2025年高考數(shù)學一輪復習之概率

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學一輪復習之概率一．選擇題（共10小題）1．若隨機變量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，則P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.52．已知隨機事件A，B發(fā)生的概率分別為P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，則下列說法正確的是（）A．若P（AB）＝0.9，則A，B相互獨立 B．若A，B相互獨立，則P（A|B）＝0.6 C．若P（A|B）＝0.5，則P（AB）＝0.25 D．若B?A，則P（B|A）＝0.83．如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為12A．18 B．38 C．58 4．某大學一宿舍4名同學參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線，這兩名學生準備從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學中任選三所大學申請調(diào)劑，則這兩名學生在選擇了相同大學的條件下，恰好選擇了兩所相同大學的概率為（）A．1819 B．1019 C．919 5．有甲、乙兩臺車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%，30%，甲、乙兩臺車床的正品率分別為94%，92%．現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（）A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.9456．英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關系：P(A|B)=P(A)P(BA．4951000 B．9951000 C．1011 7．長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學校學生中，大約有15的學生每天玩手機超過1h，這些人近視率約為12，其余學生的近視率約為A．15 B．716 C．25 8．某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球．記R1＝“第一次摸球時摸到紅球”，G1＝“第一次摸球時摸到綠球”，R2＝“第二次摸球時摸到紅球”，G2＝“第二次摸球時摸到綠球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，則下列說法中正確的是（）A．P（R）＝P（R1）?P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2） C．P(R2|R1)=12 D．P（G2|G1）+9．質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”．如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學大會上，著名數(shù)學家希爾伯特提出了23個問題，其中第8個就是大名鼎鼎的孿生素數(shù)猜想：即存在無窮多對孿生素數(shù)．我國著名數(shù)學家張益唐2013年在《數(shù)學年刊》上發(fā)表論文《素數(shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學界長達一個半世紀的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式．那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件A，這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件B：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則P（B|A）＝（）A．1115 B．3745 C．1315 10．有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（）A．12 B．13 C．14 二．填空題（共5小題）11．某企業(yè)鉗工、車工和焊工三個車間分別推薦了1名男員工和1名女員工，供該企業(yè)工會從中選出2名員工參加全國技能比賽．若這6名員工每人被選上的機會相等，則選出的2人恰好是1名男員工和1名女員工，且他們來自不同車間的概率為．12．一袋中有大小相同的4個球，其中3個紅球和1個黑球．從該袋中隨機取2個球，則取到2個紅球的概率是．13．設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(14．在統(tǒng)計調(diào)查中，對一些敏感性問題，要精心設計問卷，設法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實回答問題．否則，被調(diào)查者往往會拒絕回答，或不提供真實情況．某中學為了調(diào)查本校中學生某不良習慣A的發(fā)生情況，對隨機抽出的200名中學生進行了調(diào)查．調(diào)查中設置了兩個問題：問題1：你的陽歷生日日期是否偶數(shù)？問題2：你是否有A習慣？調(diào)查者準備了一個不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個白球和5個紅球．每個被調(diào)查者隨機從袋中摸出1個球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不做．已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個小石子．據(jù)此估計此中學學生中有習慣A的人數(shù)的百分比為．15．已知隨機變量X～B（2，p），其中0＜p＜1，隨機變量Y的分布列為Y012P2313q表中0＜q＜23，則D（Y）的最大值為．我們可以用M=k=02P(X=k)lnP(X=k)P三．解答題（共5小題）16．為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了抽樣調(diào)查，從全體學生中隨機抽取男女各100名學生，經(jīng)統(tǒng)計，抽查數(shù)據(jù)如下表：性別鍛煉合計經(jīng)常不經(jīng)常男生8020100女生6040100合計14060200（1）依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析性別與體育錘煉的經(jīng)常性是否有關？（2）為提高學生體育鍛煉的積極性，學校決定在上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學生中，按性別分層抽樣隨機抽取7名同學組成體育鍛煉宣傳小組，并從這7名同學中選出3人擔任宣傳組長，記女生擔任宣傳組長的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.82817．假定射手甲每次射擊命中目標的概率為p，其中0＜p＜1．（1）當p=23時，若甲射擊N①求E（X）；②若P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，求N的值．（2）射擊積分規(guī)則如下：單次未命中目標得0分，單次命中目標得1分，若連續(xù)命中目標i（i≥2）次，則其中第一次命中目標得1分，后一次命中目標的得分為前一次得分的2倍．記射手甲射擊4次的總得分為Y，若對任意p有P（Y＝i）＝P（Y＝j）（i＜j）成立，求所有滿足上述條件的有序?qū)崝?shù)對（i，j）．18．為促進全面閱讀，建設書香校園，鼓勵學生參加閱讀活動，某校隨機抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計他們在暑假期間每天閱讀時長，并把每天閱讀時長超過1小時的記為“閱讀達標”，時長不超過1小時的記為“閱讀不達標”，閱讀達標與閱讀不達標的人數(shù)比為1：1，閱讀達標的女生與男生的人數(shù)比為3：2．（1）完成下面的2×2列聯(lián)表：性別閱讀達標情況合計閱讀達標閱讀不達標男生女生合計（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為“閱讀達標情況”與“性別”有關聯(lián)？（3）從閱讀達標的學生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取5人進行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.82819．2024年甲辰龍年春節(jié)來臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況．隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為（495，505]，（505，515]，…，（535，545]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值x；（2）由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值ξ服從正態(tài)分布N（μ，1.252），其中μ近似為（1）中的樣本平均值x，計算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標值ξ≥519.75的概率；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設Y為質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學期望．附：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤u+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．20．一個車間有3臺機床，它們各自獨立工作，其中A型機床2臺，B型機床1臺．A型機床每天發(fā)生故障的概率為0.1，B型機床每天發(fā)生故障的概率為0.2．（1）記X為每天發(fā)生故障的機床數(shù)，求X的分布列及期望E（x）；（2）規(guī)定：若某一天有2臺或2臺以上的機床發(fā)生故障，則這一天車間停工進行檢修．求某一天在車間停工的條件下，B型機床發(fā)生故障的概率．

2025年高考數(shù)學一輪復習之概率參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．若隨機變量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，則P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解．【解答】解：因為隨機變量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，所以P（3＜ξ＜4）＝0.5﹣P（ξ＞4）＝0.3，所以P（2＜ξ＜3）＝P（3＜ξ＜4）＝0.3．故選：B．【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎題．2．已知隨機事件A，B發(fā)生的概率分別為P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，則下列說法正確的是（）A．若P（AB）＝0.9，則A，B相互獨立 B．若A，B相互獨立，則P（A|B）＝0.6 C．若P（A|B）＝0.5，則P（AB）＝0.25 D．若B?A，則P（B|A）＝0.8【考點】條件概率；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)相互獨立事件的定義判斷A，根據(jù)條件概率公式判斷B、C、D．【解答】解：對于A：因為P（AB）≠P（A）P（B），所以A與B不獨立，故A錯誤；對于B：若A，B相互獨立，則P(A|對于C：因為P(A|B)=P(AB)P(B)，所以P（AB）＝P（B）P對于D：若B?A，則P（AB）＝P（B）＝0.4，所以P(B|故選：D．【點評】本題主要考查了獨立事件的定義，考查了條件概率公式，屬于基礎題．3．如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為12A．18 B．38 C．58 【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】B【分析】這個電路是通路，則原件A正常工作，且元件B，C至少有一個正常工作，由此能求出這個電路是通路的概率．【解答】解：∵這個電路是通路，∴原件A正常工作，且元件B，C至少有一個正常工作，∴這個電路是通路的概率是P=故選：B．【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4．某大學一宿舍4名同學參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線，這兩名學生準備從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學中任選三所大學申請調(diào)劑，則這兩名學生在選擇了相同大學的條件下，恰好選擇了兩所相同大學的概率為（）A．1819 B．1019 C．919 【考點】概率的應用；條件概率；古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設事件A＝“兩名學生在選擇了相同大學”，事件B＝“恰好選擇了兩所相同大學”，由古典概型公式求出P（A）和P（B），結(jié)合條件概率公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設事件A＝“兩名學生在選擇了相同大學”，事件B＝“恰好選擇了兩所相同大學”，兩名學生分別從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學中任選三所大學，有C63其中沒有選擇相同大學的選法有C63則兩名學生選擇了相同大學的選法有400﹣20＝380種，故P（A）=380若恰好選擇了兩所相同大學，其情況有C62A42=180種，則故P（B|A）=P故選：C．【點評】本題考查條件概率的計算，涉及排列組合的應用，屬于基礎題．5．有甲、乙兩臺車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%，30%，甲、乙兩臺車床的正品率分別為94%，92%．現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（）A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945【考點】全概率公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】B【分析】結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：甲、乙兩臺車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%，30%，甲、乙兩臺車床的正品率分別為94%，92%，則取到正品的概率為：0.7×0.94+0.3×0.92＝0.934．故選：B．【點評】本題主要考查全概率公式的應用，屬于基礎題．6．英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關系：P(A|B)=P(A)P(BA．4951000 B．9951000 C．1011 【考點】條件概率．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】C【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解．【解答】解：依題意，設用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件B，被檢測者患病為事件A，未患病為事件A，則P（B|A）＝0.95，P（A）＝0.05，P(B|故P（B）＝0.95×0.05+0.005×0.95＝0.05225，則所求概率為P(故選：C．【點評】本題考查條件概率等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7．長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學校學生中，大約有15的學生每天玩手機超過1h，這些人近視率約為12，其余學生的近視率約為A．15 B．716 C．25 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；對應思想；分析法；概率與統(tǒng)計；數(shù)據(jù)分析．【答案】C【分析】根據(jù)近視情況分為超過1h和低于1h兩種可能，利用古典概率模型計算可得．【解答】解：某學校學生中，大約有15的學生每天玩手機超過1h，則有45的學生每天玩手機低于1超過1h近視率約為12，低于1h近視率約為3所以從該校任意調(diào)查一名學生，他近視的概率大約是15故選：C．【點評】本題考查古典概率模型，屬于基礎題．8．某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球．記R1＝“第一次摸球時摸到紅球”，G1＝“第一次摸球時摸到綠球”，R2＝“第二次摸球時摸到紅球”，G2＝“第二次摸球時摸到綠球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，則下列說法中正確的是（）A．P（R）＝P（R1）?P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2） C．P(R2|R1)=12 D．P（G2|G1）+【考點】條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】C【分析】由獨立事件的定義可判斷A，由古典概型的概率公式可判斷B，由條件概率公式可判斷CD．【解答】解：對于A，因為R＝R1∩R2，R1，R2不相互獨立，所以P（R）≠P（R1）P（R2），故A錯誤；對于B，因為P(G1)=37，P(G2)=P(R1G2對于C，P(R2對于D，P(G2|G故選：C．【點評】本題主要考查了獨立事件的定義，考查了條件概率公式的應用，屬于中檔題．9．質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”．如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學大會上，著名數(shù)學家希爾伯特提出了23個問題，其中第8個就是大名鼎鼎的孿生素數(shù)猜想：即存在無窮多對孿生素數(shù)．我國著名數(shù)學家張益唐2013年在《數(shù)學年刊》上發(fā)表論文《素數(shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學界長達一個半世紀的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式．那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件A，這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件B：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則P（B|A）＝（）A．1115 B．3745 C．1315 【考點】條件概率．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式求出P（A）和P（AB），再根據(jù)條件概率的計算方法求得正確答案．【解答】解：根據(jù)題意，不超過30的自然數(shù)有30個，其中素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，孿生素數(shù)有3和5，5和7，11和13，17和19，共4組．所以P(A)=所以P(故選：D．【點評】本題考查條件概率的計算，涉及古典概型的計算，屬于基礎題．10．有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（）A．12 B．13 C．14 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】B【分析】先將4個盒子進行全排，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，分別計算出排列數(shù)，即可得到答案．【解答】解：將4個盒子按順序拆開有A4若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有A2則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為P=故選：B．【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題．二．填空題（共5小題）11．某企業(yè)鉗工、車工和焊工三個車間分別推薦了1名男員工和1名女員工，供該企業(yè)工會從中選出2名員工參加全國技能比賽．若這6名員工每人被選上的機會相等，則選出的2人恰好是1名男員工和1名女員工，且他們來自不同車間的概率為25【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】25【分析】先列出從6名員工中選出2名員工的基本事件總數(shù)，再列出來自不同車間的一名男員工和一名女員工數(shù)量，二者比值即為結(jié)果．【解答】解：設3名男員工分別為A，B，C，3名女員工分別為X，Y，Z，其情況如下表：鉗工車工焊工男員工ABC女員工XYZ則從6人中選出2人的基本事件有（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），（B，Y）（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z），共15個，其中滿足條件的基本事件有（A，Y），（A，Z），（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y），共6個，所以選出的2人恰好是1名男員工和1名女員工，且他們來自不同車間的概率P=故答案為：25【點評】本題考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．12．一袋中有大小相同的4個球，其中3個紅球和1個黑球．從該袋中隨機取2個球，則取到2個紅球的概率是12【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】12【分析】根據(jù)古典概型求解即可．【解答】解：由題意，所求概率P=故答案為：12【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題．13．設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(【考點】條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）求出P（AB【解答】解：因為P(所以P(所以P(故答案為：12【點評】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎題．14．在統(tǒng)計調(diào)查中，對一些敏感性問題，要精心設計問卷，設法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實回答問題．否則，被調(diào)查者往往會拒絕回答，或不提供真實情況．某中學為了調(diào)查本校中學生某不良習慣A的發(fā)生情況，對隨機抽出的200名中學生進行了調(diào)查．調(diào)查中設置了兩個問題：問題1：你的陽歷生日日期是否偶數(shù)？問題2：你是否有A習慣？調(diào)查者準備了一個不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個白球和5個紅球．每個被調(diào)查者隨機從袋中摸出1個球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不做．已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個小石子．據(jù)此估計此中學學生中有習慣A的人數(shù)的百分比為5%．【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】被調(diào)查者回答第一個問題的概率為P=510=12；其陽歷生日日期是偶數(shù)的概率也是12，由此得到隨機抽出的200名學生中，回答兩個問題的人數(shù)估計各有100人，200人中抽取到白球并回答第一個問題為“是”的學生估計有50【解答】解：根據(jù)題意，由等可能事件概率得：被調(diào)查者回答第一個問題的概率為P=其陽歷生日日期是偶數(shù)的概率是12∴對隨機抽出的200名中學生進行了調(diào)查，其中回答兩個問題的人數(shù)估計各有200×∴200人中抽取到白球并回答第一個問題為“是”的學生估計有200×∴抽到紅球并回答第二個問題為“是”的人數(shù)估計為55﹣50＝5人，∴此中學學生有A習慣人數(shù)的百分比為5100故答案為：5%．【點評】本題考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．15．已知隨機變量X～B（2，p），其中0＜p＜1，隨機變量Y的分布列為Y012P2313q表中0＜q＜23，則D（Y）的最大值為23．我們可以用M=k=02P(X=k)lnP(X=k)【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）；離散型隨機變量及其分布列．【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】23【分析】根據(jù)題意，求得E(Y)=12+2q和D(Y【解答】解：由題意，可得E(則D（Y）＝（13+2q）2（23-2q）+（1-13-2q）2×13＝﹣4q2+83＝﹣4（q-13）2因為0＜q＜23，所以當q=1又由X～B（2，p），可得D（X）＝2p（1﹣p）=12，解得所以P（X＝0）=14，P（X＝1）=1又因為M=所以M=所以M-故答案為：23【點評】本題考查了離散型隨機變量的期望和方差，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）16．為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了抽樣調(diào)查，從全體學生中隨機抽取男女各100名學生，經(jīng)統(tǒng)計，抽查數(shù)據(jù)如下表：性別鍛煉合計經(jīng)常不經(jīng)常男生8020100女生6040100合計14060200（1）依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析性別與體育錘煉的經(jīng)常性是否有關？（2）為提高學生體育鍛煉的積極性，學校決定在上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學生中，按性別分層抽樣隨機抽取7名同學組成體育鍛煉宣傳小組，并從這7名同學中選出3人擔任宣傳組長，記女生擔任宣傳組長的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.828【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】計算題；對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）認為性別與鍛煉的經(jīng)常性有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；（2）分布列見解答，E（X）=9【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算χ2，與臨界值比較即可得結(jié)論；（2）隨機變量X所有可能的取值分別為0，1，2，3，由古典概型概率公式求出對應的概率，可得分布列及數(shù)學期望．【解答】解：（1）零假設為H0：性別與鍛煉的經(jīng)常性無關聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為性別與鍛煉的經(jīng)常性有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；（2）根據(jù)分層抽樣可知，隨機抽取的7名同學中男生4人，女生3人，隨機變量X所有可能的取值分別為0，1，2，3，根據(jù)古典概型的知識，可得P(X=0)=P(X=2)=所以X的分布列為：X0123P43518351235135所以E(【點評】本題主要考查獨立性檢驗，離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望，考查運算求解能力，屬于中檔題．17．假定射手甲每次射擊命中目標的概率為p，其中0＜p＜1．（1）當p=23時，若甲射擊N①求E（X）；②若P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，求N的值．（2）射擊積分規(guī)則如下：單次未命中目標得0分，單次命中目標得1分，若連續(xù)命中目標i（i≥2）次，則其中第一次命中目標得1分，后一次命中目標的得分為前一次得分的2倍．記射手甲射擊4次的總得分為Y，若對任意p有P（Y＝i）＝P（Y＝j）（i＜j）成立，求所有滿足上述條件的有序?qū)崝?shù)對（i，j）．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）①2N3；②（2）（2，3），（4，7）．【分析】（1）①根據(jù)二項分布求解即可；②先求出P(X=k（2）Y的可能取值為0，1，2，3，4，7，15，求出Y為各值時的概率即可求解．【解答】解：（1）①由題意知X～B(②P(X=k)=CNk(設P則c所以2N因為P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，所以2N-13≤10≤2N+23當N＝14時，9≤k≤10，舍去，當N＝15時，k＝10，滿足題意，綜上所述，N＝15．（2）Y的可能取值為0，1，2，3，4，7，15，P（Y＝0）＝（1﹣p）4，P（Y＝1）＝4p（1﹣p）3，P（Y＝2）＝3p2（1﹣p）2，P（Y＝3）＝3p2（1﹣p）2，P（Y＝4）＝2p3（1﹣p），P（Y＝7）＝2p3（1﹣p），P（Y＝15）＝p4，對任意p，P（Y＝2）＝P（Y＝3），P（Y＝4）＝P（Y＝7），故所求的有序?qū)崝?shù)對為（2，3），（4，7）．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和方差，屬于中檔題．18．為促進全面閱讀，建設書香校園，鼓勵學生參加閱讀活動，某校隨機抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計他們在暑假期間每天閱讀時長，并把每天閱讀時長超過1小時的記為“閱讀達標”，時長不超過1小時的記為“閱讀不達標”，閱讀達標與閱讀不達標的人數(shù)比為1：1，閱讀達標的女生與男生的人數(shù)比為3：2．（1）完成下面的2×2列聯(lián)表：性別閱讀達標情況合計閱讀達標閱讀不達標男生女生合計（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為“閱讀達標情況”與“性別”有關聯(lián)？（3）從閱讀達標的學生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取5人進行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）2×2列聯(lián)表如下：性別閱讀達標情況合計閱讀達標閱讀不達標男生80120200女生12080200合計200200400（2）認為“閱讀達標情況”與“性別”有關；（3）X的分布列為：X012P31035110E（X）=4【分析】（1）根據(jù)題意求出閱讀達標的人數(shù)有200人，其中男生有80人，女生有120人，男生閱讀不達標的有120人，女生有80人，進而補全2×2列聯(lián)表即可；（2）計算χ2的值，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；（3）由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相應的概率，得到X的分布列，再結(jié)合期望公式求解．【解答】解：（1）依題意閱讀達標的人數(shù)有200人，其中男生有200×25則男生閱讀不達標的有200﹣80＝120人，女生有200﹣120＝80人，所以2×2列聯(lián)表如下：性別閱讀達標情況合計閱讀達標閱讀不達標男生80120200女生12080200合計200200400（2）零假設H0：“閱讀達標情況”與“性別”無關，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，得χ2所以依據(jù)α＝0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為“閱讀達標情況”與“性別”有關；（3）閱讀達標的學生中男生有5×80200由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，則P(X=0)=C3故X的分布列為：X012P31035110所以X的數(shù)學期望E(【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．19．2024年甲辰龍年春節(jié)來臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況．隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為（495，505]，（505，515]，…，（535，545]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值x；（2）由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值ξ服從正態(tài)分布N（μ，1.252），其中μ近似為（1）中的樣本平均值x，計算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標值ξ≥519.75的概率；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設Y為質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學期望．附：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤u+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量為26件，樣本平均值為518.5克；（2）0.15865；（3）Y的分布列為：Y012P4940091200169400E（Y）＝1.3．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品的頻率，進而得到質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量，再利用平均數(shù)的定義求出樣本平均值x；（2）由題意可得μ=x=518.5（3）由題意可知，質(zhì)量超過515克的件數(shù)Y可能的取值為0，1，2，且Y～B(2，1320)【解答】解（1）質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品的頻率為10×0.035+10×0.025+10×0.005＝0.65，而樣本總數(shù)為40件，所以質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.65＝26（件），樣本平均值x=10×（500×0.015+510×0.020+520×0.035+530×0.025+540×0.005）＝518.5（2）由題意可得μ=x=518.5則P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝P（517.25＜ξ≤519.75）≈0.6827，則該批產(chǎn)品質(zhì)量指標值ξ≥519.75的概率為P（ξ≥519.75）=1-P（3）根據(jù)用樣本估計總體的思想，從該流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過515克的概率為2640所以從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看作二項分布，故質(zhì)量超過515克的件數(shù)Y可能的取值為0，1，2，且Y～則P(所以P(Y=0)=C2所以Y的分布列為：Y012P4940091200169400故Y的均值為E(【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．20．一個車間有3臺機床，它們各自獨立工作，其中A型機床2臺，B型機床1臺．A型機床每天發(fā)生故障的概率為0.1，B型機床每天發(fā)生故障的概率為0.2．（1）記X為每天發(fā)生故障的機床數(shù)，求X的分布列及期望E（x）；（2）規(guī)定：若某一天有2臺或2臺以上的機床發(fā)生故障，則這一天車間停工進行檢修．求某一天在車間停工的條件下，B型機床發(fā)生故障的概率．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）；離散型隨機變量及其分布列．【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）分布列見解析，E（X）＝0.4；（2）1923【分析】（1）由題，X的可能值為0，1，2，3，然后結(jié)合題意求出每個取值對應的概率即可得解；（2）記事件A為“車間停工”，事件B為B型機床發(fā)生故障”，由題可求得P（A）＝0.046，P（AB）＝0.038，然后由條件概率即可求解．【解答】解：（1）由題，X的可能值為0，1，2，3，因為A型機床每天發(fā)生故障的概率為0.1，B型機床每天發(fā)生故障的概率為0.2，所以A型機床每天不發(fā)生故障的概率為0.9，B型機床每天不發(fā)生故障的概率為0.8，則P（x＝0）＝0.92×0.8＝0.648，P（x＝1）＝2×0.9×0.1×0.8+0.92×0.2＝0.306，P（x＝2）＝0.12×0.8+2×0.9×0.1×0.2＝0.044，P（X＝3）＝0.12×0.2＝0.002，故X分布列為：X0123P0.6480.3060.0440.002所以E（X）＝0×0.648+1×0.306+2×0.044+3×0.002＝0.4；（2）記事件A為“車間停工”，事件B為B型機床發(fā)生故障”，則P（A）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝0.046，P（AB）＝0.1×（1﹣0.1）×0.2×2+0.12×0.2＝0.038，則所求概率為P(即某一天在車間停工的條件下，B型機床發(fā)生故障的概率為1923【點評】本題考查了條件概率的求解及離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．

考點卡片1．互斥事件的概率加法公式【知識點的認識】互斥事件的概率加法公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．3．列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【知識點的認識】1、等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=m等可能條件下概率的特征：（1）對于每一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是有限的；（2）每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．2、概率的計算方法：（1）列舉法（列表或畫樹狀圖），（2）公式法；列表法或樹狀圖這兩種舉例法，都可以幫助我們不重不漏的列出所以可能的結(jié)果．列表法（1）定義：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的應用場合當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．樹狀圖法（1）定義：通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法．（2）運用樹狀圖法求概率的條件當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率．【解題方法點撥】典例1：將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137144的內(nèi)部，則實數(shù)A．（-518，+∞）B．（﹣∞，718）C．（-718，518）解析：對于a與b各有6中情形，故總數(shù)為36種設兩條直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率為P=設兩條直線l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行與重合即可，∵當直線l1、l2相交時b≠2a，圖中滿足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三種，∴滿足b≠2a的有36﹣3＝33種，∴直線l1、l2相交的概率P=33∵點（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137∴（118-m）2+（1112）解得-518故選：D典例2：某種零件按質(zhì)量標準分為1，2，3，4，5五個等級，現(xiàn)從一批該零件巾隨機抽取20個，對其等級進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下等級12345頻率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，求m，n；（2）在（1）的條件下，從等級為3和5的所有零件中，任意抽取2個，求抽取的2個零件等級恰好相同的概率．解析：（1）由頻率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，即m+n＝0.45．…（2分）由抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，得n=220所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）（2）：由（1）得，等級為3的零件有3個，記作x1，x2，x3；等級為5的零件有2個，記作y1，y2．從x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2個零件，所有可能的結(jié)果為：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共計10種．…（9分）記事件A為“從零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等級相等”．則A包含的基本事件為（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4個．…（11分）故所求概率為P(A)=4．概率的應用【知識點的認識】概率相關知識梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計值．2．古典概率計算公式：P（A）＝．集合的觀點：設試驗的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗的結(jié)果只有一個基本事件出現(xiàn)；（2）試驗結(jié)果具有有限性；（3）試驗結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個隨機試驗中，一次試驗中不可能同時發(fā)生的兩個事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對立事件：在一個隨機試驗中，一次試驗中兩個事件A，B不會同時發(fā)生，但必有一個事件發(fā)生，這樣的兩個事件稱為對立事件．記作：B=A，由對立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對立事件的關系：對立必互斥，互斥未必對立．用集合的觀點分析對立事件與互斥事件：設兩個互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設兩個對立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計算公式：幾何概型的特征：（1）試驗的結(jié)果有無限個（無限性）；（2）試驗的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長度、面積、體積等．三、條件概率與獨立事件1．條件概率的定義：對于任何兩個事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒有事件B發(fā)生時的概率是不同的．（2）對于兩個事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時事件A，B是相互獨立的兩個事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當兩個事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨立，同時A與B，A與B，A與B也相互獨立．四、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項分布：（1）n次獨立重復試驗的概念：在相同的條件下，重復做n次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立．n次獨立重復試驗的特征：①每次試驗的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗的結(jié)果互不影響，且每次試驗只有兩個結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項分步概率計算公式：一般地，在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個數(shù)，則，（k為非負整數(shù)），若隨機變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機變量X取某一個值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x（2）若隨機變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機變量．（3）連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機變量的期望數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學期望，簡稱期望．數(shù)學期望的意義：數(shù)學期望離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機變量的方差；方差：對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的EξDξ是隨機變量ξ的期望．標準差：Dξ的算術平方根Dξ叫做隨機變量ξ的標準差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；（3）標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．【解題方法點撥】概率和離散型隨機變量知識是新課標高考的重點內(nèi)容之一，重點考查古典概率、幾何概率、離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對于基礎知識考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對簡單，即掌握住基礎知識就能解決此類問題．對于綜合性知識的考查主要是把概率、隨機變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實際問題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關鍵是正確理解離散型隨機變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計算典例1：已知函數(shù)y=x（0≤x≤4）的值域為A，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個數(shù)，b是從集合B中任取一個數(shù)，則a＞bA．14B．13C．12解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標，b為縱坐標，建立平面直角坐標系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2-12=故選D題型二：離散型隨機變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）．（結(jié)果用分數(shù)表示）解：（I）設命中油罐的次數(shù)為X，則當X＝0或X＝1時，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列為：ξ2345P4982742719∴Eξ5．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認識】1．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件．2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；（2）相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．6．條件概率【知識點的認識】1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點撥】典例1：利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，基本事件的總個數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為34，23，12，乙隊每人答對的概率都是2（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望E（ξ）．（Ⅱ）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P7．全概率公式【知識點的認識】全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P（B）=i8．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認識】1、相關概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機變量．（3）連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．9．離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學期望，簡稱期望．數(shù)學期望的意義：數(shù)學期望離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機變量的方差；方差：對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的EξDξ是隨機變量ξ的期望．標準差：Dξ的算術平方根Dξ叫做隨機變量ξ的標準差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；（3）標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．10．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為12πσ，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．【解題方法點撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應的數(shù)值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎考察典例