2024-2025學年上海市靜安區(qū)市西中學高二（上）月考數(shù)學試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市靜安區(qū)市西中學高二（上）月考數(shù)學試卷（12月份）一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知θ是銳角，則“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線所成角的大小為θ”是“直線l與平面α所成角的大小為θ”的(????)條件．A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分必要 D.既非充分又非必要條件2.有5名志愿者報名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有(????)種A.30 B.50 C.60 D.803.設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，下列命題中真命題是(

)A.若m//α，n//α，則m//n

B.若m?α，n?β，m//n，則α//β

C.若m⊥α，n//α，則m⊥n

D.若m?α，n?β，m//β，n//α，則α//β4.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點，Q為正方形A.若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡是一條線段

B.不存在Q點，使得D1Q⊥平面A1PD

C.當且僅當Q點落在棱CC1上某點處時，三棱錐二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.圓柱的側(cè)面積是6π，母線長為4，則圓柱的體積為______．6.圓錐的側(cè)面積是6π，母線長為4，則圓錐母線與底面所成角的余弦值為______．7.已知正六棱錐的高為6，底面正六邊形的邊長為4，則側(cè)面與底面所成銳二面角的大小為______．8.將一個半徑為r的金屬球熔化后，重新鑄造為64個相同的小球，則這些小球的表面積之和，比原金屬球的表面積增加了______．9.下來命題中，真命題的編號為______．

(1)若直線l與平面M斜交，則M內(nèi)不存在與l垂直的直線；

(2)若直線l⊥平面M，則M內(nèi)不存在與l不垂直的直線；

(3)若直線l與平面M斜交，則M內(nèi)不存在與l平行的直線；

(4)若直線l//平面M，則M內(nèi)不存在與l不平行的直線．10.已知點A(0,1,2)、B(1,3,6)、C(?1,2,4)，則AB在AC方向上的投影為______(用坐標表示)．11.正整數(shù)2024有______個不同的正約數(shù)．12.5本不同的數(shù)，全部分給四個學生，每個學生至少1本，不同分法的種數(shù)為______．13.在(3x2?14.已知a、b是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量c滿足|c|=3，且c?a=c?15.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，AD=2，E、F分別為棱16.中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻甍是茅草屋頂.”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形ABCD為矩形，EF//AB，若13AB=12AD=EF，△ADE和△BCF都是正三角形，G為AD的中點，則異面直線GE與三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

如圖，PA、PB、PC為圓錐三條母線，AB=AC．

(1)證明：PA⊥BC；

(2)若圓錐側(cè)面積為3π,BC為底面直徑，BC=2，求二面角B?PA?C的大?。?8.(本小題12分)

如圖，“復興”橋為人行天橋，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長的半圓型主梁和四根豎直的立柱吊起一塊圓環(huán)狀的橋面．主梁在橋面上方相交于點S且它們所在的平面互相垂直，S在橋面上的射影為橋面的中心O.主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條可以通往橋面的上行步道．設(shè)CD為其中的一根立柱，A為主梁與橋面大圓的連接點．

(1)求證：CD//平面SOA；

(2)設(shè)AB為經(jīng)過A的一條步道，其長度為12米且與地面所成角的大小為30°.橋面小圓與大圓的半徑之比為4：5，當橋面大圓半徑為20米時，求點C到地面的距離．19.(本小題12分)

設(shè)λ是正實數(shù)，(1+λx)20的二項展開式為a0+a1x+a2x2+……+a20x20，其中a0，a1，……，a2020.(本小題12分)

如圖1所示，ABCD是水平放置的矩形，AB=23，BC=2.如圖2所示，將ABD沿矩形的對角線BD向上翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．

(1)求四面體ABCD的體積V；

(2)試判斷與證明以下兩個問題：

①在平面BCD上是否存在經(jīng)過點C的直線l，使得l⊥AD；

②在平面BCD上是否存在經(jīng)過點C的直線l，使得l//AD．

21.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為正方形，AB=AC=4，設(shè)M是CC1的中點，滿足AM⊥A1B1，N是BC的中點，P是線段A1B1上的一點．

(1)證明：AM⊥平面A1PN；

(2)若BC=42，A

參考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.9π4

6.387.60°

8.12πr9.(2)(3)

10.(?311.16

12.240

13.405

14.715.4+316.317.(1)證明：取BC中點O，連接AO，PO，

因為AB=AC，PB=PC，所以AO⊥BC，PO⊥BC，

又因為PO，AO?面PAO，PO∩AO=O，

所以BC⊥面PAO，又PA?面PAO，

所以PA⊥BC；

(2)解：法(i)由(1)可知，BC⊥OA，又PO⊥底面ABC，

作PM⊥AB，BD⊥PA交于D，連接CD，

由題意△PBA≌△PCA，可得CD⊥PA，

所以∠CDB為所求的二面角的平面角，連接OD，則∠CDB=2∠BDO，

因為圓錐側(cè)面積為3π,BC為底面直徑，BC=2，

所以底面半徑為1，母線長為3，所以PO=PA2?AO2=2，

PA=PO2+OA2=2+1=3，

AB=2，PB=PO2+OB2=3，PM=PB2?(AB2)2=3?12=102，

S△PBA=12×AB×PM=12×PA×BD，

即2×102=3×BD，解得BD=153，

所以sin∠BDO=OBBD=1153=155，

所以cos∠CDB=1?2sin2∠BDO=1?2×(155)=?15，

所以二面角B?PA?C的平面角為鈍角，

所以二面角B?PA?C的大小為π?arccos15．

法(ii)由(1)可知，BC⊥OA，又PO⊥底面ABC，因為圓錐側(cè)面積為3π,BC18.解：(1)證明：由題意可知：CD⊥橋面，SO⊥橋面，所以CD//SO，

SO?平面SOA，CD?平面SOA，所以CD/?/平面SOA．

(2)作出其中一個主梁的軸截面，連接SO，OC，

由題意可知：SO=20，因為橋面小圓與大圓的半徑之比為4：5，

即OD：SO=4：5，所以O(shè)D=16，OC=SO=20，

在Rt△OCD中，CD=OC2?OD2=202?162=12，

所以點C到橋面的距離為12米，

又因為AB為經(jīng)過A的一條步道，其長度為1219.解：(1)通項公式為Tr+1=C20rλr?xr，r=0，1，2，…，20．

∴由a3=12a2得，C203λ320.解：(1)過點A作AE⊥BD，垂足為E．

∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，由等面積法可得AE=3．

∴V=13S△BCD?AE=13×12×2×23×3=2；

(2)①在平面BCD上存在經(jīng)過點C的直線l，使得l⊥AD．

證明：過點C作CF⊥BD，垂足為F．

∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CF，

又AE∩BD=E，∴CF⊥平面ABD，可得CF⊥AD，

即存在l⊥AD；

②在平面BCD上不存在經(jīng)過點C的直線l，使得l/?/AD，

證明：假設(shè)存在l/?/AD，

21.(1)證明：取AC中點E，連接A1E，NE，

又在正方形ACC1A1中，M是CC1中點，

由幾何關(guān)系可得△A1AE≌△ACM，

所以∠AA1E=∠CAM，∠A1EA=∠AMC，

又∠AA1E+∠A1EA=90°，所以∠CAM+∠A1EA=90°，

所以AM⊥A1E，又AM⊥A1B1(P)，

另外中位線EN/?/AB，三棱柱中AB/?/A1B1，得EN//A1P，

平行線EN，A1P確定了平面A1ENP，

且A1E∩NE=E，A1E，NE?平面A1ENP，

則AM⊥平面A1ENP，即AM⊥平面A1PN；

(2)解：①由AB=AC=4，BC=42，

可得AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC，

又AB⊥AM，AB