【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專用-理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破：第8篇-第7講-拋物線

第7講拋物線[最新考綱]1．把握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)．2．理解數(shù)形結(jié)合的思想．3．了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)潔應(yīng)用.知識(shí)梳理1．拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|＝d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離)．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離續(xù)表性質(zhì)頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下辨析感悟1．對(duì)拋物線定義的生疏(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡肯定是拋物線．(×)(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.(×)2．對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的理解(3)(2021·北京卷改編)若拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則a＝eq\f(1,4)，準(zhǔn)線方程為y＝－1. (√)(4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(×)(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a＞0)的通徑長(zhǎng)為2a.(√[感悟·提升]1．一點(diǎn)提示拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，eq\f(p,2)等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題格外有益．如(2)．2．兩個(gè)防范一是求拋物線方程時(shí)，首先弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先要把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，如(3).考點(diǎn)一拋物線的定義及其應(yīng)用【例1】(2022·深圳一模)已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|＝()．A．2∶eq\r(5) B．1∶2C．1∶eq\r(5) D．1∶3解析如圖所示，由拋物線定義知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由△MHN∽△FOA，則eq\f(|MH|,|HN|)＝eq\f(|OF|,|OA|)＝eq\f(1,2)，則|MH|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，即|MF|∶|MN|＝1∶eq\r(5).答案C規(guī)律方法拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．假如問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問題．【訓(xùn)練1】(2022·山東省試驗(yàn)中學(xué)診斷)已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，a)，則當(dāng)|a|＞4時(shí)，|PA|＋|PM|的最小值是________．解析將x＝4代入拋物線方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在拋物線的外部，如圖，由題意知F(1,0)，則拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－1的距離為|PN|，由定義知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF|取最小值，此時(shí)|PA|＋|PM|也最小，最小值為|AF|－1＝eq\r(9＋a2)－1.答案eq\r(9＋a2)－1考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【例2】(2022·鄭州一模)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()．A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x解析如圖，分別過A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，∴拋物線方程為y2＝3x，故選C.答案C規(guī)律方法(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是推斷焦點(diǎn)位置，開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要留意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特殊是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此．【訓(xùn)練2】(2022·蘭州一模)已知圓x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0與拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準(zhǔn)線相切，則m＝ ()． A．±2eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．±eq\r(3)解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，所以準(zhǔn)線為y＝－1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋y2＝eq\f(m2＋1,4)，所以圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，半徑為eq\f(\r(m2＋1),2).所以圓心到直線的距離為1，即eq\f(\r(m2＋1),2)＝1，解得m＝±eq\r(3).答案D考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】(2021·湖南卷)過拋物線E：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1＋k2＝2，l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于點(diǎn)C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k1＞0，k2＞0，證明：eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＜2p2；(2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為eq\f(7\r(5),5)，求拋物線E的方程．審題路線(1)寫出直線l1的方程?與拋物線聯(lián)立?用根與系數(shù)的關(guān)系求M，N的坐標(biāo)?寫出eq\o(FM,\s\up12(→))，eq\o(FN,\s\up12(→))的坐標(biāo)?求eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))?用基本不等式求得結(jié)論．(2)由拋物線定義求|AB|，|CD|?得到圓M與圓N的半徑?求出圓M與圓N的方程?得出圓M與圓N的公共弦所在直線l的方程?點(diǎn)M到直線l的距離求出其關(guān)于k1的函數(shù)式求其最小值?求得p.解(1)由題意知，拋物線E的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，直線l1的方程為y＝k1x＋eq\f(p,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋\f(p,2)，,x2＝2py))得x2－2pk1x－p2＝0.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．從而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pkeq\o\al(2,1)＋p.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pk1，pk\o\al(2,1)＋\f(p,2)))，eq\o(FM,\s\up12(→))＝(pk1，pkeq\o\al(2,1))．同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pk2，pk\o\al(2,2)＋\f(p,2)))，eq\o(FN,\s\up12(→))＝(pk2，pkeq\o\al(2,2))，于是eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＝p2(k1k2＋keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2))．由于k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜k1k2＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k1＋k2,2)))2＝1.故eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＜p2(1＋12)＝2p2.(2)由拋物線的定義得|FA|＝y(tǒng)1＋eq\f(p,2)，|FB|＝y(tǒng)2＋eq\f(p,2)，所以|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝2pkeq\o\al(2,1)＋2p，從而圓M的半徑r1＝pkeq\o\al(2,1)＋p.故圓M的方程為(x－pk1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－pk\o\al(2,1)－\f(p,2)))2＝(pkeq\o\al(2,1)＋p)2，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2pk1x－p(2keq\o\al(2,1)＋1)y－eq\f(3,4)p2＝0.同理可得圓N的方程為x2＋y2－2pk2x－p(2keq\o\al(2,2)＋1)y－eq\f(3,4)p2＝0.于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2－k1)x＋(keq\o\al(2,2)－keq\o\al(2,1))y＝0.又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，則l的方程為x＋2y＝0.由于p＞0，所以點(diǎn)M到直線l的距離d＝eq\f(|2pk\o\al(2,1)＋pk1＋p|,\r(5))＝eq\f(p|2k\o\al(2,1)＋k1＋1|,\r(5))＝eq\f(p\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k1＋\f(1,4)))2＋\f(7,8))),\r(5)).故當(dāng)k1＝－eq\f(1,4)時(shí)，d取最小值eq\f(7p,8\r(5)).由題設(shè)，eq\f(7p,8\r(5))＝eq\f(7\r(5),5)，解得p＝8.故所求的拋物線E的方程為x2＝16y.規(guī)律方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要留意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必需用一般弦長(zhǎng)公式．【訓(xùn)練3】設(shè)拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn). (1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為4eq\r(2)，求p的值及圓F的方程； (2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同始終線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．解(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓F的半徑|FA|＝eq\r(2)p.由拋物線定義可知A到l的距離d＝|FA|＝eq\r(2)p.由于△ABD的面積為4eq\r(2)，所以eq\f(1,2)|BD|·d＝4eq\r(2)，即eq\f(1,2)·2p·eq\r(2)p＝4eq\r(2)，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8.(2)由于A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同始終線m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90°.由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝eq\f(1,2)|AB|.所以∠ABD＝30°，m的斜率為eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3).當(dāng)m的斜率為eq\f(\r(3),3)時(shí)，由已知可設(shè)n：y＝eq\f(\r(3),3)x＋b，代入x2＝2py得x2－eq\f(2\r(3),3)px－2pb＝0.由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故Δ＝eq\f(4,3)p2＋8pb＝0，解得b＝－eq\f(p,6).由于m的縱截距b1＝eq\f(p,2)，eq\f(|b1|,|b|)＝3，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值也為3.當(dāng)m的斜率為－eq\f(\r(3),3)時(shí)，由圖形對(duì)稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.1．認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分y＝ax2(a≠0)與y2＝2px(p＞0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類爭(zhēng)辯，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡(jiǎn)潔化．拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離依據(jù)定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)，它們?cè)诮忸}中有重要的作用，留意運(yùn)用．教你審題9——機(jī)敏運(yùn)用拋物線焦點(diǎn)弦巧解題【典例】已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)?，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.? (1)求該拋物線的方程； (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，?若eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋λeq\o(OB,\s\up12(→))，求λ的值．[審題]一審：由直線過拋物線焦點(diǎn)可利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求解．二審：由點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，可設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋λeq\o(OB,\s\up12(→))表示出點(diǎn)C坐標(biāo)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線方程求解．解(1)直線AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡(jiǎn)化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))；設(shè)C(x3，y3)，則eq\o(OC,\s\up12(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[反思感悟](1)解決與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)問題，常用到x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為AB的傾斜角)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)這些結(jié)論，就會(huì)帶來(lái)意想不到的效果．(2)解析幾何中像這樣可以引申推廣的規(guī)律有很多，只要我們平常擅長(zhǎng)總結(jié)、歸納同類題的解題方法，并留意探究和發(fā)掘變換事物中所蘊(yùn)涵的一般規(guī)律，就肯定會(huì)有更多發(fā)覺．【自主體驗(yàn)】1．(2022·安徽卷)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3，則|BF|＝________.解析法一由eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).得|BF|＝eq\f(3,2).法二設(shè)∠BFO＝θ，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF|＝p＋|AF|cosθ，,|BF|＝p－|BF|cosθ，))由|AF|＝3，p＝2，得cosθ＝eq\f(1,3)，∴|BF|＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)2．(2022·重慶卷)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________.解析由eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)＝2及|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(25,12)，得|AF|·|BF|＝eq\f(25,24)，再由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF|＋|BF|＝\f(25,12)，,|AF|·|BF|＝\f(25,24)，))解得|AF|＝eq\f(5,6)，|BF|＝eq\f(5,4).答案eq\f(5,6)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2021·四川卷)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線的距離是()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線方程是y＝±eq\r(3)x，即eq\r(3)x±y＝0，故所求距離為eq\f(|\r(3)±0|,\r(\r(3)2＋±12))＝eq\f(\r(3),2).選B.答案B2．(2022·濟(jì)寧模擬)已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線相切，則p的值為()．A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3,0)，半徑為4.圓心到準(zhǔn)線的距離為3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)))＝4，解得p＝2.答案B3．點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()．A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2解析分兩類a>0，a<0可得y＝eq\f(1,12)x2，y＝－eq\f(1,36)x2.答案D4．(2022·濰坊一模)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且|AK|＝eq\r(2)|AF|，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()．A．2eq\r(2)B．3C．2eq\r(3)D．4解析拋物線的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2).雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0)，所以eq\f(p,2)＝3，即p＝6，即y2＝12x.過A做準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，則|AK|＝eq\r(2)|AF|＝eq\r(2)|AM|，即|KM|＝|AM|，設(shè)A(x，y)，則y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.答案B5．(2021·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則p＝()．A．1B.eq\f(3,2)C．2D．3解析由已知得雙曲線離心率e＝eq\f(c,a)＝2，得c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即b＝eq\r(3)a.又雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，所以不妨令A(yù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，于是|AB|＝eq\r(3)p.由△AOB的面積為eq\r(3)可得eq\f(1,2)·eq\r(3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，所以p2＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)．答案C二、填空題6．若點(diǎn)P到直線y＝－1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是________．解析由題意可知點(diǎn)P到直線y＝－3的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，且p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y.答案x2＝12y7．已知拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0＝________.解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1.依據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4，則M的橫坐標(biāo)為3.答案38．拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.解析如圖，在等邊三角形ABF中，DF＝p，BD＝eq\f(\r(3),3)p，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)p，－\f(p,2))).又點(diǎn)B在雙曲線上，故eq\f(\f(1,3)p2,3)－eq\f(\f(p2,4),3)＝1.解得p＝6.答案6三、解答題9．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(－3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和m的值．解法一依據(jù)已知條件，拋物線方程可設(shè)為y2＝－2px(p＞0)，則焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)).∵點(diǎn)M(－3，m)在拋物線上，且|MF|＝5，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))2＋m2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))∴拋物線方程為y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).法二設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(p,2)，由拋物線定義，M點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以有eq\f(p,2)－(－3)＝5，∴p＝4.∴所求拋物線方程為y2＝－8x，又∵點(diǎn)M(－3，m)在拋物線上，故m2＝(－8)×(－3)，∴m＝±2eq\r(6).10．設(shè)拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)設(shè)l的斜率為1，求|AB|的大??；(2)求證：eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))是一個(gè)定值．(1)解∵由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，∴直線l的方程為y＝x－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直線l過焦點(diǎn)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)證明設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x))得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(x2，y2)．∵eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))是一個(gè)定值．力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()．A．x2＝eq\f(8\r(3),3)yB．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8yD．x2＝16y解析∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為2，∴eq\f(c,a)＝2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3).x2＝2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.由題意，得eq\f(\f(p,2),\r(1＋\r(3)2))＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，選D.答案D2．(2022·洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是()．A.eq\r(3)B.eq\r(5)C．2D.eq\r(5)－1解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為eq\f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值為eq\r(5)－1.答案D二、填空題3．(2022·鄭州二模)已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq