2022屆《創(chuàng)新設(shè)計》數(shù)學一輪(理科)北師大版配套課時作業(yè)2-9-實際問題的函數(shù)建模

第9講實際問題的函數(shù)建?；A(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A．一次函數(shù)模型 B．冪函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型解析依據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．答案A2．(2021·合肥調(diào)研)某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的狀況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是 ()解析前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.答案A3．(2022·湖南卷)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，其次年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為 ()A.eq\f(p＋q,2) B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D.eq\r(p＋1q＋1)－1解析設(shè)兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a，則其次年年底的生產(chǎn)總值為a(1＋p)(1＋q)．設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，則a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于連續(xù)兩年持續(xù)增加，所以x＞0，因此x＝eq\r(1＋p1＋q)－1，故選D.答案D4．(2022·北京東城期末)某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費確定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為 ()A．10 B．11C．13 D．21解析設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費用為y，則x年后的設(shè)備維護費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費用為y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5，由基本不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時取等號，所以選A.答案A5.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差 ()A．10元 B．20元C．30元 D.eq\f(40,3)元解析設(shè)A種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k2t，當t＝100時，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.答案A二、填空題6.(2022·江西六校聯(lián)考)A、B兩只船分別從在東西方向上相距145km的甲乙兩地開出．A從甲地自東向西行駛．B從乙地自北向南行駛，A的速度是40kmh，B的速度是16kmh，經(jīng)過________小時，AB間的距離最短．解析設(shè)經(jīng)過xh，A，B相距為ykm，則y＝eq\r(145－40x2＋16x2)(0≤x≤eq\f(29,8))，求得函數(shù)的最小值時x的值為eq\f(25,8).答案eq\f(25,8)7．(2021·長春模擬)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底下一個微小的小孔漸漸地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)覺容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開頭時的八分之一．解析當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有開頭時的八分之一時，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16min.答案168.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m.解析設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y，則由相像三角形性質(zhì)可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，當x＝20時，Smax＝400.答案20三、解答題9.在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)待價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并商定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息)．在甲供應的資料中：①這種消費品的進價為每件14元；②該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關(guān)系如圖所示；③每月需各種開支2000元．(1)當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？解設(shè)該店月利潤余額為L元，則由題設(shè)得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①由銷量圖易得Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2P＋5014≤P≤20，,－\f(3,2)P＋4020＜P≤26，))代入①式得L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2P＋50P－14×100－560014≤P≤20，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)P＋40))P－14×100－560020＜P≤26，))(1)當14≤P≤20時，Lmax＝450元，此時P＝19.5元；當20＜P≤26時，Lmax＝eq\f(1250,3)元，此時P＝eq\f(61,3)元．故當P＝19.5元時，月利潤余額最大，為450元．(2)設(shè)可在n年后脫貧，依題意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脫貧．10．(2022·鄭州模擬)已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)假如m＝2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．解(1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(1,2t)))，當θ＝5時，2t＋eq\f(1,2t)＝eq\f(5,2)，令2t＝x≥1，則x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f(1,2)(舍去)，此時t＝1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立．亦m·2t＋eq\f(2,2t)≥2恒成立，亦即m≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2t)－\f(1,22t)))恒成立．令eq\f(1,2t)＝x，則0＜x≤1，∴m≥2(x－x2)，由于x－x2≤eq\f(1,4)，∴m≥eq\f(1,2).因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).力氣提升題組(建議用時：25分鐘)11．為了預防信息泄露，保證信息的平安傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種為加密密鑰密碼系統(tǒng)(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．現(xiàn)在加密密鑰為y＝kx3，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“eq\f(1,256)”，則解密后得到的明文是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C．2 D.eq\f(1,8)解析由題目可知加密密鑰y＝kx3是一個冪函數(shù)型，由已知可得，當x＝4時，y＝2，即2＝k×43，解得k＝eq\f(2,43)＝eq\f(1,32).故y＝eq\f(1,32)x3，明顯令y＝eq\f(1,256)，則eq\f(1,256)＝eq\f(1,32)x3，即x3＝eq\f(1,8)，解得x＝eq\f(1,2).答案A12.某廠有很多外形為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為 ()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20).得x＝eq\f(5,4)(24－y)，∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，∴當y＝12時，S有最大值，此時x＝15.答案A13．(2022·岳陽模擬)一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N＋)件．當x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當x＞20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)．解析當0＜x≤20時，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當x＞20時，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N＋)．當0＜x≤20時，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時，ymax＝156.而當x＞20時，160－x＜140，故x＝16時取得最大年利潤．答案y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N＋)1614.某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線的一段，已知跳水板AB長為2m，跳水板距水面CD的高BC為3m，CE＝5m，CF＝6m，為平安和空中姿勢秀麗?，訓練時跳水曲線應在離起跳點hm(h≥1)時達到距水面最大高度4m，規(guī)定：以CD為橫軸，CB為縱軸建立直角坐標系．(1)當h＝1時，求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到壓水花的訓練要求，求達到壓水花的訓練要求時h的取值范圍．解(1)由題意知最高點為(2＋h,4)，h≥1，設(shè)拋物線方程為y＝a[x－(2＋h)]2＋4，當h＝1時，最高點為(3,4)，方程為y＝a(x－3)2＋4，將A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.∴當h＝1時，跳水曲線所在的拋物線方程為y＝－(