【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修一導(dǎo)學(xué)案：《函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用》

第7課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用1.理解函數(shù)單調(diào)性的實(shí)質(zhì),會(huì)用函數(shù)單調(diào)性解決相關(guān)問題.2.理解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,并會(huì)證明和推斷.3.生疏單調(diào)性在爭辯函數(shù)中的應(yīng)用.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會(huì)依據(jù)定義推斷、證明函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能綜合運(yùn)用單調(diào)性解決一些問題.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等學(xué)問極為親密,是高考命題的熱點(diǎn).問題1:推斷或證明一個(gè)函數(shù)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)的方法有:(1);

(2)圖像法(即通過畫出函數(shù)圖像,觀看圖像,確定單調(diào)區(qū)間);(3)定義法,其過程是:作差——變形——推斷符號(hào),其中難點(diǎn)是變形.問題2:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的推斷:復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性親密相關(guān),其規(guī)律如下:函數(shù)單調(diào)性u(píng)=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=f[g(x)]

即有結(jié)論:“同增異減”.問題3:單調(diào)函數(shù)經(jīng)運(yùn)算后,所得函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律:①若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)在公共定義域上為函數(shù);

②若f(x)為增(減)函數(shù),則-f(x)為函數(shù);

③若f(x)>0,且f(x)為增函數(shù),則f(x)為函數(shù),1f問題4:(一)函數(shù)最大值的定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,假如存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2).那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)最大值的幾何意義:函數(shù)圖像上的縱坐標(biāo).

(二)函數(shù)最小值的定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,假如存在實(shí)數(shù)M滿足:(1);(2).

那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義:函數(shù)圖像上的縱坐標(biāo).

1.若函數(shù)y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函數(shù),那么().A.b>0 B.b<0 C.m>0 D.m<02.已知函數(shù)f(x)=8+2x-x2,則().A.f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù)B.f(x)是減函數(shù)C.f(x)是增函數(shù)D.f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù)3.函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6]上的最大值是,4.已知定義域在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x),在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)<0,則F(x)=1f(x)在(-∞,0)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)y=(x2-2x-3)3的單調(diào)區(qū)間.利用單調(diào)性求最值已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)為減函數(shù),對(duì)任意m、n∈R總有f(m)+f(n)=f(m+n),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-23.求f(x)在[-3,3]上的最值抽象函數(shù)的單調(diào)性已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0;②對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y),求證:f(x)在(0,+∞)上是遞減函數(shù).求函數(shù)y=x2+2求函數(shù)y=x2x-3在區(qū)間[1,定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),且f(1-a)+f(1-a2)<0,若f(x)是(-1,1)上的減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1.已知一次函數(shù)y=kx-k,若y隨x的增大而減小,則它的圖像過().A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限 D.其次、三、四象限2.若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間[4,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.a≤3 B.a≤-3 C.a≥-3 D.a≤53.已知f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0),則f(3),f(-3),f(32)從小到大的挨次是4.已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),且在(-2,2)上單調(diào)遞增.若f(2+a)+f(1-2a)>0,求a的取值范圍.1.(2010年?天津卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x-1x,對(duì)任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是2.(2011年·四川卷)函數(shù)的定義域?yàn)锳,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)時(shí)總有x1=x2,則稱f(x)為單函數(shù).例如,函數(shù)f(x)=2x+1(x∈R)是單函數(shù).下列命題:①函數(shù)f(x)=x2(x∈R)是單函數(shù);②指數(shù)函數(shù)f(x)=2x(x∈R)是單函數(shù);③若f(x)為單函數(shù),x1,x2∈A且x1≠x2,則f(x1)≠f(x2);④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)肯定是單函數(shù).其中的真命題是.(寫出全部真命題的編號(hào))

考題變式(我來改編):

答案第7課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用學(xué)問體系梳理問題1:(1)觀看法問題2:增減減增問題3:①增(減)②減(增)③增減問題4:(一)(1)存在x0∈I,使得f(x0)=M最高點(diǎn)(二)(1)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥M存在x0∈I,使得f(x0)=M最低點(diǎn)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.C函數(shù)y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函數(shù),則其圖像應(yīng)呈上升趨勢(shì),所以m>0,故C正確.2.D由于函數(shù)f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9,其圖像是開口向下的拋物線,對(duì)稱軸為x=1,結(jié)合其圖像可知,該函數(shù)的遞增區(qū)間是(-∞,1],遞減區(qū)間是(1,+∞),據(jù)此可知,D正確.3.225(法一)設(shè)2≤x1<x2≤6,f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x∵2≤x1<x2≤6,∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6]上取得最大值f(2)當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6]上取得最小值f(6)(法二)利用變換法畫出函數(shù)y=2x-1的圖像,只取在區(qū)間[2,6]上的部分.觀看可得函數(shù)的圖像是下降的.∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6]上取得最大值f當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)y=2x-1在區(qū)間[2,6]上取得最小值f(6)4.解:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0,則-x1>-x2>0,由于y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)<0,所以f(-x2)<f(-x1)<0,又由于f(-x)=-f(x),所以f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),所以f(x2)>f(x1)>0,則F(x1)-F(x2)=f(x2)-f(x1)f(x1)f故F(x)=1f(x)在(-∞,重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】令u=x2-2x-3=(x-1)2-4,則y=u3,依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定方法知:當(dāng)x<1時(shí),u是關(guān)于x的單調(diào)遞減函數(shù),又y=u3是關(guān)于u的單調(diào)遞增函數(shù),∴y=(x2-2x-3)3在(-∞,1)上是單調(diào)遞減函數(shù);當(dāng)x>1時(shí),u是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù),又y=u3是關(guān)于u的單調(diào)遞增函數(shù),∴y=(x2-2x-3)3在(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).∴y=(x2-2x-3)3的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).【小結(jié)】一般地,復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的判定方法有:令u=g(x),則y=f(u).(1)當(dāng)u=g(x)為增(減),y=f(u)增(減)時(shí),y=f[g(x)]為增;(2)當(dāng)u=g(x)為增(減),y=f(u)減(增)時(shí),y=f[g(x)]為減.可總結(jié)為:“同增異減”.探究二:【解析】∵f(x)在R上為減函數(shù),[-3,3]?R,∴f(x)在[-3,3]上也是減函數(shù),故f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3),f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)=-2.m=n=0得,f(0)+f(0)=f(0)可得f(0)=0.m=-3,n=3時(shí),f(-3)+f(3)=f(0),∴f(-3)=-f(3)+f(0)=2.故f(x)max=2,f(x)min=-2.【小結(jié)】運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法,特殊是當(dāng)函數(shù)的圖像作不出來時(shí),單調(diào)性幾乎成了首選方法.探究三:【解析】設(shè)x1、x2∈(0,+∞),且x2>x1,則x2x1>1,于是由①知,f(x2又由②知,f(x2)=f(x2x1·x1)=f(x2x1∴f(x2)-f(x1)=f(x2x1)<0,即f(x2)<f(∴f(x)在(0,+∞)上是遞減函數(shù).【小結(jié)】證明函數(shù)的單調(diào)性,其一般方法是定義法.假如給出了函數(shù)的表達(dá)式,則選擇作差法或作商法比較f(x1)-f(x2)與0的大小或比較f(x1)f(x2)與1的大小;假如沒給出具體表達(dá)式,而是給出抽象函數(shù)及其所滿足的一些性質(zhì)與條件,則要想方法構(gòu)造f(x1)-f(x2)或思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:令u=x2+2x+1=(x+1)2,則y=u,當(dāng)x<-1時(shí),u為單調(diào)遞減,y=u為單調(diào)遞增,∴y=x2+2x+1在(-∞,-當(dāng)x>-1時(shí),u為單調(diào)遞增,y=u為單調(diào)遞增,∴y=x2+2x+1在(-1,∴y=x2+2x+1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1應(yīng)用二:任取x1,x2,且1≤x1<x2≤2,則f(x1)-f(x2)=x12x1=(x由于1≤x1<x2≤2,所以2<x1+x2<4,即6<3(x1+x2)<12,又1<x1x2<4,x2-x1>0,故f(x1)-f(x2)>0,所以函數(shù)y=x2x-3在區(qū)間[1,ymax=f(1)=-12,ymin=f(2)=-4應(yīng)用三:利用單調(diào)性及f(-x)=-f(x),脫去f(1-a)+f(1-a2)<0中的函數(shù)記號(hào)“f”.由f(1-a)+f(1-a2)<0,得f(1-a)<-f(1-a2),∵f(-x)=-f(x),x∈(-1,1),∴f(1-a)<f(a2-1),又f(x)在(-1,1)上為減函數(shù),則-解得0<a<1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C由題知y是減函數(shù),∴k<0,-k>0,∴圖像經(jīng)過第一、二、四象限.2.C對(duì)稱軸x=1-a,對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)滿足1-a≤4,所以a≥-3.3.f(-3)<f(3)<f(32)增區(qū)間為(-∞,32),減區(qū)間為[32,+∞),所以f(-3)<f(3)<f(4.解:∵f(2+a)+f(1-2a)>0,∴f(2+a)>-f(1-2a).又∵f(-x)=-f(x),∴f(2+a)>f(2a-1),由于f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增,∴-2<2+a<2,-2<2∴a的取值范圍是(-12,0)全新視角拓展1.(-∞,-1)