2024年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷823考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時,則函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點的個數(shù)為（）Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．92、【題文】如果等差數(shù)列中，那么等于（）A.21B.30C.35D.403、【題文】若則必定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形4、已知△ABC中，a、b分別是角A、B所對的邊，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是（）A.x＞B.0＜x＜2C.

＜x＜2D.＜x≤25、氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀,已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用,第n天的維修保養(yǎng)費為元,使用它直至“報廢最合算”(所謂“報廢最合算”是指使用的這臺儀器的平均每天耗資最少)為止,一共使用了()A.800天B.600天C.1000天D.1200天評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)6、點是頂點為原點、焦點在x軸上的拋物線上一點，它到拋物線的焦點的距離為2，則的值為．7、已知不等式（）成立的一個充分條件是則實數(shù)的取值范圍是_________;8、已知經(jīng)過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，滿足則弦的中點到準(zhǔn)線的距離為____．9、【題文】下列命題中：

①若2弧度的圓心角所對的扇形的弦長為2，則扇形的弧長為

②若k＜－4；則函數(shù)y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是1；

③若O為坐標(biāo)原點，則在方向上的投影是

④在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊中點，設(shè)則

其中命題正確的序號是_______________。10、已知橢圓C：=1，斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|=則直線l的方程為______．11、直線y=2x+b

與曲線y=鈭?x+3lnx

相切，則b

的值為______．評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)12、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

13、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）14、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）17、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）18、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共4題，共16分)19、已知空間三點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設(shè)．

（Ⅰ）求和的夾角θ的余弦值；

（Ⅱ）若向量與互相垂直；求實數(shù)k的值；

（Ⅲ）若向量與共線；求實數(shù)λ的值．

20、已知是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.⑴求的值；⑵設(shè)是以為首項，為公差的等差數(shù)列，求的前項和21、證明不等式＜ln（1+x）＜x∈（0，+∞）22、已知圓E：x2+（y-）2=經(jīng)過橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點F1，F(xiàn)2，且與橢圓C在第一象限的交點為A，且F1，E，A三點共線，直線l交橢圓C于M，N兩點，且=λ（λ≠0）

（1）求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)三角形AMN的面積取得最大值時，求直線l的方程．評卷人得分五、綜合題(共1題，共4分)23、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時點D的坐標(biāo)；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標(biāo)：____．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、B【分析】【解析】

當(dāng)0≤x＜2時，f（x）=x3-x=0解得x=0或x=1，因為f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，故f（x）=0在區(qū)間[0，6）上解的個數(shù)為6，又因為f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在區(qū)間[0，6]上解的個數(shù)為7，即函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數(shù)為7故選B【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】

試題分析：因為等差數(shù)列中，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，=選C.

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】則所以即為直角三角形，故選B【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】解：∵在△ABC中，a=x（x＞0），b=2；A=60°；

∴由正弦定理得：sinB==

∵A=60°；

∴0＜B＜120°；

要使三角形有兩解，得到60°＜B＜120°，且B≠90°，即＜sinB＜1；

∴＜＜1；

解得：＜x＜2；

故選：C．

【分析】利用正弦定理列出關(guān)系式，將a，b，sinA的值代入表示出sinB，根據(jù)B的度數(shù)確定出B的范圍，要使三角形有兩解確定出B的具體范圍，利用正弦函數(shù)的值域求出x的范圍即可．5、A【分析】【分析】依題意；先得出使用的這臺儀器的日平均耗資的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得耗資的最小值，及此時n的值．

【解答】依題意，使用的這臺儀器的日平均耗資為y=[32000+]=++≥2+=84等號當(dāng)且僅當(dāng)=即n=800時取得．

故選A。二、填空題(共6題，共12分)6、略

【分析】試題分析：根據(jù)頂點為原點、焦點在x軸上的拋物線，點橫坐標(biāo)大于0，知道拋物線開口向右，可以設(shè)準(zhǔn)線方程則拋物線方程為點代得入考點：拋物線及性質(zhì)【解析】【答案】2或-27、略

【分析】試題分析：因為（）所以又是等式（）成立的一個充分條件，所以即化簡得考點：不等式解集【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】試題分析：設(shè)BF=m，由拋物線的定義知AA1=3m，BB1=m，∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，kAB=直線AB方程為y=(x-1)與拋物線方程聯(lián)立消y得3x2-10x+3=0，所以AB中點到準(zhǔn)線距離為+1=+1=考點：本題主要考查拋物線的定義及其幾何性質(zhì)?！窘馕觥俊敬鸢浮?、略

【分析】【解析】①設(shè)圓心為O，弦的兩端點分別為A，B，連結(jié)OA，OB。過O點作AB的垂線，垂足為C。設(shè)半徑為r則，由可得，

②y＝cos2x＋k(cosx－1)

令t="cosx,"則y＝cos2x＋k(cosx－1)=

的對稱軸為

若k＜－4，則y＝cos2x＋k(cosx－1)在為減函數(shù)。當(dāng)t=1時函數(shù)取得最小值；即,y=2-1+k-k解得y=1

③由可得

所以在方向上的投影為，

④由題意可知：①②③

由①可得代入②得⑷

③+⑷得

整理得即【解析】【答案】①②④10、略

【分析】解：橢圓：=1，即：x2+3y2=3

l：y=x+m，代入x2+3y2=3；

整理得4x2+6mx+3m2-3=0；

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）；

則x1+x2=-x1x2=

|AB|=?|x1-x2|

=?

==．

解得：m=±1．

直線l：y=x±1．

故答案為：y=x±1．

設(shè)出直線方程y=x+m，代入x2+3y2=3；結(jié)合題設(shè)條件利用橢圓的弦長公式能求出m，得到直線方程．

本題考查橢圓弦長的求法，解題時要注意弦長公式，考查計算能力以及分析問題解決問題的能力．【解析】y=x±111、略

【分析】解：設(shè)直線y=2x+b

與曲線的切點為P(x0,y0)

隆脽y=鈭?x+3lnx

隆脿y隆盲=鈭?1+3x

隆脿鈭?1+3x0=2

隆脿x0=1

隆脿y0=鈭?x0+3lnx0=鈭?1

隆脿P(1,鈭?1)

．

又P(1,鈭?1)

在直線y=2x+b

上；

隆脿鈭?1=2隆脕1+b

隆脿b=鈭?3

．

故答案為：鈭?3

．

求導(dǎo)函數(shù)，可求得切線斜率，利用直線y=2x+b

與曲線y=鈭?x+3lnx

相切，從而可得切點坐標(biāo)，代入y=2x+b

可求得b

的值．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，求得切點坐標(biāo)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【解析】鈭?3

三、作圖題(共7題，共14分)12、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

13、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．18、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共4題，共16分)19、略

【分析】

．

（Ⅰ）

∴和的夾角θ的余弦值為．

（Ⅱ）

∵向量與互相垂直；

∴=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0

∴或k=2．

（Ⅲ）

∵向量與共線，∴存在實數(shù)μ，使得

即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

∴λ=1；或λ=-1．

【解析】【答案】（I）利用向量夾角公式即可得出；

（II）利用向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系即可得出；

（III）利用向量共線定理即可得出．

20、略

【分析】試題分析：⑴要求公比，得建立關(guān)于的方程式.所以根據(jù)等比數(shù)列中及成等差數(shù)列，利用等差中項解關(guān)于的方程;⑵要求等差數(shù)列的前項和根據(jù)得求通項公式利用等差數(shù)列即可.試題解析：⑴根據(jù)以及成等差數(shù)列有：或（舍去）;⑵根據(jù)等差數(shù)列中有所以等差數(shù)列的前項和為考點：等差數(shù)列通項公式,前項和公式,等比數(shù)列通項公式.【解析】【答案】⑴⑵21、略

【分析】

先證明前半部分，設(shè)函數(shù)f（x）=x--ln（1+x），利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可證；同理可證后半段，通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x（x＞0）；利用一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)判斷即可證得結(jié)論．

本題考查不等式的證明，突出考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查推理、分析與證明的能力，屬于難題．【解析】證明：先證明前半部分，設(shè)函數(shù)f（x）=x--ln（1+x）；

顯然f（0）=0，f′（x）=1-x-=-

∴當(dāng)x＞0時；f′（x）＜0；

∴函數(shù)f（x）=x--ln（1+x）在（0；+∞）上單調(diào)遞減；

∴當(dāng)x＞0時，f（x）＜f（0）=0，即x-＜ln（1+x）；①

后半部分成立，相當(dāng)于證明：2（1+x）ln（1+x）＜x2+2x．

設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x（x＞0）；

∵g（0）=0；g′（x）=2[ln（1+x）-x]；

∴g′′（x）=2（-1）=-＜0；

∴g′（x）=2[ln（1+x）-x]在（0；+∞）上單調(diào)遞減；

∴當(dāng)x＞0時；g′（x）＜g′（0）=0；

∴g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x在（0；+∞）上單調(diào)遞減；

∴g（x）＜g（0）=0，即2（1+x）ln（1+x）＜x2+2x．

∴l(xiāng)n（1+x）＜x-．②

∴x-＜ln（1+x）＜x-．22、略

【分析】

（1）由題意把焦點坐標(biāo)代入圓的方程求出c，再由條件得F1A為圓E的直徑求出|AF1|=3，根據(jù)勾股定理求出|AF2|，根據(jù)橢圓的定義和a2=b2+c2依次求出a和b的值；代入橢圓方程即可；

（2）由（1）求出A的坐標(biāo)；根據(jù)向量共線的條件求出直線OA的斜率，設(shè)直線l的方程和M；N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出|MN|，由點到直線的距離公式求出點A到直線l的距離，代入三角形的面積公式求出△AMN的面積S的表達(dá)式，化簡后利用基本不等式求出面積的最大值以及對應(yīng)的m，代入直線l的方程即可．

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，韋達(dá)定理和弦長公式，向量共線條件，以及直線、圓與橢圓的位置關(guān)系等，考查的知識多，綜合性強，考查化簡計算能力，屬于中檔題．【解析】解：（1）如圖圓E經(jīng)過橢圓C的左右焦點F1，F(xiàn)2；

∴c2+（0-）2=解得c=（2分）

∵F1，E，A三點共線，∴F1A為圓E的直徑，則|AF1|=3；

∴AF2⊥F1F2，∴=-=9-8=1；

∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4；∴a=2

由a2=b2+c2得，b=（4分）

∴橢圓C的方程是（5分）

（2）由（1）得點A的坐標(biāo)（1）；

∵（λ≠0），∴直線l的斜率為kOA=（6分）

則設(shè)直線l的方程為y=x+m，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）；

由得，

∴x1+x2=x1x2=m2-2；

且△=2m2-4m2+8＞0；解得-2＜m＜2，（8分）

∴|MN|=|x2-x1|=

==

∵點A到直線l的距離d==

∴△AMN的面積S==

=≤=（10分）

當(dāng)且僅當(dāng)4-m2=m2，即m=直線l的方程為．（12分）五、綜合題(共1題，共4分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點B與點A關(guān)于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設(shè)出直