【2021屆備考】2021屆全國名校數(shù)學試題分類解析匯編(12月第三期)：K單元概率

K單元概率名目K單元概率 ⑵成果在區(qū)間的同學人數(shù)是：50×0.04=2人，成果在區(qū)間的同學人數(shù)是：50×0.06=3人，設成果在區(qū)間的同學分別是A1，A2，成果在區(qū)間的同學分別是B1，B2，B3，從成果在的同學中隨機選取2人的全部結果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10種狀況．至少有1人成果在內(nèi)的結果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7種狀況．∴至少有1人成果在內(nèi)的概率P=．【思路點撥】（1）先求成果在區(qū)間的頻率，由頻率=得n值；（2）分別求出成果在區(qū)間的同學人數(shù)2人，和成果在區(qū)間的同學人數(shù)3人，用列舉法寫出從這5人中隨機選取2人的全部狀況共10種，其中至少有1人成果在內(nèi)的結果有7種，從而得所求概率.K3幾何概型【數(shù)學理卷·2021屆湖北省武漢華中師范高校第一附屬中學高三上學期期中考試（202211）】5．已知，A是曲線與圍成的區(qū)域，若向區(qū)域上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為（）A.B. C. D.【學問點】幾何概型K3【答案】【解析】D解析：聯(lián)立得，解得或，

設曲線與曲線圍成的面積為S，則,而，表示的區(qū)域是一個邊長為2的正方形，∴Ω上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A（陰影部分）中的概率，故選D．

【思路點撥】本題利用幾何概型求解．欲求恰好落在陰影范圍內(nèi)的概率，只須求出陰影范圍內(nèi)的面積與正方形的面積比即可．為了求出陰影部分的面積，聯(lián)立由曲線和曲線兩個解析式求出交點坐標，然后在）區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可.【數(shù)學理卷·2021屆河北省唐山一中高三上學期期中考試（202211）】4.已知實數(shù)，執(zhí)行如右圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為（）A.B.C.D.【學問點】程序框圖幾何概型L1K3【答案】【解析】B解析：設實數(shù)，

經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2

經(jīng)過其次循環(huán)得到x=2（2x+1）+1，n=3

經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此時輸出x

輸出的值為8x+7

令8x+7≥55，得x≥6

由幾何概型得到輸出的x不小于55的概率為=，故選擇B.【思路點撥】由程序框圖的流程，寫出前三項循環(huán)得到的結果，得到輸出的值與輸入的值的關系，令輸出值大于等于55得到輸入值的范圍，利用幾何概型的概率公式求出輸出的x不小于55的概率．【數(shù)學文卷·2021屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（202212）word版】14．隨機向邊長為5，5，6的三角形中投一點P，則點P到三個頂點的距離都不小于1的概率是____．【學問點】幾何概型的概率求法.K3【答案】【解析】解析：分別以三角形三個頂點為圓心，1為半徑作圓，則在三角形內(nèi)部且在三圓外部的區(qū)域，即為與三角形三個頂點距離不小于1的部分，即.【思路點撥】求出三角形中，到三頂點距離都大于1的點構成的區(qū)域面積，此面積除以三角形面積，即為所求概率.K4互斥大事有一個發(fā)生的概率K5相互對立大事同時發(fā)生的概率K6離散型隨機變量及其分布列【數(shù)學理卷·2021屆湖北省武漢華中師范高校第一附屬中學高三上學期期中考試（202211）】20．（本小題滿分12分）節(jié)日期間,高速大路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查,將他們在某段高速大路的車速(km/h)分成六段后得到如下圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）此調(diào)查公司在采樣中用到的是什么抽樣方法?（Ⅱ）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估量值.（Ⅲ）若從車速在的車輛中任抽取2輛,求抽出的2輛車中車速在的車輛數(shù)的分布列及數(shù)學期望.【學問點】頻率分布直方圖，分布列與數(shù)學期望I2K6【答案】【解析】（Ⅰ）系統(tǒng)抽樣（Ⅱ）中位數(shù)的估量值為（Ⅲ）的分布列為均值.解析：（I）系統(tǒng)抽樣……2分（II）眾數(shù)的估量值為最高的矩形的中點,即眾數(shù)的估量值等于，設圖中虛線所對應的車速為,則中位數(shù)的估量值為,解得即中位數(shù)的估量值為……6分（Ⅲ）從圖中可知，車速在的車輛數(shù)為（輛）.車速在的車輛數(shù)為（輛），的分布列為均值.……12分【思路點撥】（II）眾數(shù)的估量值為最高的矩形的中點（Ⅲ）由題意求出即可求得分布列與期望.【數(shù)學理卷·2021屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（202212）】18．（本小題滿分12分）有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)章如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，其次排取的字符放在其次位，第三排取的字符放在第三位，對應的密碼由明文對應的數(shù)字按相同的次序排成一組組成.第一排[]明文字符ABCD密碼字符11121314其次排明文字符EFGH密碼字符21222324第三排明文字符MNPQ密碼字符1234設隨機變量表示密碼中所含不同數(shù)字的個數(shù).（Ⅰ）求；（Ⅱ）求隨機變量的分布列和它的數(shù)學期望．【學問點】離散型隨機變量的期望與方差；等可能大事的概率．K1K6【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）解析：（I）密碼中不同數(shù)字的個數(shù)為2的大事為密碼中只有兩個數(shù)字，留意到密碼的第1，2列分別總1，2，即只能取表格第1，2列中的數(shù)字作為密碼.………4分（II）由題意可知，的取值為2，3，4三種情形.若，留意表格的第一排總含有數(shù)字1，其次排總含有數(shù)字2則密碼中只可能取數(shù)字1，2，3或1，2，4.若（或用求得）.……8分的分布列為：……12分【思路點撥】（Ⅰ）密碼中不同數(shù)字的個數(shù)為2的大事為密碼中只有兩個數(shù)字，留意到密碼的第1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數(shù)字作為密碼，由此可求P（ξ=2）；

（Ⅱ）取得ξ的取值，分別求出相應的概率，即可得到ξ的概率分布列和它的數(shù)學期望．【數(shù)學理卷·2021屆河北省唐山一中高三上學期期中考試（202211）】18.（本題滿分12分）某市四所中學報名參與某高校今年自主招生的同學人數(shù)如下表所示：中學人數(shù)為了了解參與考試的同學的學習狀況，該高校接受分層抽樣的方法從報名參與考試的四所中學的同學當中隨機抽取50名參與問卷調(diào)查．（1）問四所中學各抽取多少名同學？（2）從參與問卷調(diào)查的名同學中隨機抽取兩名同學，求這兩名同學來自同一所中學的概率；（3）在參與問卷調(diào)查的名同學中，從來自兩所中學的同學當中隨機抽取兩名同學，用表示抽得中學的同學人數(shù)，求的分布列．【學問點】隨機抽樣古典概型離散型隨機變量以及分布列I1K2K6【答案】（1）；(2)；(3).【解析】解析：（1）由題意知，四所中學報名參與該高校今年自主招生的同學總人數(shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個數(shù)的比值為．∴應從四所中學抽取的同學人數(shù)分別為．……………4分（2）設“從名同學中隨機抽取兩名同學，這兩名同學來自同一所中學”為大事，從名同學中隨機抽取兩名同學的取法共有種，…5分來自同一所中學的取法共有．……………6分∴．答：從名同學中隨機抽取兩名同學來自同一所中學的概率為．…7分（3）由（1）知，名同學中，來自兩所中學的同學人數(shù)分別為．依題意得，的可能取值為，…………8分，，．……11分∴的分布列為：…12分【思路點撥】(1)由題意知抽取的樣本容量與總體個數(shù)的比值為,由此能求出應從A，B，C，D四所中學抽取的同學人數(shù)；（2）利用組合的意義分別計算出從參與問卷調(diào)查的50名同學中隨機抽取兩名同學的方法和這兩名同學來自同一所中學的取法，再利用古典概型的概率計算公式即可得出；（3）由（1）知，在參與問卷調(diào)查的50名同學中，來自A，C兩所中學的同學人數(shù)分別為15，10．可得ξ的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布的概率計算公式即可得到分布列，利用數(shù)學期望的概率計算公式即可得出．K7條件概率與大事的獨立性K8離散型隨機變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布【數(shù)學文卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學期期中考試（202211）word版】6.甲、乙、丙、丁四人參與國際奧林匹克數(shù)學競賽選拔賽，四人的平均成果和方差如下表：甲乙丙丁平均成果89898685方差2.13.52.15.6從