【創(chuàng)新設計】2022屆數(shù)學一輪(理科)人教B版-課時作業(yè)10-3-第十章-統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

第3講變量間的相關關系、統(tǒng)計案例基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2021·湖北七市(州)聯(lián)考)為爭辯語文成果和英語成果之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計兩科成果得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝bx＋a近似地刻畫其相關關系，依據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是 ()A．線性相關關系較強，b的值為3.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無爭辯價值解析依題意，留意到題中的相關的點均集中在某條直線的四周，且該直線的斜率小于1，結(jié)合各選項知，故選B.答案B2.設(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是()A．直線l過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．x和y的相關系數(shù)為直線l的斜率C．x和y的相關系數(shù)在0到1之間D．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)肯定相同解析由樣本的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關系數(shù)表示為x與y之間的線性相關程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關系數(shù)應在－1到0之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不確定平均，無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯．答案A3．(2022·重慶卷)已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A.eq\o(y,\s\up7(^))＝0.4x＋2.3 B.eq\o(y,\s\up7(^))＝2x－2.4C.eq\o(y,\s\up7(^))＝－2x＋9.5 D.eq\o(y,\s\up7(^))＝－0.3x＋4.4解析由于變量x和y正相關，則回歸直線的斜率為正，故可以排解選項C和D.由于樣本點的中心在回歸直線上，把點(3,3.5)的坐標分別代入選項A和B中的直線方程進行檢驗，可以排解B，故選A.答案A4．(2021·鄭州質(zhì)量猜測)通過隨機詢問110名性別不同的同學是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110附表：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828若由χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.參照附表，得到的正確結(jié)論是 ()A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”解析依題意，由于P(7.8≥6.635)＝0.010，因此有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”，故選A.答案A5．(2022·青島復習檢測)下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②設有一個線性回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝3－5x，變量x增加1個單位時，y平均增加5個單位；③設具有相關關系的兩個變量x，y的相關系數(shù)為r，則|r|越接近于0，x和y之間的線性相關程度越強；④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得χ2的值，則χ2的值越大，推斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大．其中錯誤的個數(shù)是 ()A．0 B．1C．2 D．3解析方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故①正確；在回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝3－5x中，變量x增加1個單位時，y平均減小5個單位，故②不正確；依據(jù)線性回歸分析中相關系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關系數(shù)為r，|r|越接近于1，相關程度越強，故③不正確；對分類變量x與y的隨機變量的值χ2來說，χ2越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故④正確．綜上所述，錯誤結(jié)論的個數(shù)為2，故選C.答案C二、填空題6．已知回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝4.4x＋838.19，則可估量x與y的增長速度之比約為________．解析x每增長1個單位，y增長4.4個單位，故增長的速度之比約為1∶4.4＝5∶22.事實上所求的比值為回歸直線方程斜率的倒數(shù)．答案5∶227．(2021·嘉興聯(lián)考)為了推斷高中三班級同學是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名同學，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為________．解析∵χ2≈4.844，依據(jù)假設檢驗的基本原理，應當斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種推斷出錯的可能性約為5%.答案5%8．某數(shù)學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法猜測他孫子的身高為________cm.解析兒子和父親的身高可列表如下：父親身高173170176兒子身高170176182設線性回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(a,\s\up7(^))＋eq\o(b,\s\up7(^))x，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得eq\o(b,\s\up7(^))＝1，且過中心點(173,176)，故eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝176－173＝3，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝3＋x，將x＝182代入得孫子的身高為185cm.答案185三、解答題9．假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的修理費用y(萬元)有如下表的統(tǒng)計資料：使用年限x(年)23456修理費用y(萬元)2.23.85.56.57.0若由資料可知y對x呈線性相關關系，試求：(1)線性回歸直線方程；(2)依據(jù)回歸直線方程，估量使用年限為12年時，修理費用是多少？解(1)列表i12345合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5；eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90；eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23，于是eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.所以線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝1.23x＋0.08.(2)當x＝12時，eq\o(y,\s\up7(^))＝1.23×12＋0.08＝14.84(萬元)，即估量使用12年時，修理費用是14.84萬元．10．(2021·深圳調(diào)研)某企業(yè)通過調(diào)查問卷(滿分50分)的形式對本企業(yè)900名員工的工作滿足度進行調(diào)查，并隨機抽取了其中30名員工(16名女員工，14名男員工)的得分，如下表：女47363248344443474641434250433549男3735344346363840393248334034(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，估量該企業(yè)得分大于45分的員工人數(shù)；(2)現(xiàn)用計算器求得這30名員工的平均得分為40.5分，若規(guī)定大于平均得分為“滿足”，否則為“不滿足”，請完成下列表格：“滿足”的人數(shù)“不滿足”的人數(shù)合計女16男14合計30(3)依據(jù)上述表中數(shù)據(jù)，利用獨立性檢驗的方法推斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿足”有關？參考數(shù)據(jù)：P(χ2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解(1)從表中可知，30名員工中有8名得分大于45分，所以任選一名員工，他(她)的得分大于45分的概率是eq\f(8,30)＝eq\f(4,15)，所以估量此次調(diào)查中，該單位約有900×eq\f(4,15)＝240名員工的得分大于45分．(2)完成下列表格：“滿足”的人數(shù)“不滿足”的人數(shù)合計女12416男31114合計151530(3)假設H0：性別與工作是否滿足無關，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得χ2＝eq\f(30×12×11－3×42,15×15×16×14)≈8.571＞6.635，查表得P(χ2≥6.635)＝0.010.∴能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為性別與工作是否滿足有關．力量提升題組(建議用時：25分鐘)11．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設依據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))，若某同學依據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是 ()A.eq\o(b,\s\up7(^))>b′，eq\o(a,\s\up7(^))>a′ B.eq\o(b,\s\up7(^))>b′，eq\o(a,\s\up7(^))<a′C.eq\o(b,\s\up7(^))<b′，eq\o(a,\s\up7(^))>a′ D.eq\o(b,\s\up7(^))<b′，eq\o(a,\s\up7(^))<a′解析由題意可知，b′＝2，a′＝－2，eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(5,7).eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，∴eq\o(b,\s\up7(^))<b′，eq\o(a,\s\up7(^))>a′，選C.答案C12．有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，依據(jù)大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下非優(yōu)秀統(tǒng)計成果，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30合計已知在全部105人中隨機抽取1人，成果優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說法正確的是 ()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，能認為“成果與班級有關系”D．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，不能認為“成果與班級有關系”解析由題意知，成果優(yōu)秀的同學數(shù)是30，成果非優(yōu)秀的同學數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項A，B錯誤．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.6>3.841，因此有95%的把握認為“成果與班級有關系”．答案C13．某醫(yī)療爭辯所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得χ2≈3.918，經(jīng)查對臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.對此，四名同學得出了以下的推斷：p：在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“這種血清能起到預防感冒的作用”；q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：這種血清預防感冒的有效率為95%；s：這種血清預防感冒的有效率為5%.則下列結(jié)論中，真命題的序號是________．①p∧綈q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．解析∵χ2≈3.918＞3.841，∴在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“這種血清能起到預防感冒的作用”，即命題p正確，命題q，r，s均不正確．對①②③④依次進行推斷，可知①④正確．答案①④14．某中學爭辯性學習小組，為了爭辯高中同學的作文水平是否與愛看課外書有關系，在本校高三班級隨機調(diào)查了50名同學．調(diào)查結(jié)果表明：在愛看課外書的25人中有18人作文水平好，另外7人作文水平一般；在不愛看課外書的25人中有6人作文水平好，另外19人作文水平一般．(1)試依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并運用獨立性檢驗思想，指出有多大把握認為高中同學的作文水平與愛看課外書有關系；愛看課外書不愛看課外書總計作文水平好作文水平一般總計(2)將其中某5名愛看課外書且作文水平好的同學分別編號為1,2,3,4,5，某5名愛看課外書且作文水平一般的同學也分別編號為1,2,3,4,5，從這兩組同學中各任選1人進行學習溝通，求被選取的2名同學的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率．參考公式：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，其中n＝n11＋n12＋n21＋n22.參考數(shù)據(jù)：P(χ2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.