【2022屆走向高考】高三數學一輪(北師大版)基礎鞏固：第11章-第1節(jié)-兩個計數原理(理)

第十一章第一節(jié)一、選擇題1．5位同學報名參與兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種[答案]D[解析]由于每人均有兩種選擇方法，所以不同的報名方法有25＝32種．2．從3名女同學和2名男同學中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法為()A．6種 B．5種C．3種 D．2種[答案]B[解析]有3＋2＝5種．3．6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最終一個演講，則不同的演講次序共有()A．240種 B．360種C．480種 D．720種[答案]C[解析]本題考查了排列問題的應用．由題意，甲可從4個位置選擇一個，其余元素不限制，所以全部不同次序共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.利用特殊元素優(yōu)先支配的原則分步完成得到結論．4．某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數碼，某人接受千位、百位上的數字之積作為十位、個位上的數字(如2816)的方法設計密碼，當積為一位數時，十位上數字選0，千位、百位上都能取0.這樣設計出來的密碼共有()A．90個 B．99個C．100個 D．112個[答案]C[解析]由于千位、百位確定下來后十位、個位就隨之確定，則只考慮千位、百位即可，千位、百位各有10種選擇，所以有10×10＝100(個)．5．某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，假如要求剩余的4個車位連在一起，則不同的停放方法的種數為()A．16 B．18C．24 D．32[答案]C[解析]若將7個車位從左向右按1～7進行編號，則該3輛車有4種不同的停放方法：(1)停放在1～3號車位；(2)停放在5～7號車位；(3)停放在1,2,7號車位；(4)停放在1,6,7號車位．每一種停放方法均有Aeq\o\al(3,3)＝6種，故共有24種不同的停放方法．6．某化工廠生產中需依次投放2種化工原料，現(xiàn)已知有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必需先投放，則不同的投放方案有()A．10種 B．12種C．15種 D．16種[答案]C[解析]依題意，可將全部的投放方案分成三類，①使用甲原料，有Ceq\o\al(1,3)·1＝3種投放方案；②使用乙原料，有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝6種投放方案；③甲、乙原料都不使用，有Aeq\o\al(2,3)＝6中投放方案，所以共有3＋6＋6＝15種投放方案．二、填空題7．(原創(chuàng)題)美女換裝玩耍中，有5套裙子，4雙鞋子，3頂帽子，要求裙、鞋、帽必需且只能各選擇一件，則有________種裝扮方案．[答案]60[解析]依據分步計數原理知，有5×4×3＝60種．8．8名世界網球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的其次名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3,4名，大師賽共有________場競賽．[答案]16[解析]小組賽共有2Ceq\o\al(2,4)場競賽；半決賽和決賽共有2＋2＝4場競賽；依據分類加法計數原理共有2Ceq\o\al(2,4)＋4＝16場競賽．9．農科院小李在做某項試驗中，方案從花生、大白菜、大豆、玉米、小麥、高粱這6種種子中選出4種，分別種植在4塊不同的空地上(1塊空地只能種1種作物)，若小李已打算在第1塊空地上種玉米或高粱，則不同的種植方案有________種．(用數字作答)[答案]120[解析]由已知條件可得第1塊地有Ceq\o\al(1,2)種種植方法，則第2～4塊地共有Aeq\o\al(3,5)種種植方法，由分步乘法計數原理可得，不同的種植方案有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝120種．三、解答題10．一個口袋里有5封信，另一個口袋里有4封信，各封信內容均不相同．(1)從兩個口袋里任取一封信，有多少種不同的取法？(2)從兩個口袋里各取一封信，有多少種不同的取法？(3)把這兩個口袋里的9封信，分別投入4個郵筒，有多少種不同的投法？[解析](1)任取一封信，不論從哪個口袋里取，都能單獨完成這件事，因此是兩類方法．用分類加法計數原理，共有5＋4＝9(種)．(2)各取一封信，不論從哪個口袋中取，都不能算完成了這件事，因此應分兩步驟完成．由分步乘法計數原理，共有5×4＝20(種)．(3)第一封建信投入郵筒有4種可能，其次封建信仍有4種可能，…，第九封建信還有4種可能．由分步乘法計數原理可知，共有49＝262144種不同的投法.一、選擇題1．如圖，A、B、C、D為四個村莊，要修筑三條大路，將這四個村莊連起來，則不同的修筑方法共有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種[答案]C[解析]修筑方案可分為兩類，一類是“折線型”，用三條大路把四個村莊連在一條曲線上(如圖(1)，A－B－C－D)，有eq\f(1,2)Aeq\o\al(4,4)種方法；另一類是“星型”，以某一個村莊為中心，用三條大路發(fā)散狀連接其他三個村莊(如圖(2)，A－B，A－C，A－D)，有4種方法．共有12＋4＝16種方法．2．如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂色共有()A．400種 B．460種C．480種 D．496種[答案]C[解析]從A開頭，有6種方法，B有5種，C有4種，D有4種，∴不同涂法有6×5×4×4＝480(種)，故選C．二、填空題3．用數字2、3組成四位數，且數字2、3至少都毀滅一次，這樣的四位數共有________個．(用數字作答)[答案]14[解析]數字2,3至少都毀滅一次，包括以下狀況：“2”毀滅1次，“3”毀滅3次，共可組成Ceq\o\al(1,4)＝4(個)四位數．“2”毀滅2次，“3”毀滅2次，共可組成Ceq\o\al(2,4)＝6(個)四位數．“2”毀滅3次，“3”毀滅1次，共可組成Ceq\o\al(3,4)＝4(個)四位數．綜上所述，共可組成14個這樣的四位數．4．江西省某中學，為了滿足新課改的需要，要開設9門課程共同學選修，其中A、B、C三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規(guī)定，每位同學選修4門，共有________種不同的選修方案．(用數值作答)[答案]75[解析]第一類，若從A、B、C三門選一門有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(3,6)＝60(種)，其次類，若從其他六門中選4門有Ceq\o\al(4,6)＝15(種)，∴共有60＋15＝75種不同的方法．三、解答題5．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(a，b∈M)，問(1)P可表示平面上多少個不同的點？(2)P可表示平面上多少個其次象限的點？(3)P可表示多少個不在直線y＝x上的點？[分析]完成“確定點P”這件事需依次確定橫、縱坐標，應用分步乘法計數原理．[解析](1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；其次步確定b的值，也有6種確定方法．依據分步乘法計數原理，得到平面上的點數是6×6＝36個．(2)確定其次象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；其次步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法．由分步乘法計數原理，得到其次象限點的個數是3×2＝6.(3)點P(a，b)在直線y＝x上的充要條件是a＝B．因此a和b必需在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y＝x上的點有6個．由(1)得不在直線y＝x上的點共有36－6＝30個．[點評]利用分步乘法計數原理解決問題：①要按大事發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后挨次的；②各步中的方法相互依存，缺一不行，只有各個步驟都完成才算完成這件事．6．編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1,2號，B球必需放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法有多少種？[分析]依據A球、B球所在位置進行分類爭辯．[解析]依據A球所在位置分三類：(1)若A球放在3號盒子內，則B球只能放在4號盒子內，余下的三個盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法，則依據分步計數原理，此時有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法；(2)若A球放在5號盒子內，則B球只能放在4號盒子內，余下的三個盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法，則依據