2021高中數(shù)學-3.1.3-概率的基本性質(zhì)-教案(人教A版必修3)

3.1.3概率的基本性質(zhì)●三維目標1．學問與技能(1)了解隨機大事間的基本關(guān)系與運算．(2)理解互斥大事、對立大事的概念．(3)把握概率的幾個基本性質(zhì)，并會用其解決簡潔的概率問題．2．過程與方法(1)通過觀看、類比、歸納培育同學運用數(shù)學學問的綜合力氣．(2)通過同學自主探究，合作探究培育同學的動手探究的力氣．3．情感、態(tài)度與價值觀通過數(shù)學活動，了解教學與實際生活的親熱聯(lián)系，感受數(shù)學學問應用于現(xiàn)實世界的具體情境，從而激發(fā)學習數(shù)學的情趣．●重點難點重點：概率的加法公式及其應用；大事的關(guān)系與運算．難點：互斥大事與對立大事的區(qū)分與聯(lián)系．教學時以擲骰子試驗為學問的切入點，從同學原有的認知水平和所需的學問特點入手，引導同學結(jié)合學校學習過的概率學問，不斷地觀看、比較、分析教材中的各個大事的聯(lián)系與區(qū)分，通過小組爭辯和探究得到各個大事的特點，老師引導同學分析互斥大事和對立大事的關(guān)系化解本節(jié)的難點．引導同學回答所提問題，理解概率的加法公式成立的條件、特征及由概率公式可求解的概率的類型；通過例題與練習讓同學在應用概率解決問題的過程中更深化地理解概率及其作用，以強化重點．課標解讀1.了解大事間的相互關(guān)系．2.理解互斥大事、對立大事的概念．(重點)3.會用概率加法公式求某些大事的概率．(難點)大事的關(guān)系與運算【問題導思】在擲骰子試驗中，我們用集合形式定義如下大事：C1＝{毀滅1點}，C2＝{毀滅2點}，C3＝{毀滅3點}，C4＝{毀滅4點}，C5＝{毀滅5點}，C6＝{毀滅6點}，D1＝{毀滅的點數(shù)不大于1}，D2＝{毀滅的點數(shù)大于4}，D3＝{毀滅的點數(shù)小于6}，E＝{毀滅的點數(shù)小于7}，F(xiàn)＝{毀滅的點數(shù)大于6}，G＝{毀滅的點數(shù)為偶數(shù)}，H＝{毀滅的點數(shù)為奇數(shù)}．1．假如大事C1發(fā)生，則確定有哪些大事發(fā)生？反之成立嗎？在集合中，集合C1與這些集合之間的關(guān)系怎樣描述？【提示】若C1發(fā)生，則確定發(fā)生的大事有D1、D3、E、H，反之若D1、D3、E、H分別成立，能推出C1發(fā)生的只有D1.從集合的觀點看，大事C1是大事D3、E、H的子集，集合C1與集合D1相等．2．假如大事“C2發(fā)生或C4發(fā)生或C6發(fā)生”，就意味著哪個大事發(fā)生？【提示】意味著大事G發(fā)生．3．大事D2與大事H同時發(fā)生，意味著哪個大事發(fā)生？【提示】C5發(fā)生．4．大事D3與大事F能同時發(fā)生嗎？【提示】不能．5．大事G與大事H能同時發(fā)生嗎？這兩個大事有什么關(guān)系？【提示】大事G與大事H不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生．1．一般地，對于大事A與大事B，假如大事A發(fā)生，則大事B確定發(fā)生，這時稱大事B包含大事A(或稱大事A包含于大事B)．表示法：B?A(或A?B)．2．假如大事發(fā)生當且僅當大事A或大事B發(fā)生，則稱此大事為大事A與B的并大事(或和大事)，記為A∪B(或A＋B)．3．假如某大事發(fā)生當且僅當大事A發(fā)生且大事B發(fā)生，則稱此大事為大事A與B的交大事(或積大事)，記為A∩B(或AB)．4．假如A∩B為不行能大事(A∩B＝?)，則稱大事A與大事B互斥，即大事A與大事B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生．5．假如A∩B為不行能大事，A∪B為必定大事，則稱大事A與大事B互為對立大事，即大事A與大事B在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生.概率的性質(zhì)1.概率的取值范圍為[0,1]．2．必定大事的概率為1，不行能大事的概率為0.3．概率加法公式：假如大事A與大事B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A與B為對立大事，則P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.大事關(guān)系的推斷某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記大事A為“只訂甲報”，大事B為“至少訂一種報”，大事C為“至多訂一種報”，大事D為“不訂甲報”，大事E為“一種報也不訂”．推斷下列每對大事是不是互斥大事；假如是，再推斷它們是不是對立大事．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.【思路探究】依據(jù)互斥大事、對立大事的定義來推斷．【自主解答】(1)由于大事C“至多訂一種報”中有可能只訂甲報，即大事A與大事C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥大事；(2)大事B“至少訂一種報”與大事E“一種報也不訂”是不行能同時發(fā)生的，故B與E是互斥大事．由于大事B發(fā)生可導致大事E確定不發(fā)生，且大事E發(fā)生會導致大事B確定不發(fā)生，故B與E還是對立大事；(3)大事B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，即大事B發(fā)生，大事D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥大事；(4)大事B“至少訂一種報”中有這些可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”，大事C“至多訂一種報”中有這些可能：“什么報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”，由于這兩個大事可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥大事；(5)由(4)的分析，大事E“一種報也不訂”只是大事C的一種可能，故大事C與大事E有可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥大事．推斷互斥大事和對立大事時，主要用定義來推斷．當兩個大事不能同時發(fā)生時，這兩個大事是互斥大事；當兩個大事不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生時，這兩個大事是對立大事．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10)中任取一張．推斷下列每對大事是否為互斥大事，是否為對立大事，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點數(shù)大于9”【解】(1)互斥大事，不是對立大事．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時發(fā)生的，所以是互斥大事．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或“梅花”，所以二者不是對立大事．(2)既是互斥大事，又是對立大事．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個大事不行能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥大事，又是對立大事．(3)不是互斥大事，當然也不行能是對立大事．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點數(shù)大于9”大事的運算在某高校數(shù)學系圖書室中任選一本書，設A＝{數(shù)學書}，B＝{中文版的}，C＝{2000年后出版的}，問：(1)A∩B∩eq\x\to(C)表示什么大事？(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A?(3)eq\x\to(C)?B表示什么意思？(4)若eq\x\to(A)＝B，是否意味著圖書館中全部的數(shù)學書都不是中文版的？【思路探究】本題主要考查大事的關(guān)系與運算，解題關(guān)鍵是弄清大事的關(guān)系及運算的含義．【自主解答】(1)A∩B∩eq\x\to(C)＝{2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學書}．(2)在“圖書室中全部數(shù)學書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.(3)eq\x\to(C)?B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的．(4)是.eq\x\to(A)＝B意味著圖書室中非數(shù)學書都是中文版的，而且全部的中文版的書都不是數(shù)學書．1．大事間的運算：2．進行大事的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能毀滅的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析．擲一枚骰子，下列大事：A＝{毀滅奇數(shù)點}，B＝{毀滅偶數(shù)點}，C＝{點數(shù)小于3}，D＝{點數(shù)大于2}，E＝{點數(shù)是3的倍數(shù)}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)記eq\x\to(H)是大事H的對立大事，求eq\x\to(D)，eq\x\to(A)C，eq\x\to(B)∪C，eq\x\to(D)＋eq\x\to(E).【解】(1)A∩B＝?，BC＝{毀滅2點}．(2)A∪B＝{毀滅1,2,3,4,5或6點}，B＋C＝{毀滅1,2,4或6點}．(3)eq\x\to(D)＝{點數(shù)小于或等于2}＝{毀滅1或2點}，eq\x\to(A)C＝BC＝{毀滅2點}，eq\x\to(B)∪C＝A∪C＝{毀滅1,2,3或5點}，eq\x\to(D)＋eq\x\to(E)＝{毀滅1,2,4或5點}.互斥大事與對立大事的概率某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計算這個射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率．【思路探究】先設出大事，推斷是否互斥或?qū)α?，然后再使用概率公式求解．【自主解答?1)設“射中10環(huán)”為大事A，“射中7環(huán)”為大事B，由于在一次射擊中，A與B不行能同時發(fā)生，故A與B是互斥大事．“射中10環(huán)或7環(huán)”的大事為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種狀況：射中6環(huán)，5環(huán)，4環(huán)，3環(huán)，2環(huán)，1環(huán)，0環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面大于等于7環(huán)，即7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，由于此兩大事必有一個發(fā)生，另一個不發(fā)生，故是對立大事，可用對立大事的方法處理．設“不夠7環(huán)”為大事E，則大事eq\x\to(E)為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由(1)可知“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”等彼此是互斥大事，∴P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，從而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.∴不夠7環(huán)的概率是0.03.1．對于一個較簡潔的大事，一般將其分解成幾個簡潔的大事，當這些大事彼此互斥時，原大事的概率等于這些大事概率的和．并且互斥大事的概率加法公式可以推廣為：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其使用的前提條件照舊是A1，A2，…，An彼此互斥．故解決此類題目的關(guān)鍵在于分解大事及確立大事是否互斥．2．“正難則反”是解決問題的一種很好的方法，應留意把握，如本例中的第(2)問，直接求解比較麻煩，則可考慮求其對立大事的概率，再轉(zhuǎn)化為所求．玻璃盒子中裝有各色球12個，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1球．設大事A為“取出1個紅球”，大事B為“取出1個黑球”，大事C為“取出1個白球”，大事D為“取出1個綠球”．已知P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).求：(1)“取出1球為紅或黑”的概率；(2)“取出1球為紅或黑或白”的概率．【解】法一大事A，B，C，D彼此為互斥大事．(1)“取出1球為紅或黑”的概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)“取出1球為紅或黑或白”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).法二(1)“取出1球為紅或黑”的對立大事為“取出1球為白或綠”，即A∪B的對立大事為C∪D，所以P(A∪B)＝1－P(C∪D)＝1－P(C)－P(D)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)A∪B∪C的對立大事為D，所以P(A∪B∪C)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).不能區(qū)分大事是否互斥而毀滅錯誤擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面毀滅1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率均為eq\f(1,6)，記大事A為“毀滅奇數(shù)”，大事B為“向上的數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．【錯解】P(A)＝eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.【錯因分析】大事A與大事B不是互斥大事，不能應用概率的加法公式．【防范措施】1.明確概率的加法公式使用的條件．2．把握互斥大事的特點，分清大事是否為互斥大事．【正解】記大事“毀滅1點”，“毀滅2點”，“毀滅3點”，“毀滅5點”分別為A1，A2，A3，A4.這四個大事彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).1．要留意互斥大事與對立大事的區(qū)分與聯(lián)系：互斥大事是指大事A與大事B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)大事A發(fā)生且大事B不發(fā)生；(2)大事A不發(fā)生且大事B發(fā)生；(3)大事A與大事B同時不發(fā)生．而對立大事是指大事A與大事B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形：①大事A發(fā)生且大事B不發(fā)生；②大事B發(fā)生且大事A不發(fā)生，對立大事是互斥大事的特殊情形．2．關(guān)于概率的加法公式：(1)使用條件：A、B互斥．(2)推廣：若大事A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些簡潔的大事的概率時，可將其分解為一些概率較易求的彼此互斥的大事化整為零，化難為易．1．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁四人，每人分得一張，那么大事“甲分得紅牌”與大事“乙分得紅牌”是()A．對立大事B．互斥但不對立大事C．必定大事D．不行能大事【解析】“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，故它們是互斥大事，又甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲或乙分得紅牌”大事可能不發(fā)生．∴它們不是對立大事．【答案】B2．從4名男生和2名女生中任選3人去參與演講競賽，所選3人中至少有1名女生的概率為eq\f(4,5)，那么所選3人中都是男生的概率為________．【解析】設A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都為男生}，則A，B為對立大事，∴P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)3．在擲骰子的玩耍中，向上的數(shù)字為5或6的概率為____．【解析】記大事A為“向上的數(shù)字為5”，大事B為“向上的點數(shù)為6”，則A與∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)4．盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設大事A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，大事B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，大事C＝{3個球中至少有1個紅球}，大事D＝{3個球中既有紅球又有白球}．問：(1)大事D與A、B是什么樣的運算關(guān)系？(2)大事C與A的交大事是什么大事？【解】(1)對于大事D，可能的結(jié)果為“1個紅球2個白球”，或“2個紅球1個白球”，故D＝A∪B.(2)對于大事C，可能的結(jié)果為“1個紅球2個白球”，“2個紅球1個白球”，“三個均為紅球”，故C∩A＝A.一、選擇題1．(2022·西安高一檢測)假如大事A，B互斥，記eq\o(A,\s\up12(－))，eq\o(B,\s\up12(－))分別為大事A，B的對立大事，那么()A．A∪B是必定大事B.eq\o(A,\s\up12(－))∪eq\o(B,\s\up12(－))是必定大事C.eq\o(A,\s\up12(－))與eq\o(B,\s\up12(－))確定互斥D.eq\o(A,\s\up12(－))與eq\o(B,\s\up12(－))確定不互斥【解析】用集合的Venn圖解決此類問題較為直觀，如圖所示，eq\o(A,\s\up12(－))∪eq\o(B,\s\up12(－))是必定大事．【答案】B2．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品至少有一件是次品}，則下列結(jié)論正確的是()A．A與C互斥B．任何兩個均互斥C．B與C互斥D．任何兩個均不互斥【解析】∵從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品包含4個基本大事．D1＝{沒有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，∴A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A與C互斥，A與B互斥，B與C不互斥．【答案】A3．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為()A．60%B．30%C．10% D．50%【解析】設A＝{甲獲勝}，B＝{甲不輸}，C＝{甲、乙和棋}，則A、C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.【答案】D4．下列說法中正確的是()A．大事A、B中至少有一個發(fā)生的概率確定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大B．大事A、B同時發(fā)生的概率確定比大事A、B恰有一個發(fā)生的概率小C．互斥大事確定是對立大事，但對立大事不愿定是互斥大事D．互斥大事不愿定是對立大事，但對立大事確定是互斥大事【解析】當大事A、B都為必定大事或都為不行能大事時，大事A、B至少有一個發(fā)生的概率等于大事A、B恰有一個發(fā)生的概率，大事A、B同時發(fā)生的概率也等于大事A、B恰有一個發(fā)生的概率，故選項A、B都是錯誤的；互斥大事不愿定是對立大事，但對立大事確定是互斥大事，這一點由互斥大事與對立大事的概念可知．【答案】D5．同時拋擲兩枚骰子，兩枚骰子的點數(shù)之和可能是2,3,4，…，11,12中的一個，記大事A為“點數(shù)之和是2,4,7,12”，大事B為“點數(shù)之和是2,4,6,8,10,12”，大事C為“點數(shù)之和大于8”，則大事“A．A∩B B．A∩B∩CC．A∩B∩eq\x\to(C) D．A∩B∪eq\x\to(C)【解析】∵大事A＝{2,4,7,12}，大事B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}，又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩eq\x\to(C)＝{2,4}．【答案】C二、填空題6．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是________．【解析】連續(xù)射擊兩次有以下四種狀況：第一次中其次次不中，第一次不中其次次中，兩次都中和兩次都不中．故“至少一次中靶”的互斥大事為“兩次都不中靶”．【答案】“兩次都不中靶”7．同時拋擲兩枚骰子，既不毀滅5點也不毀滅6點的概率為eq\f(4,9)，則5點或6點至少毀滅一個的概率是________．【解析】記既沒有5點也沒有6點的大事為A，則P(A)＝eq\f(4,9)，5點或6點至少有一個的大事為B.因A∩B＝?，A∪B為必定大事，故A與B為對立大事，則P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)8．一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，摸出紅球的概率為________．【解析】由題意知A＝“摸出紅球或白球”與B＝“摸出黑球”是對立大事，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出紅球或黑球”與D＝“摸出白球”為對立大事，P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.設大事E＝“摸出紅球”，則P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.【答案】0.2三、解答題9．由閱歷得知，在某商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及概率如下表：排隊人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多有2人排隊的概率是多少？(2)至少有2人排隊的概率是多少？【解】設商場付款處排隊等候付款的人數(shù)為0,1,2,3,4及5人以上的大事依次為A0，A1，A2，A3，A4，A5且彼此互斥．(1)P(至多有2人排隊)＝P(A0∪A1∪A2)＝P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56