《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修5)教師用書(shū)：3.7簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用-講義

第7課時(shí)簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃的應(yīng)用1.了解線性規(guī)劃的實(shí)際意義,能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題.2.把握線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn):用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn):從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù).上一課時(shí)我們共同學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃的基本概念,了解了圖解法的步驟等,線性規(guī)劃是一種重要的數(shù)學(xué)工具,是函數(shù)、不等式、解析幾何等學(xué)問(wèn)的綜合交匯點(diǎn),地位重要,這一講我們將共同探究線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用.問(wèn)題1:用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用.

問(wèn)題2:線性規(guī)劃常見(jiàn)的具體問(wèn)題(1)物資調(diào)配問(wèn)題;(2)產(chǎn)品支配問(wèn)題;(3)下料問(wèn)題;(4)利潤(rùn)問(wèn)題;(5)飼料、養(yǎng)分等問(wèn)題.問(wèn)題3:解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟:(1)列表轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題;(2)設(shè)出相關(guān)變量,列出線性約束條件對(duì)應(yīng)的不等式(組),寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù);(3)正確畫(huà)出可行域,求出目標(biāo)函數(shù)的最值及相應(yīng)的變量值;(4)寫(xiě)出實(shí)際答案.

問(wèn)題4:線性規(guī)劃的整數(shù)解問(wèn)題:線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的實(shí)際問(wèn)題是一些整數(shù)解問(wèn)題,這要求在解題時(shí)取值應(yīng)當(dāng)找到符合條件的整數(shù)點(diǎn),即整點(diǎn),不是整點(diǎn)應(yīng)當(dāng)找出最優(yōu)解旁邊的整點(diǎn).

艾爾多斯—莫迪爾不等式設(shè)P為△ABC內(nèi)部或邊界上一點(diǎn),P到三邊距離分別為PD,PE,PF,則PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF),當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形,且P為三角形中心時(shí)上式取等號(hào).這是用于幾何問(wèn)題的證明和求最大(小)值時(shí)的一個(gè)重要不等式.1.某班方案用少于100元的錢(qián)購(gòu)買單價(jià)分別為2元和1元的大小彩球裝飾聯(lián)歡晚會(huì)的會(huì)場(chǎng),依據(jù)需要,大球數(shù)不少于10個(gè),小球數(shù)不少于20個(gè),請(qǐng)你給出幾種不同的購(gòu)買方案?【解析】設(shè)可購(gòu)買大球x個(gè),小球y個(gè).依題意有其整數(shù)解為…,都符合題目要求(滿足2x+y-100<0即可).2.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,每件銷售收入分別為3000元、2000元.甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工,在每臺(tái)A、B設(shè)備上加工1件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1h、2h,加工1件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2h、1h,A、B兩種設(shè)備每月有效使用工時(shí)數(shù)分別為400h和500h.如何支配生產(chǎn)可使收入最大?【解析】設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件,每月收入為z千元,目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y,需要滿足的條件是作直線z=3x+2y,如圖.當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(200,100)時(shí)取得最大值80萬(wàn)元.即當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件、乙產(chǎn)品100件,每月收入為80萬(wàn)元.3.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力、煤和電耗如下表:產(chǎn)品品種勞動(dòng)力(個(gè))煤(噸)電(千瓦)A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)A產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)是7萬(wàn)元,生產(chǎn)B產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)是12萬(wàn)元,現(xiàn)因條件限制,該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè),煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問(wèn)該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少噸,才能獲得最大利潤(rùn)?【解析】設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各x、y噸,利潤(rùn)為z萬(wàn)元,則z=7x+12y,且滿足以下條件:作出可行域如圖陰影所示.當(dāng)直線7x+12y=0向右上方平行移動(dòng)時(shí),經(jīng)過(guò)M(20,24)時(shí),z取最大值.∴該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時(shí),才能獲得最大利潤(rùn).4.某養(yǎng)分師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C;一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的養(yǎng)分中至少含64個(gè)單位的碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.假如一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的養(yǎng)分要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐?【解析】設(shè)為該兒童分別預(yù)訂x,y個(gè)單位的午餐和晚餐,共花費(fèi)z元,則z=2.5x+4y,且滿足以下條件:即作直線l:2.5x+4y=0,平移直線l至l0,當(dāng)l0經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),可使z達(dá)到最小值.由解得即C(4,3),此時(shí),z=2.5×4+4×3=22.答:午餐和晚餐分別預(yù)定4個(gè)單位和3個(gè)單位,花費(fèi)最少,且為22元.下料問(wèn)題某車間有一批長(zhǎng)250cm的坯料,現(xiàn)因產(chǎn)品需要,要將它截成長(zhǎng)為130cm和110cm兩種不同木料,生產(chǎn)任務(wù)規(guī)定:長(zhǎng)130cm木料100根,長(zhǎng)110cm木料150根,問(wèn)如何開(kāi)料,使總的耗坯數(shù)最少?【方法指導(dǎo)】這是下料問(wèn)題.【解析】有兩種截料方法.130110余料第一種方法1110其次種方法0230需要量100150設(shè)第一種方法截x根,其次種方法截y根,總的耗坯數(shù)為z,則z=x+y.畫(huà)出可行域如圖所示,由圖可知在點(diǎn)(100,25)處取得最小值.答:用100根截成130cm木料和110cm木料各一根,另用25【小結(jié)】本題是一道用線性規(guī)劃求解的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,留意是求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解.物資調(diào)配問(wèn)題某運(yùn)輸公司接受了向抗洪救災(zāi)地區(qū)每天送至少180t支援物資的任務(wù).該公司有8輛載重6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車,有10名駕駛員,每輛卡車每天來(lái)回的次數(shù)為A型卡車4次,B型卡車3次;每輛卡車每天來(lái)回的成本費(fèi)為A型卡車320元,B型卡車504元.請(qǐng)為公司支配一下,應(yīng)如何調(diào)配車輛,才能使公司所花的成本費(fèi)最低?【方法指導(dǎo)】這是物資支配問(wèn)題.【解析】設(shè)需A型、B型卡車分別為x輛和y輛.列表分析數(shù)據(jù).A型車B型車限量車輛數(shù)xy10運(yùn)物噸數(shù)24x30y180費(fèi)用320x504yz由表可知,x,y滿足的線性條件為:且z=320x+504y.作出線性區(qū)域,如圖所示,可知當(dāng)直線z=320x+504y過(guò)A(7.5,0)時(shí),z最小,但A(7.5,0)不是整點(diǎn),連續(xù)向上平移直線z=320x+504y可知,(5,2)是最優(yōu)解.這時(shí)zmin=320×5+504×2=2608,即用5輛A型車,2輛B型車,成本費(fèi)最低.【小結(jié)】(1)解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟:①設(shè)出未知數(shù);②列出約束條件(要留意考慮數(shù)據(jù)、變量、不等式的實(shí)際含義及計(jì)量單位的統(tǒng)一);③建立目標(biāo)函數(shù);④求最優(yōu)解.(2)對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題,可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域,此時(shí),變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn).產(chǎn)品支配問(wèn)題預(yù)算用2000元購(gòu)買單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子,并期望桌椅的總數(shù)盡可能多,但椅子數(shù)不能少于桌子數(shù),且不多于桌子數(shù)的1.5倍.問(wèn):桌、椅各買多少才合適?【方法指導(dǎo)】首先應(yīng)用字母設(shè)出相應(yīng)量,然后確定目標(biāo)函數(shù)及線性約束條件,畫(huà)出可行域,最終通過(guò)平移目標(biāo)函數(shù)求得最終答案.【解析】設(shè)桌、椅分別買x、y張,由題意得,且z=x+y.畫(huà)出可行域如圖所示,由解得∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,).由解得∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25,).以上不等式所表示的區(qū)域即以A(,),B(25,),O(0,0)為頂點(diǎn)的△AOB及其內(nèi)部.對(duì)△AOB內(nèi)的點(diǎn)P(x,y),由x+y=z,有y=-x+z,這是斜率為-1,y軸上截距為z的平行直線系.只有點(diǎn)P與B重合,即取x=25,y=時(shí),z取最大值.∵y∈N,∴y=37,故買桌子25張,椅子37張時(shí),是最優(yōu)選擇.【小結(jié)】要留意結(jié)合實(shí)際問(wèn)題,確定未知數(shù)x,y等是否有限制,如探究三中必需x≥0,y≥0且x,y∈N.要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格,每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示:規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211其次種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊,問(wèn)各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻盟枞N規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少?【解析】設(shè)需截第一種鋼板x張,其次種鋼板y張,則且x,y都是整數(shù).求目標(biāo)函數(shù)z=x+y取得最小值時(shí)的x,y的值.如圖,當(dāng)x=3,y=9或x=4,y=8時(shí),z取得最小值.∴需截第一種鋼板3張,其次種鋼板9張或第一種鋼板4張,其次種鋼板8張時(shí),可得所需三種規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少.有糧食和石油兩種物資,可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸,每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果見(jiàn)表.方式效果種類輪船運(yùn)輸量/t飛機(jī)運(yùn)輸量/t糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸至少2000t糧食和1500t石油,需至少支配多少艘輪船和多少架飛機(jī)?【解析】設(shè)需支配x艘輪船和y架飛機(jī),則即目標(biāo)函數(shù)為z=x+y.作出可行域,如圖所示.作出在一組平行直線x+y=t(t為參數(shù))中經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)某點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最小的直線,此直線經(jīng)過(guò)直線6x+3y-40=0和y=0的交點(diǎn)A(,0),直線方程為x+y=.由于不是整數(shù),而最優(yōu)解(x,y)中x,y必需都是整數(shù),所以可行域內(nèi)點(diǎn)(,0)不是最優(yōu)解.經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))且與原點(diǎn)距離最近的直線經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是(7,0),即為最優(yōu)解,則至少要支配7艘輪船和0架飛機(jī).投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元,需場(chǎng)地200平方米,可獲利潤(rùn)300萬(wàn)元;投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金300萬(wàn)元,需場(chǎng)地100平方米,可獲利潤(rùn)200萬(wàn)元.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元,場(chǎng)地900平方米,問(wèn):應(yīng)作怎樣的組合投資,可使獲利最大?【解析】設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸,生產(chǎn)B產(chǎn)品y百噸,利潤(rùn)為S百萬(wàn)元,則約束條件為目標(biāo)函數(shù)為S=3x+2y.作出可行域(如圖),將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-x+,它表示斜率為-,在y軸上截距為的直線,平移直線y=-x+,當(dāng)它經(jīng)過(guò)直線2x+y=9與2x+3y=14的交點(diǎn)(,)時(shí),最大,也即S最大,此時(shí),S=3×+2×=14.75.因此,生產(chǎn)A產(chǎn)品325噸,B產(chǎn)品250噸,利潤(rùn)最大,且為1475萬(wàn)元.1.在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中,某廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用為400元,可裝洗衣機(jī)20臺(tái);每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用為300元,可裝洗衣機(jī)10臺(tái).若每輛車至多運(yùn)一次,則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為().A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元【解析】設(shè)需使用甲型貨車x輛,乙型貨車y輛,運(yùn)輸費(fèi)用z元,依據(jù)題意,得線性約束條件:線性目標(biāo)函數(shù)z=400x+300y,畫(huà)出可行域如圖所示,解得當(dāng)x=4,y=2時(shí),zmin=2200.【答案】B2.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品,已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中,要求每天消耗A,B原料都不超過(guò)12千克,通過(guò)合理支配生產(chǎn)方案,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是().A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元【解析】設(shè)該公司每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶,乙產(chǎn)品y桶,則利潤(rùn)函數(shù)z=300x+400y,如圖,在的交點(diǎn)(4,4)處取得最大值.zmax=300×4+400×4=2800元.【答案】C3.某試驗(yàn)室需購(gòu)某處化工原料106千克,現(xiàn)在市場(chǎng)上該原料有兩種包裝,一種是每袋35千克,價(jià)格為140元;另一種是每袋24千克,價(jià)格是120元.在滿足需要的條件下,最少需花費(fèi)元.

【解析】設(shè)需要35千克的x袋,24千克的y袋,則總的花費(fèi)為z元求z=140x+120y的最小值.由圖解法求出zmin=500,此時(shí),x=1,y=3.【答案】5004.要將甲、乙兩種長(zhǎng)短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格,兩種鋼管可同時(shí)截得三種規(guī)格的鋼管的根數(shù)如下表所示:規(guī)格類型鋼管類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格甲種鋼管214乙種鋼管231今需A、B、C三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根,問(wèn)各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規(guī)格鋼管,且使所用鋼管根數(shù)最少?【解析】設(shè)需截甲種鋼管x根,乙種鋼管y根,則作出可行域(如圖):目標(biāo)函數(shù)為z=x+y,作出一組平行直線x+y=t(t為參數(shù))中經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線,此直線經(jīng)過(guò)直線4x+y=18和直線x+3y=16的交點(diǎn)A(,),直線方程為x+y=.由于和都不是整數(shù),所以可行域內(nèi)的點(diǎn)(,)不是最優(yōu)解,經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=8,經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是B(4,4),它是最優(yōu)解.答:要截得所需三種規(guī)格的鋼管,且使所截兩種鋼管的根數(shù)最少的方法是截甲種鋼管、乙種鋼管各4根.1.(2021年·山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一