【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修二導(dǎo)學(xué)案：《直線的傾斜角與斜率》

第1課時(shí)直線的傾斜角與斜率1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,了解直線的傾斜角的范圍.2.理解直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系以及斜率公式,并能利用過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式求直線的傾斜角.意大利比薩斜塔修建于1173年,由有名建筑師那諾·皮薩諾主持修建.它是比薩城的標(biāo)志.開頭時(shí),塔高設(shè)計(jì)為100m左右,但動(dòng)工五六年后,塔身從三層開頭傾斜,直到1372年完工還在持續(xù)傾斜,經(jīng)過600年的風(fēng)雨滄桑,塔身傾斜度達(dá)到了5.3°,偏離中心達(dá)4.4m,岌岌可危,但經(jīng)過1972年當(dāng)?shù)氐牡卣?塔體還是傾而不倒,巍然矗立,因此斜塔更加有名遐邇.問題1:依據(jù)材料和圖片,我們建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,比薩斜塔的傾斜角是.7°.

問題2:(1)直線的傾斜角的定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們?nèi)軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的最小正角α叫作直線l的傾斜角.當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角α為0°,因此,直線傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.

(2)斜率的定義傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率,常用k表示,即k=tanα.當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí),其斜率k不存在.

(3)斜率公式當(dāng)直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)時(shí),l的斜率k=.

問題3:當(dāng)傾斜角α=0°時(shí),k=0,此時(shí)直線l與x軸平行或重合;當(dāng)0°<α<90°時(shí),k>0,并且隨著α的增大而增大;

當(dāng)α=90°時(shí),k不存在,此時(shí)直線l與x軸垂直;

當(dāng)90°<α<180°時(shí),k<0,并且隨著α的增大而增大.

特殊地,當(dāng)α=45°時(shí),其斜率k=1.

總之,傾斜角與斜率k之間的關(guān)系可用下圖來表示:問題4:用表格的形式直觀表述直線的傾斜角與斜率k之間的關(guān)系:直線狀況平行于x軸由左向右上升垂直于x軸由右向左上升α的大小α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°k的范圍k=0

k>0不存在

k<0

k的增減性不增不減單調(diào)遞增

不存在單調(diào)遞增

1.若經(jīng)過P(-2,m)和Q(m,4)的直線的斜率為1,則m等于().A.1 B.4 C.1或3 D.1或42.若三點(diǎn)A(-2,3),B(3,-2),C(12,m)共線,則m等于()A.1 B.2 C.12 D.2或3.已知直線斜率的確定值等于1,則直線的傾斜角是.

4.設(shè)直線的斜率是k,且-1<k<3,求直線傾斜角α的取值范圍.求直線的斜率和傾斜角已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1),求直線AB、BC、CA的斜率,并推斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角,并求直線CA的傾斜角.直線的斜率的取值范圍已知直線l過點(diǎn)P(-1,2),且與以A(-2,-3),B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交,求直線l的斜率的取值范圍.求直線傾斜角的取值范圍已知直線l的斜率k≤1,求傾斜角α的取值范圍.(1)已知點(diǎn)A(-3,2)、C(0,-1),求直線AC的斜率.(2)已知直線CA的傾斜角為135°,C(0,-1),A(-3,n),求n的值.已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,1)、(2,2),若直線l經(jīng)過定點(diǎn)A(0,-1)且與線段PQ有交點(diǎn),求直線l的斜率k的取值范圍.已知直線l經(jīng)過A(2,1),B(1,m2)(m∈R)兩點(diǎn),求直線l的傾斜角的取值范圍.1.下列說法中,正確的是().A.直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tanαB.有傾斜角的直線都有斜率C.若直線的傾斜角為α,則sinα>0D.任始終線都有傾斜角,但它不肯定有斜率2.如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則成立的是().A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k1<k3<k2D.k3<k2<k13.已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A(3,3),B(6,23),而直線l1的傾斜角是直線l的傾斜角的2倍,則直線l1的斜率為.

4.若直線l沿x軸的負(fù)方向平移3個(gè)單位,再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后,又回到原來的位置,求直線l的斜率.直線l過點(diǎn)A(1,2),且不過第四象限,那么直線l的斜率的取值范圍是().A.[0,2] B.[0,1] C.[0,12] D.(0,1考題變式(我來改編):其次章解析幾何初步第1課時(shí)直線的傾斜角與斜率學(xué)問體系梳理問題1:84.7°問題2:(1)正向l向上方向最小正角α0°0°≤α<180°(2)正切值k=tanα(3)y2-y1x2-x問題3:增大不存在增大1問題4:k=0不存在k<0單調(diào)遞增單調(diào)遞增基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.A由直線的斜率公式得m-4-2-m=2.C∵A、B、C三點(diǎn)共線,∴kAB=kAC,即3+2-2-3=m-3.45°或135°設(shè)直線的斜率為k,由|k|=1,得k=±1,當(dāng)k=1時(shí),直線的傾斜角為45°,當(dāng)k=-1時(shí),直線的傾斜角為135°.所以所求直線的傾斜角為45°或135°.4.解:當(dāng)k∈[0,3)時(shí),α∈[0°,60°);當(dāng)k∈(-1,0)時(shí),α∈(135°,180°).所以直線傾斜角α的取值范圍為[0°,60°)∪(135°,180°).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】直線AB的斜率k1=17>0,所以它的傾斜角α1是銳角直線BC的斜率k2=-12<0,所以它的傾斜角α2是鈍角直線CA的斜率k3=1>0,所以它的傾斜角α3是銳角,且為45°.【小結(jié)】運(yùn)用斜率公式時(shí)要留意下面三點(diǎn):(1)k的值與P1、P2的挨次無關(guān);(2)當(dāng)x1=x2,即直線與x軸垂直時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角α=90°;(3)當(dāng)y1=y2時(shí),直線與x軸平行或重合,斜率k=0,直線的傾斜角α=0°.探究二:【解析】如圖所示,直線PA的斜率kPA=2-(-3)直線PB的斜率kPB=0-23當(dāng)直線l圍著點(diǎn)P由PA旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置PC時(shí),它的斜率變化范圍是[5,+∞);當(dāng)直線l圍著點(diǎn)P由PC旋轉(zhuǎn)到PB的位置時(shí),它的斜率的變化范圍是(-∞,-12]∴直線l的斜率的取值范圍是(-∞,-12]∪[5,+∞)【小結(jié)】本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí),需依據(jù)正切函數(shù)y=tanα的單調(diào)性求k的取值范圍,數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法.解題時(shí),借助圖形及圖形性質(zhì)直觀推斷,明確解題思路,可以達(dá)到快捷解題的目的.探究三:【解析】∵tan45°=1,∴k≤1時(shí),α≤45°.又∵傾斜角α須滿足0°≤α<180°,∴0°≤α≤45°,即傾斜角α的取值范圍是0°≤α≤45°.[問題]直線l的斜率k≤1,除了k≥0外,k<0滿足嗎?[結(jié)論]本題做錯(cuò)的根本緣由是沒有搞清斜率k與傾斜角α的對(duì)應(yīng)關(guān)系,當(dāng)k≥0時(shí),對(duì)應(yīng)0°≤α<90°,當(dāng)k<0時(shí),對(duì)應(yīng)90°<α<180°,故解決本題要分k≥0和k<0兩類狀況爭(zhēng)辯.于是,正確解答如下:當(dāng)0≤k≤1時(shí),∵tan45°=1,∴0°≤α≤45°;當(dāng)k<0時(shí),90°<α<180°,tanα<0成立.∴傾斜角α的取值范圍是[0°,45°]∪(90°,180°).【小結(jié)】(1)斜率k=tanα,α為直線傾斜角(α≠90°),知其一的范圍可求另一個(gè)的范圍.(2)當(dāng)α=90°時(shí),斜率k不存在;當(dāng)α=0°時(shí),k=0;當(dāng)0°<α<90°時(shí),k>0;當(dāng)90°<α<180°時(shí),k<0.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)直線AC的斜率kAC=-1-2(2)由于直線CA的傾斜角為135°,所以直線CA的斜率kCA=n+1-3=-1,所以應(yīng)用二:如圖,由題知kAP=-1-10+1=-2,kAQ=-1-20-2=32應(yīng)用三:k=m2-11-2=1-m2≤1,又k=tanα所以l的傾斜角的取值范圍為[0°,45°]∪(90°,180°).基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.D對(duì)于A和B,當(dāng)α=90°時(shí),直線的斜率不存在,∴A和B錯(cuò);對(duì)于C,當(dāng)直線平行于x軸時(shí),α=0°,而sin0°=0,∴C錯(cuò);∴應(yīng)選D.2.A∵l3,l2的傾斜角α3,α2為銳角,且α3>α2.∴k3>k2>0,l1的傾斜角α1為鈍角,∴k1<0.故k1<k2<k3.3.3∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),B(6,23),∴kl=23-36-3=33,∴直線l1的斜率為ta