河北省滄州市滄衡名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題

河北省滄州市滄衡名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評分一、?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知△ABC是邊長為4的正三角形，則AB?A．8 B．83 C．-8 D．2．已知集合M={a2,3,A．-1或2 B．1 C．±1 D．23．在某市的一次質(zhì)量檢測考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度曲線可用函數(shù)f(x)=1σ2πA．600 B．800 C．1200 D．14004．已知8名同學(xué)參加體能綜合測試的成績分別為46,A．513 B．1526 C．5285．已知函數(shù)f(x)=1exA．c>b>a B．c>a>b C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c6．已知復(fù)數(shù)z0=6(cos11π6+isin11π6A．7 B．6 C．43 D．7．將函數(shù)f(x)=cos2x?sin2x的圖象向右平移π3個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若f(x)A．π2 B．π3 C．π48．已知正六棱錐P?ABCDEF的高為23A．43π B．4π C．33二、?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知sinα+cosα=m,A．sin2α=1?m2 C．cos2α=?m2?m2 D．若10．已知函數(shù)f'(x)為定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(?1+x)+f(?1?x)=0，f'A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?1對稱B．函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)C．fD．i=111．已知點(diǎn)P(?1,0)為拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，MA．若|MN|=10，則MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為4B．若M,N,P三點(diǎn)共線，且MF⊥NFC．若M,F,N三點(diǎn)共線，且MND．若M,F,N三點(diǎn)共線，且△OMN的外接圓與C的交點(diǎn)為D（異于,N三、?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a13．已知F1,F2為橢圓C:y2a2+x2b14．已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，且3(b?acosC)=csinA，則A=；內(nèi)角A的平分線交BC四、?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2（1）證明：CM⊥A（2）求直線A1B116．在數(shù)列{an}中，?n∈（1）證明：數(shù)列{a（2）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的值及數(shù)列{an17．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)(a1,a2基本事實(shí)：①在三維空間中，立方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)(a1,a2,a3)表示，其中ai∈{0,1}(i=1,2請根據(jù)以上定義和基本事實(shí)回答下面問題：（1）若“n維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為λ，“(n?1)維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為μ，求λ?μ的值；（2）記隨機(jī)變量ξ為“n維立方體”中任意兩個(gè)不同頂點(diǎn)間的曼哈頓距離，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．已知雙曲線Γ:x2a2?y2b（1）求雙曲線Γ的方程；（2）（i）證明：直線l:x0xa（ii）若直線MN與雙曲線Γ相切，C為雙曲線Γ的右焦點(diǎn)，且CN⊥CM，試判斷點(diǎn)N是否在定直線上，若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請說明理由.19．已知函數(shù)h(x)=（1）若函數(shù)f(x)=?x+1，證明：f(x)>h(x)在(1,（2）若h(x1)=h(x2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由△ABC是邊長為4的正三角形，

則AB→?BC→=2．【答案】D【解析】【解答】解：由M∩N=N，則N?M；

如果a+2=3，則a=1，

而a2=1，則集合M不滿足互異性，不符合題意；

當(dāng)a+2=a2時(shí)，則a2-a-2=0，

所以a=2或a=-1；

當(dāng)a=-1時(shí)，a2=1，則集合M不滿足互異性，不符合題意；3．【答案】B【解析】【解答】解：由f(x)=1σ2πe?(x?78)22σ2，則μ=78；

因?yàn)镻(78?X?120)=0.42，則4．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)?×70%=5.6，所以這8名同學(xué)體能綜合測試成績的第70百分位數(shù)為75；

從8名同學(xué)選出3名同學(xué)有C83種選法；

這3名同學(xué)中最高的體能綜合測試成績恰好是75的有C52種選法；

所以，根據(jù)古典概型計(jì)算公式得P=C5．【答案】C【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(?x)=1當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，設(shè)g(x)=ex+e?x，則g則函數(shù)f(x)=1g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，又函數(shù)f(x)又?log52=log512>log故選：C.【分析】先判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，比較自變量的范圍和大小，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性比較即得.6．【答案】A【解析】【解答】解：z0=6(cos11π即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(33又點(diǎn)(33,?3)所以|z|的最大值為6+1=7.故答案為：A.【分析】先化簡復(fù)數(shù)z0，再根據(jù)|z?z07．【答案】D【解析】【解答】解：依題意，f(x)=cos令2kπ?π≤2x≤2kπ,k∈Z，解得即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π不妨令k=0，則函數(shù)f(x)在[?π令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z，解得即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ,不妨令k=0，則函數(shù)f(x)在[0,g(x)=f(x?π令2kπ?π≤2x?2π3≤2kπ即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π不妨令k=0，則函數(shù)g(x)在[?π令2kπ≤2x?2π3≤2kπ+π即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π令?π2≤x≤π2可得，則函數(shù)g(x)若f(x)和g(x)在區(qū)間(a,b)上都是單調(diào)遞增的，且f(x)和g(x)的周期都為則b?a的最大值為0?(?π故答案為：D.【分析】化簡函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求其單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)圖象變換求函數(shù)g(x)的解析式，再求其單調(diào)區(qū)間，由此確定b?a的最大值.8．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：

設(shè)正六棱錐P?ABCDEF的底面中心為O2，正六棱柱為A1其中底面A2設(shè)底面A1B1C1底面A2B2C2則PO2=2設(shè)邊長為a，側(cè)面與底面所成角為α，作O1H⊥C則tanα=PO2即正六棱錐的底面邊長為1，設(shè)A2O2由題意得tan∠PAO2=故正六棱柱A1R2當(dāng)且僅當(dāng)x=34時(shí)取得最小值34故正六棱柱的外接球表面積的最小值為3π，故答案為：D.【分析】先由側(cè)面與底面所成角的正切值為4求出半徑，設(shè)A2O29．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)閟inα+cosα=m，則(sinα+cosα)2所以2sinαcosα=sin2α=m2?1對于B，因?yàn)閙∈(0,1)，所以m2?1<0，又(sinα?cosα)2=1?2sinαcosα=1?(m對于C，cos2α=cos對于D，因?yàn)閠an(π4?α)=1?tanα1+tanα=cosα?sinα故答案為：BCD.【分析】利用平方關(guān)系及二倍角判斷ABC，利用商數(shù)關(guān)系及差角的正切公式判斷D.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(?1+x)+f(?1?x)=0，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,0)對稱，所以對于B，因?yàn)閒'(2x+1)+f'(?2x+1)=0，所以f'(x+1)=?對于C，由B選項(xiàng)知，f'(x+2)=?f'(?x)所以f'(?1+x)=f'(?1?x)又f'(?2+x)=f'(?x)，所以f所以8是函數(shù)f'(x)的一個(gè)周期，所以對于D，f'(2)=?f所以i=1=(?1?2+3+4?5?6+7+8?9?10+11+12?13?14+15)×3=0，所以故答案為：BCD.【分析】由條件f(?1+x)+f(?1?x)=0，判斷函數(shù)f(x)的對稱性，判斷A；由條件f'(2x+1)+f'(?2x+1)=0，判斷函數(shù)f'(x)的對稱性，判斷B；由條件可得f11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：依題意得，p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x，焦點(diǎn)F(1,對于A選項(xiàng)，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為H，分別過點(diǎn)M,N,H作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為根據(jù)梯形中位線性質(zhì)和拋物線定義可得|HS|=1當(dāng)且僅當(dāng)M,N,F三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，而即MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為4，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，直線MN斜率不為零如圖所示：

設(shè)直線MN的方程為x=my?1,M(由y2=4xx=my?1得y2?4my+4=0所以y1+y2=4m所以FM=4(m2+1)?8m2所以直線l的方程為x?2y+1=0或又M在第一象限，則直線MN的斜率為22對于C選項(xiàng)，設(shè)直線MN的方程為x=my+1如圖所示：

聯(lián)立x=my+1y2消去x得y2?4my?4=0，由題意得|MF|=3|NF|，則y1=?3y2，所以又由題意m>0，所以m=33，直線MN的方程為對于D選項(xiàng)，設(shè)D(x3,y3設(shè)該圓的方程為x2+消去x得y4+(4d+16)y所以y1,y2,則y3因?yàn)?y?y由y2的系數(shù)對應(yīng)相等得，y1+y2故答案為：ACD.【分析】對A根據(jù)拋物線定義結(jié)合梯形中位線性質(zhì)即可判斷；CD選項(xiàng)采用設(shè)線法聯(lián)立拋物線方程得到得到韋達(dá)定理式，將B選項(xiàng)垂直轉(zhuǎn)化為向量點(diǎn)乘為0，將C選項(xiàng)的斜之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比，D選項(xiàng)設(shè)出該圓方程將其與拋物線方程聯(lián)立得到一元三次方程，利用因式分解得到縱坐標(biāo)之和為0即可判斷.12．【答案】5【解析】【解答】解：因?yàn)閍2=2，則a2a1+1=a2，即2a1+1=2又a1+a2+故答案為：5．【分析】根據(jù)題意求得a1=12，a2=2，a313．【答案】1【解析】【解答】解：依題意，△PF1F所以a+c=3,△PF又a2=b2+解得c=1,a=2,b=3故答案為：1【分析】根據(jù)題意列式，求出a,14．【答案】π3；【解析】【解答】解：依題意，由正弦定理可得3sinB?即3(sinAcosC+cosAsinC)?故3cosAsinC=sinAsinC，又sinC≠0所以3cosA=sinA，則tanA=3，因?yàn)锳∈(0,因?yàn)镾△ABC=S又AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM=1所以12bc×32=在△ABC中，由余弦定理得a2=b所以16=(b+c)所以△ABC的面積為12故答案為：π3；2【分析】利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得tanA=3，則得到A=π3；利用面積法求出b+c=15．【答案】（1）解：因?yàn)閠an∠ABC=tan∠ACB=12，所以設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接MO,AO，則又點(diǎn)A1到平面BCC1所以BC=2OB=2OC=4，又因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直三棱柱，又CC1⊥平面ABC，故OM⊥而OA,OC均在平面ABC內(nèi)，故故以O(shè)為原點(diǎn)，OA,OC,則A1故A1B=(?1所以CM⊥A（2）解：因?yàn)锳(1,0,又N(12,設(shè)平面CMN的法向量為n=(x則n?CM取y=1，則n=(4設(shè)直線A1B1與平面CMN則sinθ=|故直線A1B1與平面CMN【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明OA,OC,OM兩兩垂直，以16．【答案】（1）解：依題意，an+a兩式作差得an+2所以數(shù)列{a2n}（2）解：由題意知a1+a若{an}所以2+λ?1=32，解得此時(shí)a2n+1a2n即?n∈N*,所以a【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到an+1+an+2=3(n+1)+λ，再由an+an+1=3n+λ，兩式相減即可得到結(jié)論；

（2）先求出a117．【答案】（1）解：依題意，“n維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)λ=2“(n?1)維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)μ=2所以λ?μ=（2）解：由題意得，ξ可取1,2,3,?,k,?,n，當(dāng)ξ=k時(shí)，對于點(diǎn)(a1,此時(shí)所對應(yīng)情況數(shù)為Cn則P(ξ=k)=C故ξ的分布列為ξ12?k?nPCC?C?C數(shù)學(xué)期望E(ξ)=1×又E(ξ)=n×兩式相加可得2E(ξ)=n所以E(ξ)=n×【解析】【分析】（1）根據(jù)分步乘法技術(shù)原理，即可判斷頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）先確定ξ的可能值，再求出各數(shù)值的概率，即可確定分布列以及數(shù)學(xué)期望.18．【答案】（1）解：依題意，2a=42，則a=2又ba=2，解得所以雙曲線Γ的方程為x2（2）解：（i）由點(diǎn)M(x0,y0)將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線l，得x028?y當(dāng)y0≠0時(shí)，將直線l化為斜截式，得代入Γ并整理，得(y0由①知，4x故②為4x其判別式Δ=(?8故直線l與雙曲線Γ相切于點(diǎn)M.當(dāng)y0=0時(shí)，可得x0=±22，此時(shí)直線l綜上，直線l與雙曲線Γ相切于點(diǎn)M.（ii）由（1）知，C(210,0)由題意，CN?即x1x由（i）知，雙曲線Γ在點(diǎn)M處的切線方程為x0又點(diǎn)N在此切線上，故x1x③+32×④，得5x即(5x因?yàn)?x0?2故點(diǎn)N在定直線x=2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意以及雙曲線的基本量關(guān)系即可得到結(jié)果；

（2）（i）先根據(jù)已知證明