【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)蘇教版-江蘇專(zhuān)用-第五章-平面向量-熱點(diǎn)訓(xùn)練-探究課3

(建議用時(shí)：70分鐘)1．(2022·揚(yáng)州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，其中x∈R，ω＞0.(1)當(dāng)ω＝1時(shí)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值；(2)當(dāng)f(x)的最小正周期為π時(shí)，求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上取得最大值時(shí)x的值．解(1)當(dāng)ω＝1時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＋coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(3),2)＋0＝eq\f(\r(3),2).(2)f(x)＝sinωx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＝sinωx＋eq\f(\r(3),2)cosωx－eq\f(1,2)sinωx＝eq\f(1,2)sinωx＋eq\f(\r(3),2)cosωx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))，∵eq\f(2π,|ω|)＝π且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))得2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，∴當(dāng)2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,12)時(shí)，f(x)max＝1.2．(2021·常州監(jiān)測(cè))已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a，b)，q＝(sinB，sinA)，n＝(b－2，a－2)．(1)若p∥q，求證：△ABC為等腰三角形；(2)若p⊥n，邊長(zhǎng)c＝2，∠C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面積．(1)證明∵p∥q，∴asinA＝bsinB，即a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R)(其中R是△ABC外接圓的半徑)．∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形．(2)解由p⊥n得p·n＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.又c＝2，∠C＝eq\f(π,3)，∴4＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，即有4＝(a＋b)2－3ab.∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(ab＝－1舍去)．因此S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).3．(2021·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝6cos2x－2eq\r(3)sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA＝eq\f(4,5)，求a和sinC.解(1)f(x)＝6×eq\f(1＋cos2x,2)－eq\r(3)sin2x＝3cos2x－eq\r(3)sin2x＋3＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋3.所以f(x)的最小正周期為T(mén)＝eq\f(2π,2)＝π，值域?yàn)閇3－2eq\r(3)，3＋2eq\r(3)]．(2)由f(B)＝0，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2).∵B為銳角，∴eq\f(π,6)＜2B＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，2B＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，∴B＝eq\f(π,3).∵cosA＝eq\f(4,5)，A∈(0，π)，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5).在△ABC中，由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2×\f(3,5),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),5).∴sinC＝sin(π－A－B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\f(3＋4\r(3),10).4．(2021·天津十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，且3cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(5π,6)))的值；(2)若a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，求△ABC的面積．解(1)由3cosAcosC(tanAtanC－1)＝1得3cosAcosCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinAsinC,cosAcosC)－1))＝1，∴3(sinAsinC－cosAcosC)＝1，∴cos(A＋C)＝－eq\f(1,3)，∴cosB＝eq\f(1,3)，又0＜B＜π，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3)，∴sin2B＝2sinBcosB＝eq\f(4\r(2),9)，cos2B＝1－2sin2B＝－eq\f(7,9)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(5π,6)))＝sin2Bcoseq\f(5π,6)－cos2Bsineq\f(5π,6)＝eq\f(4\r(2),9)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))·eq\f(1,2)＝eq\f(7－4\r(6),18).(2)由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(a＋c2－2ac－b2,2ac)＝eq\f(1,3)，又a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，∴ac＝eq\f(45,32)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(15\r(2),32).5．(2021·成都診斷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋2sin2eq\f(ωx,2)(ω＞0)，已知函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為π.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝eq\f(3,2)，△ABC的面積為S＝6eq\r(3)，a＝2eq\r(7)，求b，c的值．解(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx＋eq\f(1,2)cosωx＋1－cosωx＝eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx＋1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋1.∵函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為π，∴函數(shù)f(x)的周期為2π.∴ω＝1.∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋1.(2)由f(A)＝eq\f(3,2)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).∵S＝eq\f(1,2)bcsinA＝6eq\r(3)，∴eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝6eq\r(3)，bc＝24，由余弦定理，得a2＝(2eq\r(7))2＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝b2＋c2－24.∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.6．(2021·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點(diǎn)A(x1，y1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).將角α終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)eq\f(π,4)，交單位圓于點(diǎn)B(x2，y2)．(1)若x1＝eq\f(3,5)，求x2；(2)過(guò)A，B作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為C，D，記△AOC及△BOD的面積分別為S1，S2，且S1＝eq\f(4,3)S2，求tanα的值．解(1)由于x1＝eq\f(3,5)，y1＞0，所以y1＝eq\r(1－x\o\al(2,1))＝eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，所以x2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),10).(2)S1＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α.由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以S2＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\