2024年高考導(dǎo)數(shù)分類匯編

2024年全國(guó)嵩考理科教學(xué)分類匯編——法教與導(dǎo)教

1.(北京)能說(shuō)明“若f(x)>f(0)對(duì)隨意的xG(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增

函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是f(x)=sinx.

【解答】解：例如f(x)=sinx,盡管f(x)>f(0)對(duì)隨意的x￡(0,2]都成立，

當(dāng)x￡[0,-2L)上為增函數(shù)，在(？L,2]為減函數(shù)，故答案為：f(x)=sinx.

22

2.(北京)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+l)x+4a+3]ex.

(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(D)處的切線與x軸平行，求a；

(□)若f(x)在x=2處取得微小值，求a的取值范圍.

【解答】解：(I)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+l)x+4a+3]e'的導(dǎo)數(shù)為

f(x)=[ax2-(2a+l)x+2]ex.由題意可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為0,

可得(a-2a-1+2)e=0,解得a=l；

(H)f(x)的導(dǎo)數(shù)為F(x)=[ax2-(2a+l)x+2]ex=(x-2)(ax-1)ex,

若a=0則x<2時(shí)，f(x)>0,f(x)遞增；x>2,fz(x)<0,f(x)遞減.

x=2處f(x)取得極大值，不符題意；

若a>0,且a=L則f(x)=1-(x-2)2ex>0,f(x)遞增，無(wú)極值；

22

若a>工,則工V2,f(x)在(！，2)遞減；在(2,+8),(-oo,JL)遞增，

2aaa

可得f(x)在x=2處取得微小值；

若OVavL,則工>2.f(x)在(2.1)遞減：在(1.+8).(-8.2)遞增，

2aaa

可得f(x)在x=2處取得極大值，不符題意；

若aVO,則工<2,f(x)在(L2)遞增；在(2,+~),(-1)遞減，

aaa

可得f(x)在x=2處取得極大值，不符題意.

綜上可得，a的范圍是(!，+8).

2

3.(江蘇)函數(shù)f(x)=,0g1的定義域?yàn)棰?8).

【解答】解：由題意得：log#1，解得：x22,???函數(shù)f(x)的定義域是⑵+8).

故答案為：[2,+8).

cos今x，0<x<2

4.(江蘇)函數(shù)f(x)滿意f(x+4)=f(x)(x￡R),且在區(qū)間(-2,2］上,f(x)=(,

|x+|l,-2<x<0

則f(f(15))的值為返.

~2~

【解答】解：由f(x+4)=f(x)得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則f(15)=f(16-1)=f(-

1)=I-l+^-|=~,f(—)=cos(-5-x—)=cos-5-=^^,即f(f(15))

22222422

故答案為：返

2

5.(江蘇)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+l(a￡R)在(0,+~)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)

在［-1,1］上的最大值與最小值的和為-3.

【解答】解：二?函數(shù)f(x)=2x3-ax2+l(a￡R)在(0,+°°)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

.*.f(x)=2x(3x-a),x￡(0,+°°),①當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)=2x(3x-a)>0,

函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，f(0)=1,f(x)在(0,+8)上沒有零點(diǎn)，舍去；

②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=2x(3x-a)>0的解為x>且，At(x)在(0,2)上遞減，在(且,

333

+8)遞增，又f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，.?.f(2)=-￡+1=0,解得a=3,

327

f(x)=2x3-3X2+1,f(x)=6x(x-1),xG［-1,1］,f'(x)>0的解集為(-1,0),

f(x)在(-1,0)上遞增，在(0,1)上遞減；f(?1)=?4,f(0)=1,f(1)=0,

.,.f(X)min=f(-1)=-4,f(x)max=f(0)=1,r.f(x)在［-1,1］上的最大值與最小值的和

為：f(x)max+f(X)min=-4+1=~3.

6.(江蘇)記「(X),g(X)分別為函數(shù)f(X),g(X)的導(dǎo)函數(shù).若存在X°￡R,滿意f(X。)

=g(Xo)且f'(Xo)=g'(Xo),則稱Xo為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)"S點(diǎn)".

(1)證明：函數(shù)f(x)=x與g(x)=x?+2x-2不存在"S點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)f(x)=ax2?l與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)〃，求實(shí)數(shù)a的值;

(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,glx)二上一.對(duì)隨意a>0,推斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)

x

與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在“S點(diǎn)〃，并說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)證明：f'(x)=1,g'(X)=2x+2,

則由定義得X=X+2X-2,得方程無(wú)解，Ijlijf(x)=x與g(x)=x?+2x-2不存在“S點(diǎn)〃；

,l=2x+2

(x)得工=2ax,得

f職…"居"婀,得

(3)f(x)=-2x,gz(x)，叱-1),(xWO),

2x?

x

由f(xo)=g'(xo),得beo=--5->0,得O<xo<l,

xn-1

2

2x0

,得a=xn2"x0

-1

232

令h(x)=x2?"?a=-x+3x+ax-a,(a>0,0<x<l),

X-11-x

設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<l),

則m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,

又m(x)的圖象在(0,1)上連綿不斷，則m(x)在(0,1)上有零點(diǎn)，則h(x)在(0,

1)上有零點(diǎn),則f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在，夕點(diǎn).

7.(全國(guó)1卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)

(0,0)處的切線方程為()D

A.Y=~2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【解答】解：函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù)，可得a=l,所以函數(shù)f(x)

=x3+x,可得/(x)=3x2+1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率為：1,則曲線y=f(x)

在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為：尸X.故選：D.

8.(全國(guó)1卷)已知函數(shù)f(x)=，°,x4°,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，

Inx,x>0

則a的取值范圍是()C

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【解答】解：由g(x)=0得f(x)=-x-a,作出函數(shù)f(x)和y=-x-a的圖象如圖：

當(dāng)直線y=x-a的截距a<l,即1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象都有2個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,+8),故選：C.

上是減函數(shù)，

②當(dāng)a>2時(shí)，x,f(x),f(x)的改變?nèi)缦卤?

X(0,a2-4(a?Ya+Va2-4(a+Va2-4

aW相—)2222

2+oo)

a+Va2-4、

2

f(x)-0+0-

f(x)遞減遞增遞減

綜上當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

當(dāng)a>2時(shí)，在(0,42—4),和(火逞!二￡+8)上是減函數(shù),

22

則(鼠衛(wèi)生，生衛(wèi)1)上是增函數(shù).

22

(2)由(1)知a>2,0<xi<l<x2,xiX2=l,

貝!]f(xi)-f(X2)=(X2-xi)(1+---)+a(Inxi-Inx2)=2(X2-xi)+a(Inxi-Inxz),

xlx2

f(x.)-f(x)a(lnx<-lnx)「…》一、，、十?Inx,-lnx…一

則——5---------'9-2+----------5--------?9一，則問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明一J--------^9<1即可，

-

Xj-x2xj-x2x?x2

即證明Inxi-Inx2>xi-X2，即證21nxi>xi-在(0,1)上恒成立,

X1

設(shè)h(x)=2lnx-x+i,(0VxV1),其中h(1)=0,

x

22

(x

求導(dǎo)得卜(x)=1-1-J-=-x-2^+1=--V<0,則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

XX2x2X2

Ah(x)>h(1),BP2lnx-x+—>0,故2lnx>x-工，貝U———--------<a-2成立.

XXXj-X2

11.(全國(guó)2卷)函數(shù)f(x)=.一廠的圖象大致為()B

【解答】解：函數(shù)f(-X)=e—V--e-^—=-f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于

(-X)2X2

原點(diǎn)對(duì)稱，解除A,當(dāng)x=l時(shí)，f(1)=e--i>0,解除D.當(dāng)x~>+8時(shí)，f(x)~>+8,解除。

e

故選：B.

12.(全國(guó)2卷)已知f(x)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù)，滿意f(1-x)=f(1+x),若

f(1)=2,貝Uf(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()C

A.-50B.0C.2D.50

【解答】解：?門(x)是奇函數(shù)，且f(1-x)=f(1+x),

At(1-X)=f(1+X)=-f(x-1),f(0)=0,

則f(x+2)=-f(x),貝I]f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，Tf(1)=2,

Af(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2,

f(4)=f(0)=0,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

則f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=f(1)+f(2)=2+0=2,故選：C.

13.(全國(guó)2卷)曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x.

【解答】解：Vy=2ln(x+1),當(dāng)x=0時(shí)，y'=2,

x+1

???曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x.故答案為：y=2x.

14.(全國(guó)2卷)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=l,證明：當(dāng)x'O時(shí)，f(x)21；

(2)若f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

【解答】證明：(1)當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)f(x)=ex-X?.貝ijf'(x)=e'-2x,

令g(x)=ex-2x,則g*(x)=ex-2,令g'(x)=0,得x=ln2.

當(dāng)￡(0,In2)時(shí)，W(x)<0,當(dāng)￡(In2,+?>)時(shí)，卜(x)>0,

Ah(x)>h(In2)=cln2-2*ln2=2-2ln2>0,

Af(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，.??f(x)2f(0)=1,

解：(2),f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)=方程ex-ax；2=0在(0,+°°)只有一個(gè)根，

02=另■在(0,+8)只有一個(gè)根，即函數(shù)y=a與G(x)=號(hào)的圖象在(0,+8)只有一個(gè)交

X

點(diǎn)、?G,(x)二式鏟，

X

當(dāng)x￡(0,2)時(shí)，G*(x)<0,當(dāng)￡(2,+8)時(shí)，G*(x)>0,

AG(x)在(0,2)遞增，在(2,+8)遞增，

當(dāng)->0時(shí)，G(x)當(dāng)->+8時(shí)，G(x)>+8,

2

Af(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=G(2)=幺.

4

一15.(全國(guó)3卷)函數(shù)y=-x4+x12+2的圖象大致+為()D

C°

D.

【解答】解：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,2),解除A,B.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f，(x)=-4x3+2x=-2x(2x2-l),

由f，(x)>0得2x(2x2-l)<0,得xV-逞或OVxV返，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，解除C,

22

故選：D.

16.(全國(guó)3卷)設(shè)a=logo,20.3,b=log20.3?貝ij()B

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<O<abD.ab<O<a-b

【解答】解：Va=log0,20.3=11212,b=log20.3=li2i2,

-lg5lg2

510

■i、JgO?3lgO.3二IgO.3(lg5-lg2)_lgJ31gmigQ.3IgO.3二二8三

**afb-^g21g21g51g21g5'ab--lg2*lg5=Ig21g5

VA2>igl,lg』3〈0,Aab<a+b<0.故選：B.

il8gT^1821g21g5

17.(全國(guó)3卷)曲線y=(ax+1)e*在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=-3.

【解答】解：曲線y=(ax+1)ex,可得(ax+1)ex?曲線y=(ax+1)e”在點(diǎn)(0,1)處

的切線的斜率為-2,可得：a+l=-2,解得a=-3.故答案為：-3.

18.(全國(guó)3卷)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)-l<x<0時(shí)，f(x)<0：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a.

【解答】(1)證明：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(2+x)In(1+x)-2x,(x>-1).

X

f'(x)=ln(x+l)-f"(x)=2?

x+1(x+1產(chǎn)

可得x￡(-1,0)時(shí)，f〃(x)WO,xG(0,+8)時(shí)，f〃(x)20

???？(x)在(-1,0)遞減，在(0,+8)遞增，

Af(x)(0)=0,

Af(x)=(2+x)In(1+x)?2x在(-1,+?>)上單調(diào)遞增，又f(0)=0.

，當(dāng)-lVxVO時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.

(2)解：由f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x,得

22

f(x)=(l+2ax)In(1+x)+2+x+ax-2=ax-x+(l+2ax)(l+x)ln(x+l),

x+1x+1

令h(x)=ax2-x+(l+2ax)(1+x)In(x+1),

h'(x)=4ax+(4ax+2a+l)In(x+1).

當(dāng)a20,x>0時(shí)，hJ(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

Ah(x)>h(0)=0,即f(x)>0,

Af(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故x=0不是f(x)的極大值點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)aVO時(shí)，h"(x)=8a+4aln(x+1)+上至，

x+1

明顯h"(x)單調(diào)遞減，

①令h〃(0)=0,解得a=-1.

6

，當(dāng)?1VXV0時(shí)，h"(x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，h〃(x)<0,

???h'(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

(x)(0)=0,

Ah(x)單調(diào)遞減，乂h(0)=0,

，當(dāng)-lVxVO時(shí)，h(x)>0,即f'(x)>0,

當(dāng)x>0時(shí)，h(x)<0,即「(x)<0,

??」(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

，x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，符合題意；

l+6a

②若-l<a<0,貝ijh"(0)=l+6a>0,h"(e-1)=(2a-1)(1-e)<0,

6

???h〃(x)=0在(0,+8)上有唯一一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為xo,

二當(dāng)OVxVxo時(shí),h〃(x)>0,hz(x)單調(diào)遞增，

(x)>h*(0)=0,即f(x)>0,

Af(x)在(0,xo)上單調(diào)遞增，不符合題意；

③若aV-1，則h〃(0)=l+6a<0,hw(-L-1)=(l-2a)e2>0,

，h〃(x)=0在(-1,0)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為xi,

，當(dāng)xi<x<0時(shí)，h"(x)<0,h*(x)單調(diào)遞減，

r.h*(x)>h#(0)=0,Ah(x)單調(diào)遞增，

Ah(x)<h(0)=0,即F(x)<0,

Af(x)在(X］，0)上單調(diào)遞減，不符合題意.

綜上，a=--.

6

19.(上海)設(shè)常數(shù)a￡R,函數(shù)f(x)=log2(x+a).若f(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1),

則a=7.

【解答】解：???常數(shù)a￡R,函數(shù)f(x)=log2(x+a).f(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1),

???函數(shù)f(x)=10g2(x+a)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),.\log2(1+a)=3,解得a=7.故答案為:7.

20.(上海)已知a￡{-2,-1,-1,1,1,2,3},若塞函數(shù)f(x)=x。為奇函數(shù)，且在(0,

22

+°°)上遞減，則a=-1.

【解答】解：???a￡{-2,-1,1,1,1,2,3),嘉函數(shù)f(x)=x。為奇函數(shù)，且在(0,十

22

8)上遞減，l.a是奇數(shù)，且aVO,，a=-l.故答案為：7.

2L(上海)已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)三2X，的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(p,A),Q(q,一L).若

2x+ax55

2p.q=36pq,則a=6.

【解答】解：函數(shù)f(x)—的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(p,1),Q(q,」).

2x+ax55

則：上+上二旦，二1，整理得：,2計(jì)"2Paq+2%p+2：q],

2p+ap2q+aq552p4q+2paq+2qap+apq

解得:2Pq=a?pq,由于：2Pq=36pq,所以：a?=36,由于a>0,故：a=6.故答案為：6

22.(上海)設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f(x)是定義在D上晌函數(shù)，若f(x)的圖象繞原點(diǎn)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)？L后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，f(1)的可能取值只能是()B

6

A.衣B.近C.近■D.0

23

【解答】解：設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f(x)是定義在D上的函數(shù)，

若f(x)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)工后與原圖象重合，故f(1)=cos匹=運(yùn)，故選：B.

662

23.(上海)某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某

地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當(dāng)S中x%(OVxVIOO)的成員自

駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為

30,0<x<30

-x)=2、曄-犯30<x<10C(W：分鐘)'

x

而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響，恒為40分鐘，試依據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？

(2)求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g(x)的表達(dá)式；探討g(x)的單調(diào)性，并說(shuō)明其實(shí)際

意義.

【解答】解；(1)由題意知，當(dāng)30VXV100時(shí)，f(x)=2x+更”?90>40,

x

BPx2-65x+900>0,解得xV20或x>45,

Axe(45,100)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間;

(2)當(dāng)0<xW30時(shí)，g(x)=3C*x%+40(1-x%)=40-工；

10

當(dāng)30<xV100時(shí)，，

2

R(x)=(2x+儂?90)?x%+40(1-x%)=2L_-llx+58：

x5。10

當(dāng)0VxV32.5時(shí),g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)32.5VxV100時(shí),g(x)單調(diào)遞增；

說(shuō)明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時(shí);人均通勤時(shí)間是遞減的；有大于32.5%的人自

駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞增的；當(dāng)自駕人數(shù)為32.5%時(shí)，人均通勤時(shí)間最少.

24.(天津)已知a=log2e,b=ln2,c=log［工，則a,b,c的大小關(guān)系為()D

萬(wàn)3

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解答】解：a=log2e>l,0<b=ln2<l,c=log1-I^log23>log2e=a,

萬(wàn)3

則a,b,c的大小關(guān)系c>a>b,故選：D.

25.(天津)已知a>0,函數(shù)f(x)x<0.若關(guān)于x的方程f〃)=ax恰有2

-x2+2ax-2a,x>0

個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是(4,8).

【解答】解：當(dāng)xWO時(shí)，由f(x)=ax得x?+2ax+a=ax,得x2+ax+a=0,

2

得a(x+1)=-x2,得a=-——,

x+1

12

設(shè)g(x)=?"，貝I」g(x)=-2x(x-H)-x=-..x*x.,

x+1(x+1)2(x+1)2

由g(x)>0得-2<x<-1或-l<x<0,此時(shí)遞增，

由g(x)<0得x<-2,此時(shí)遞減，即當(dāng)x=-2時(shí)，g(x)取得微小值為g(-2)=4,

當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)=ax得-x2+2ax-2a=ax,

得x?-ax+2a=0,得a(x-2)=x2,當(dāng)x=2時(shí)，方程不成立,

2222

當(dāng)xW2時(shí)，a=二設(shè)h(x)=-11,則M(x)=2X(X-2)-X-x-4x,

x-2x-2(x-2)2(x-2)2

由h(x)>0得x>4,此時(shí)遞增，

由h(x)<0得0<x<2或2Vx<4,此時(shí)遞減，即當(dāng)x=4時(shí)，h(x)取得微小值為h(4)=8,

要使f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則由圖象知4Va<8,故答案為：(4,8)

26.(天津)已知函數(shù)f(x)=a\g(x)=logax,其中a>l.

(I)求函數(shù)h(x)=f(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間；

(口)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(xi，f(xi))處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(X2，g(X2))處的切

線平行，證明xi+g(x2)=辿心；

Ina

(IH)證明當(dāng)a2e丁時(shí)，存在直線I,使I是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

【解答】([)解:由已知,h(x)=ax-xlna,有h'(x)=axlna-Ina,

令hz(x)=0,解得x=0.

由a>l,可知當(dāng)x改變時(shí)，hz(x),h(x)的改變狀況如下表：

X(-8,o)0(0,+8)

y(x)-0+

h(x)J微小值個(gè)

???函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

(口)證明：由？(x)=ax|na,可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(x「f(x】))處的切線的斜率為

由g，（x）=」—，可得曲線y=g（X）在點(diǎn)（X2,g（X2））處的切線的斜率為T—

xlnax2lna

??,這兩條切線平行，故有ax1]。車，即叼<1（1皿）2二1，

兩邊取以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)，得logax2+xi+2logalna=0,

Xi+g（X2）=[Inina；

Ina

xx

（IC）證明：曲線y=f（x）在點(diǎn)（X[,a*】）處的切線他y-ai=a4na（x-X1）,

曲線y=g(x)在點(diǎn)(X2，logx)處的切線L：y-logX=—；—(x-x)-

a2a/9X2)na9/

要證明當(dāng)aN3時(shí)，存在直線I，使I是曲線y=f（x）的切線，也是曲線y=g（x）的切線,

1

只需證明當(dāng)a2代二時(shí)，存在xi￡

(-8,+OO),X2e(0,+8)使得I］與I重合,

&x1lna=—\--①

xlna

即只需證明當(dāng)aN3時(shí)，方程組2

x.x.1

a-x1alna=log_x-^—②

1a乙9Ina

由①得x-————，代入②得:

2△（I.產(chǎn)

a*1-盯aX】lna+X1*笆詈二。③

因此，只需證明當(dāng)a2PT時(shí)，關(guān)于％的方程③存在實(shí)數(shù)解.

設(shè)函數(shù)u（x）=aX_xaX]na+x+」-+紅辿迫，既要證明當(dāng)a?佇丁時(shí)，函數(shù)y=u（x）存在零點(diǎn).

InaIna

uz(x)=1-(Ina)2xax,可知x￡(-0)時(shí)，uz(x)>0：x￡(0,+°°)時(shí)，uz(x)單

調(diào)遞減,

z_(lna)2<0,

乂u(0)=1>0,u''(Ina)2)=1a

2X

故存在唯一的xo，且xo>O,使得『（xo）=0,BPl-（lna）x0a°=O,

由此可得，u（x）在（-8,xo）上單調(diào)遞增，在（xo,+8）上單調(diào)遞減,

U（X）在X=Xo處取得極大值U（xo）.

\_

*.*，故InIna2-1.

,?u(x)=aX°xo...1.21nlna_1,21nlna2+21nlna

0Oa]na+xF^^>0.

Ina

x0(lna)

卜.面證明存在實(shí)數(shù)3使得u(t)<0,

由(工)可得axel+xlna,當(dāng)x〉」一時(shí)，有

Ina

u(X)(1+xlna)(l-xlna)+x-h7^+^^na=-(lna)22,,,,1,21nlna

x+x+_+-j+—:----

InaInaInaIna

???存在實(shí)數(shù)3使得u(t)<0.

因此，當(dāng)a1戶e時(shí)，存在X1W(-8,+8),使得U(X1)=O.

???當(dāng)a2f7時(shí)，存在直線I,使I是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

27.(浙江)函數(shù)y=2Xsin2x的圖象可能是()D

【解答】解：依據(jù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=2Xsin2x,得到：函數(shù)的圖象為奇函數(shù)，

故解除A和B.當(dāng)x=?L時(shí)，函數(shù)的值也為0,故解除C.故選：D.

2

28.(浙江)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題："今有雞翁一，值錢五；雞母

一，值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？"設(shè)雞翁，雞母,

x+y+z=100

雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則i,當(dāng)z=81時(shí)，x=8,v=11

5x+3jH--z=100