10z）

v=nu32〃

將^=K/與上式對比：

式中：K滲透系數(shù)；

n----孔隙率；

d——孔隙的有效直徑；

/----容重；

〃一一水的動力粘滯系數(shù)。

從上式中可以清楚地看出，滲透系數(shù)不僅與孔隙介質(zhì)的性質(zhì)(〃、d)有關，還與

水的物理性質(zhì)(/、〃)有關。

若把(1-12)

32

定義為滲透率，則：

k=k°L(1—12')

滲透率也是表示介質(zhì)能使液缽或氣體通過介質(zhì)本身的性質(zhì)。它是不隨滲透液體的物

理性質(zhì)而變化的。它僅僅取決于介質(zhì)本身的性質(zhì)(〃、d)。從式(1-12)可以看出，

介質(zhì)孔隙的大小起主要作用(幻和d是平方的關系)，空隙率是起次要作用。如在粘土

中，〃=0.5~0.6,而其以僅是粗砂土(n=03-0.4)的

對地下水來說，/、〃決定于礦化度、水溫、壓力等因素。一般條件下，水溫對〃

的影響較大。

三.非直線滲透定律

當?shù)叵滤饰闪鬟\動時，采用哲才一一克拉斯諾波里斯基公式表示紊流滲透的基本

定律：

2

Q=KTWJ^(1—13)

2

或v=KrJ^(1—13')

式中：號為地下水呈紊流型態(tài)運動時空間介質(zhì)的滲透系數(shù)。需要指出的是，同一塊巖

層和同一種滲透液體，當液體運動型態(tài)不同時，其滲透系數(shù)值不等〃即便是紊流，也因

紊亂程度不一樣使?jié)B透系數(shù)值不等。這是因為，液體的運動型態(tài)和巖層的滲透系數(shù)都與

液體的物理性質(zhì)有關。

當?shù)叵滤\動范圍內(nèi)層流及紊流型態(tài)的水流并存時，斯姆列蓋爾給出了混合流公式

來表示這種條件下的滲透基本定律：

工

m

Q=KcwJ(1-14)

2

1z

或v=KeJ"(1—14)

式中：I為混合流條件時空隙介質(zhì)的滲透系數(shù)；“稱為流態(tài)指數(shù)，1<2。

四.裘布依基本微分方程

圖1一5裘布依假設示￡窗

達西定律。=長皿，對于均勻流/、。都是常數(shù)；但對于非均勻流，。沿程是變化

的，，不僅沿程變化，而且對于流線為曲線的非均勻流，在同一滲流斷面上也是變化的。

因此，達西定律在非均勻流中運用很困難。但是，自然界中的非均勻流動絕大多數(shù)為緩

變流動。圖1—5是一緩變流。取過水斷面為"的水流來研究。雖然對于非均勻流，水

力坡度在同一斷面上是變化的，但由于/=是坐標的連續(xù)函數(shù)，在微分面積出上，

J可以看成是常數(shù)，對面積為4y的水流可以寫出達西定律:

dQ=KJdco=-Kdco

對上式積分可得整個滲流斷面上的流量:

Q=[-K-dco

%ds

由于含水層是均質(zhì)的，K=常數(shù)，但子能否拿到積分號之前呢？

ds

取間距無限接近的兩滲流斷面，其水頭分別是〃及〃+""；兩滲流斷面的水頭差

均為dH,但由于流線是曲線，使得其流線長度不等，ds.<ds2,這樣也在同一斷面

ds

上就不是常數(shù)。但是當流線幾乎是直線的條件下，兩滲流斷面間各流線的長度ds也幾乎

桂等，這樣在同一滲流斷面上，各點的水力坡度)=-"可以近似地看成相等，因此上

ds

式得:

dHrdH

Q=-K----Idco=—K-----co(1—15)

ds%ds

上式就稱為裘布依基本微分方程C

一也

或K(1—15')

(1L

由式(1-15)導出的前提條件可知，裘布依基本微分方程的適用條件是層流和緩

變流。

(1—15')式雖然與達西公式的微分式(1-9)在形式上完全相同，但二者的適

用條件是有區(qū)別的。

第三節(jié)地下水在均質(zhì)各向異性介質(zhì)中的運動特征

前面述及，均質(zhì)各向異性介質(zhì)中其滲透系數(shù)K不隨著空間坐標而改變，而隨著滲流

方向的不同而變化。如層狀構造的含水層，沿層理滲透性好，而垂直于層理的方向滲透

性就差；在裂隙含水層中，沿裂隙發(fā)育的方向滲透性好，沿垂直裂隙發(fā)育方向則滲透性

能差。實際資料表明，不同方向上的滲透系數(shù)可差幾倍?幾十倍。

一.主滲透系數(shù)與方向滲透系數(shù)

1.滲透的主方向：滲透性能最強與最弱的方向。

2.土滲透系數(shù)：滲透土方向的滲透系數(shù)。

以二維流為例，令(0一孫)坐標系的Ox方向與滲透性能最強的方向一致，則K.表

示滲透性能最強方向的滲透系數(shù)，Kv、.表示滲透性能最弱方向的滲透系數(shù)。顯然，K"與

均為主滲透系數(shù)。

由式(1—9)可得;

(1—16)

把上式寫成矩陣的形式

v=-kgradH

(1—16')

dH

gmdH=翳

由此可見，在均質(zhì)各向異性介質(zhì)中，即使彳二彳，

dxdy

沿主方向的滲流速度也是不相同的。V

設Kj是與Ox夾角為。方向上的滲透系數(shù)，稱為方向pr

yy

3。1“

oXkxx

圖1-6

滲透系數(shù)。其方向上的滲流速度%

dH

cos<9+—sin<9

dxoy

又

心祟+K?dH

%=

dx

K3HdH

cos<9+—sin<9Mx4+K?

一0dH“澗父明、?

又,:“一心工=-(心三+K”西)cos。

一0dH明「8”、.a

"，=-K?菽=T心至+K?訪)sine

也cos。+也sin。

dx力’

dH

K°K黑+K

yy8y

dHdH

dx

而2而s'"

KdH

仁江+右K—+K

xxdxyy辦

dH

cos"

把

?dH°dH

dx”dy

dH

sin。

及

dHdH

代入得:

1cos20sin20

(1—17)

如圖(1-6),在以上任取一點P，半徑長為x=r^cosO,y=Gsin。代入(1—17)

式，可得:

■>2

X

(1—18)

K。yy

若取r；=K。，則有

2

X2y

-------1--------=1(1—18')

心K”

該式是一個標準的橢圓方程，長半軸為曲，短半軸為歷，該式表明了均質(zhì)各向異

性介質(zhì)中任一點的滲透系數(shù)的分布規(guī)律。

如果3,、K.已給定，則由(1-17)式可得:

Ksec20

xx(1—17')

二.各向異性與流線偏轉(zhuǎn)

設在均質(zhì)各向異性介質(zhì)中任取一點0,坐標系｛。肛｝

的坐標軸方向如圖1—7所示。為方便討論起見，不妨

設孚=如果采用K=JKJT,將介質(zhì)概化為各向

同性介質(zhì)，以

K陰

-一

加

-K陽

而

為基礎可得出流速1此即為流線的方向。由此可見，在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中，流涎與

等水頭線是相互垂直的。

在各向異性介質(zhì)中，Kxx?Kyyf以式

dH

Vy=-Kyy

ay

為基礎，所得出的流速就不會與；重合。因此，在均質(zhì)各向異性介質(zhì)中任一點的流線

相對于等水頭線的法向要產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，且向主滲透系數(shù)較大的主方向，a稱為偏轉(zhuǎn)角。

當辿=也時、吟一一片+外

如嗯*

在均質(zhì)各向異性介質(zhì)中，沿主滲透系數(shù)小的方向水力坡度要小。

第四節(jié)地下水在非均質(zhì)各向同性介質(zhì)中的運動特征

由于沉積環(huán)境的差異，形成了許多具有統(tǒng)一流場但又由不同滲透性能的含水層組成

的統(tǒng)一含水體。如在廣闊平原的大型古河道帶，往往形成上層為透水性較弱的河漫灘粗

砂質(zhì)或亞砂質(zhì)、粘土質(zhì)的單一含水層，下部為強透水性河床粗砂粒的單一含水層，兩者

組成層狀的二元結構含水體（層），就是典型的非均質(zhì)各向同性含水介質(zhì)。

一.流線與非均質(zhì)巖層界面斜交

當?shù)叵滤诜蔷|(zhì)巖層中運動時，如果水流斜向穿過二種透水性不同的巖層介質(zhì)時,

流線會發(fā)生折射（可以證明）。

如圖1—8就是其流線折射情形。

對于I介質(zhì)：

d=BF%

%=CG.v2

又BF=BGcos6>,,CG=BGcos%

A/7,

%=aJ〕=K]VI

K

v=KJ=KA”2

2}2WT

-a

由水流的連續(xù)性原理，必有％=私介面

/[\G

K、^-cos(9,=K2^-COS<92

△6A/2

A/,=BGsin6>,,△/?=^Gsin。?代入得:

V2

圖1-8層狀非均質(zhì)含水層

K\bH\KQH?

吆4tg%

又因為直線8r和CG是和流線垂直的兩根水頭線，因此必有Ad=A”2,得

工幽(1—19)

KJtgo2

該式稱為滲流的折射定律。

%=給時，4=%

K尸K?,4=0。時，02=00；，流線不發(fā)生折射現(xiàn)象;

K尸K2,4=90°時，02=90°；

K尸K?,水流與介質(zhì)界面斜交時水流發(fā)生折射，且&與a相差愈大，仇與必相差愈

大。

二.流線與非均質(zhì)巖層界面平行

如圖1-9,是一層狀非均質(zhì)含水體。

每層厚度為Mj,滲透系數(shù)為K,,其各

層的水力坡度相同為也，整個含水體

L

的單寬流量q為各分層的單寬流量見之

和，根據(jù)裘布依公式：

則q曰=，沙四

f=i乙i=l

“圖1一9層狀均質(zhì)含水層

設含水體總厚度為上式分子、分母同承以〃有：

I=I

■KM

q=M

L

1=1

令K,〃為水流平行層面時的含水體等效滲透系數(shù)，則上式為:

q=K,M—

,nL

(1—20)

K=—yKM

m巾M乙1't

三.流線與非均質(zhì)巖層界面垂直

在這種情形下，通過每一巖層的單寬流量相等，因而每一層中的滲透速度也是相同

的，但因各層的滲透系數(shù)不同，所以水力坡度也不同。對每一層都可寫出：

式中：AH］，A//?---每一層內(nèi)的水頭降落;

M“---每一層的厚度。

通過整個含水層的水頭損失為每一層的水頭損失之和:

加

t=lf=l

設K1為水流垂直層面時的整個含水層的等效滲透系數(shù)，M為整個含水層厚度，由達西

定律：

u=K,?----

M

A口M三

bH=u——=〃)----

M'白M

，一

KM(1—21)

1~泮

J-1八，

可以從數(shù)學上和物理意義上證明

第五節(jié)地下水運動的基本微分方程

一.滲流的連續(xù)性方程

設在充滿液體的滲流區(qū)域內(nèi)取-無限小的平行六面體,其邊長分別為-、2、Az,

并且與坐標軸平行（圖1—10）。如沿坐標軸方向的滲透速度分量為八、匕、匕，液體

的密度為P。

1.在。時間內(nèi)，流入六面體左邊界面。物力的液體質(zhì)量為：

2.而從六面體右邊界面a'"'。'"流出的液體質(zhì)量為：

pQx+°（半）—z

OX

3.那么，沿x軸方向流入六面體和流出六面體的液體質(zhì)量之差為:

同理，可以得出沿），軸方向和沿2軸方向流入與流出六面體的液體質(zhì)量差分別為:

匕）

--^-^A.vAyAzAr

oy

一山g.加

dz

4.因此，在△/時間內(nèi)，流入和流出平行六面體總的液體質(zhì)量差為:

「逝3如乙逝叫⑥八必的

dxdydzJ

5.而在該六面體內(nèi)，液體所占的體積為：

“AxAyAz

式中：n----孔隙度。

在時間內(nèi)，該六面體內(nèi)液體質(zhì)量的變化為：

—[/7/zAxAyAzlAr

dt

而該六面體內(nèi)液體質(zhì)量的變化是由于流入與流出平行六面體的液體質(zhì)量差造成，根

據(jù)質(zhì)量守恒定律，兩者在數(shù)值上是相等的:

e

(1—22)

該式就稱為滲流的連續(xù)性方程。

如果把地下水當作不可壓縮的均質(zhì)液體，亦即地下水的密度夕=8〃sianf,同時假

定流入和流出平行六面體的液體總質(zhì)量差等于零，有：

dvxdvvdv.八

&②dz（1-23）

該式為地下水穩(wěn)定運動的基本微分方程。

二.承壓水非穩(wěn)定運動的基本微分方程

<-）假定條件

1.水流為三維流，服從達西定律；

2.承壓含水層為非均質(zhì)、各向異性，等厚；

3.地下水與含水層都視為彈性體，水頭一發(fā)生改變，彈性貯量釋放（或貯存）是瞬時

完成的：貯水系數(shù)（S）是定值；

4.有垂向的補給與排泄，補給強度（卬）為定值。但為補給與排泄二者強度的代數(shù)和。

補給強度w——單位時間內(nèi)沿垂向通過單位水平面積補給含水層的水量及含水層排泄

水量的代數(shù)和。量綱為乙廣，單位：米/日。

w

嗎=一

當承壓含水層的厚度M為定值時，.M則表示單位時間沿垂向補給單位體積含

水層的水量及單位體積含水層排泄水量的代數(shù)和。

(二)方程式的建立

下面以滲流連續(xù)性方程為基礎，來建立承壓水非穩(wěn)定運動的基本微分方程。

在有垂向補給與排泄時，其滲流連續(xù)性方程為:

+wsp}AuVAyAz=—(p/?AvAyAz)

dt

(1—24)

在承壓水非穩(wěn)定運動的情況下，將產(chǎn)生含水層在垂向上的壓縮。在(1-24)式括

號右端的加公)'，由于含水層側向受到限制，可以視為常量，但水的密度「、孔隙度〃及

單位體積在垂向上的長度&則為變量。因此(1-24)式右端可寫成:

°

—(pwAMyAz)S也+人電+”Az電］AMy

dtdtdt(1—25)

下面分別研究(4-4)式右端三項:

首先，引進含水層固體骨架垂向壓縮系數(shù)。的概念。

1