【2022決勝高考】人教A版(理)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)練測：第二章-函數(shù)與基本初等函數(shù)I-學(xué)案7

學(xué)案7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，把握冪的運(yùn)算．3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，并把握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點.4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．自主梳理1．指數(shù)冪的概念(1)根式假如一個數(shù)的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，則x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做________，這里n叫做________，a叫做____________．(2)根式的性質(zhì)①當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時，a的n次方根用符號________表示．②當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的n次方根用符號________表示，負(fù)的n次方根用符號________表示．正負(fù)兩個n次方根可以合寫成________(a>0)．③(eq\r(n,a))n＝____.④當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))⑤當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝____.⑥負(fù)數(shù)沒有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是SKIPIF1<0＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是SKIPIF1<0＝____________＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是______，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①aras＝________(a>0，r，s∈Q)．②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(1)________值域(2)________性質(zhì)(3)過定點________(4)當(dāng)x>0時，______；當(dāng)x<0時，______(5)當(dāng)x>0時，________；當(dāng)x<0時，______(6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是______自我檢測1．下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①當(dāng)a<0時，SKIPIF1<0＝a3；②eq\r(n,an)＝|a|；③函數(shù)y＝SKIPIF1<0－(3x－7)0的定義域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，則2a＋bA．0 B．1 C．2 D．2．函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有A．a(chǎn)＝1或a＝2 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)>0且a≠13．如圖所示的曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<1<c<dB．a(chǎn)<b<1<d<cC．b<a<1<c<dD．b<a<1<d<c4．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2eq\r(2)，則ab－a－b的值等于()A.eq\r(6) B．2或－2C．－2 D．25．(2011·六安模擬)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0

探究點一有理指數(shù)冪的化簡與求值例1已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的兩根，且a<b，求：(1)eq\f(a－1＋b－1,ab－1)；SKIPIF1<0÷eq\r(\r(3,a－8)·\r(3,a15)).變式遷移1化簡SKIPIF1<0(a、b>0)的結(jié)果是()A.eq\f(b,a) B．a(chǎn)b C.eq\f(a,b) D．a(chǎn)2b探究點二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2已知函數(shù)y＝(eq\f(1,3))|x＋1|.(1)作出函數(shù)的圖象(簡圖)；(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時有最值，并求出最值．變式遷移2(2009·山東)函數(shù)y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)的圖象大致為()探究點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3假如函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值．變式遷移3(2011·龍巖月考)已知函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2))x3.(1)求f(x)的定義域；(2)證明：f(－x)＝f(x)；(3)證明：f(x)>0.分類爭辯思想的應(yīng)用例(12分)已知f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)(a>0且a≠1)．(1)推斷f(x)的奇偶性；(2)爭辯f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[－1,1]時f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．【答題模板】解(1)函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱．又由于f(－x)＝eq\f(a,a2－1)(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．[3分](2)當(dāng)a>1時，a2－1>0，y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)．[5分]當(dāng)0<a<1時，a2－1<0，y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)．故當(dāng)a>0，且a≠1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．[7分](3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，∴在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴f(x)min＝f(－1)＝eq\f(a,a2－1)(a－1－a)＝eq\f(a,a2－1)·eq\f(1－a2,a)＝－1.[10分]∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1，故b的取值范圍是(－∞，－1]．[12分]【突破思維障礙】本例第(2)(3)問是難點，爭辯f(x)的單調(diào)性對參數(shù)a如何分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是思維障礙之一．【易錯點剖析】在(2)中，函數(shù)的單調(diào)性既與ax－a－x有關(guān)，還與eq\f(a,a2－1)的符號有關(guān)，若沒考慮eq\f(a,a2－1)的符號就會出錯，另外分類爭辯完，在表達(dá)單調(diào)性的結(jié)論時，要綜合爭辯分類的狀況，假如沒有一個總結(jié)性的表達(dá)也要扣分，在表達(dá)時假如不呈現(xiàn)a的題設(shè)條件中的范圍也是錯誤的．1．一般地，進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行乘、除、乘方、開方運(yùn)算，可以達(dá)到化繁為簡的目的．2．比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小．3．指數(shù)函數(shù)在同始終角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。辉趛軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變??；即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．函數(shù)y＝SKIPIF1<0的值域是()A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．[eq\r(2)，＋∞)2．(2011·金華月考)函數(shù)y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的圖象的大致外形是()3．(2010·重慶)函數(shù)f(x)＝eq\f(4x＋1,2x)的圖象()A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y＝x對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱4．定義運(yùn)算ab＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≤b，,ba>b，))則函數(shù)f(x)＝12x的圖象是()5．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2011·嘉興月考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是________．7．(2010·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.8．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數(shù)a的值為________．三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·衡陽模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．10．(12分)(2010·北京豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定義域為[0,1]．(1)求a的值．(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．11．(14分)(2011·東莞模擬)函數(shù)y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的取值范圍．答案自主梳理1．(1)a的n次方根根式根指數(shù)被開方數(shù)(2)①eq\r(n,a) ②eq\r(n,a)－eq\r(n,a)±eq\r(n,a)③a⑤a2.(1)①eq\r(n,am)②SKIPIF1<0eq\f(1,\r(n,am))③0(2)①ar＋s②ars③arbr3.(1)R(2)(0，＋∞)(3)(0,1)(4)y>10<y<1(5)0<y<1 y>1(6)增函數(shù)(7)減函數(shù)自我檢測1．B[只有④正確．①中a<0時，SKIPIF1<0>0，a3<0，所以SKIPIF1<0≠a3；②中，n為奇數(shù)時且a<0時，eq\r(n,an)＝a；③中定義域為[2，eq\f(7,3))∪(eq\f(7,3)，＋∞)．]2．C[∵y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)3．D[y軸左、右的圖象對應(yīng)函數(shù)的底數(shù)按逆時針方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.]4．D[(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝4，∵a>1，b>0，∴ab>1,0<a－b<1，∴ab－a－b＝2.]5．D[由f(x)＝ax－b的圖象可以觀看出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1；函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.]課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引1.指數(shù)冪的化簡原則(1)化負(fù)數(shù)指數(shù)為正指數(shù)；(2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；(3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)．2．指數(shù)冪的化簡結(jié)果要求為有關(guān)有理指數(shù)冪的化簡結(jié)果不要同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不要既有分母又含有負(fù)指冪，即盡量化成與題目表示形式全都且統(tǒng)一的最簡結(jié)果．解∵a，b是方程的兩根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝eq\f(1,9)，x2＝9，且a<b，故a＝eq\f(1,9)，b＝9，(1)化去負(fù)指數(shù)后求解．eq\f(a－1＋b－1,ab－1)＝eq\f(\f(1,a)＋\f(1,b),\f(1,ab))＝eq\f(\f(a＋b,ab),\f(1,ab))＝a＋b.∵a＝eq\f(1,9)，b＝9，∴a＋b＝eq\f(82,9)，即原式＝eq\f(82,9).(2)原式＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0÷(SKIPIF1<0·SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.∵a＝eq\f(1,9)，∴原式＝3.變式遷移1C[原式＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝ab－1＝eq\f(a,b).]例2解題導(dǎo)引在作函數(shù)圖象時，首先要爭辯函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系，然后通過平移、對稱或伸縮來完成．解(1)方法一由函數(shù)解析式可得y＝(eq\f(1,3))|x＋1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋1，x≥－1，,3x＋1，x<－1.))其圖象由兩部分組成：一部分是：y＝(eq\f(1,3))x(x≥0)eq\o(→,\s\up7(向左平移1個單位))y＝(eq\f(1,3))x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x<0)eq\o(→,\s\up7(向左平移1個單位))y＝3x＋1(x<－1)．如圖所示．方法二①由y＝(eq\f(1,3))|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故先作出y＝(eq\f(1,3))x的圖象，保留x≥0的部分，當(dāng)x<0時，其圖象是將y＝(eq\f(1,3))x(x≥0)圖象關(guān)于y軸對折，從而得出y＝(eq\f(1,3))|x|的圖象．②將y＝(eq\f(1,3))|x|向左移動1個單位，即可得y＝(eq\f(1,3))|x＋1|的圖象，如圖所示．(2)由圖象知函數(shù)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，在[－1，＋∞)上是減函數(shù)．(3)由圖象知當(dāng)x＝－1時，有最大值1，無最小值．變式遷移2A[y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)＝1＋eq\f(2,e2x－1)，當(dāng)x>0時，e2x－1>0，且隨著x的增大而增大，故y＝1＋eq\f(2,e2x－1)>1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調(diào)遞減．又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確．]例3解題導(dǎo)引1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特殊留意區(qū)分a>1與0<a<1來爭辯．2．指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的初等函數(shù)的性質(zhì)可通過換元的方法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)．解設(shè)t＝ax，則y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.(1)當(dāng)a>1時，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，滿足a(2)當(dāng)0<a<1時，t∈[a，a－1]，∴ymax＝(a－1)2＋2a－1解得a＝eq\f(1,3)，滿足0<a<1.故所求a的值為3或eq\f(1,3).變式遷移3(1)解由2x－1≠0?x≠0，所以定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)證明f(x)＝(eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2))x3可化為f(x)＝eq\f(2x＋1,22x－1)·x3，則f(－x)＝eq\f(2－x＋1,22－x－1)(－x)3＝eq\f(2x＋1,22x－1)x3＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．(3)證明當(dāng)x>0時，2x>1，x3>0，所以(eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2))x3>0.由于f(－x)＝f(x)，所以當(dāng)x<0時，f(x)＝f(－x)>0.綜上所述，f(x)>0.課后練習(xí)區(qū)1．B[由y＝SKIPIF1<0中eq\r(x)≥0，所以y＝SKIPIF1<0≥20＝1，即函數(shù)的值域為[1，＋∞)．]2．D[函數(shù)的定義域為{x|x∈R，x≠0}，且y＝eq\f(xax,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>0,－ax，x<0)).當(dāng)x>0時，函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)a滿足0<a<1，所以函數(shù)遞減；當(dāng)x<0時，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)遞增．]3．D[函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，∵f(－x)＝eq\f(4－x＋1,2－x)＝eq\f(1＋4x,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．]4．A[當(dāng)x<0時，0<2x<1，此時f(x)＝2x；當(dāng)x≥0時，2x≥1，此時f(x)＝1.所以f(x)＝1SKIPIF1<02x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx<0，,1x≥0.))]5．D[方程|ax－1|＝2a有兩個不等實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與函數(shù)y＝2a有兩個不同交點，作出函數(shù)y＝|ax－1|的圖象，從圖象觀看可知只有0<2a<1時，符合題意，即0<a<eq\f(1,2).]6．[eq\f(1,3)，1)解析據(jù)單調(diào)性定義，f(x)為減函數(shù)應(yīng)滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,3a≥a0，))即eq\f(1,3)≤a<1.7．－1解析設(shè)g(x)＝ex＋ae－x，則f(x)＝xg(x)是偶函數(shù)．∴g(x)＝ex＋ae－x是奇函數(shù)．∴g(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.8.eq\r(3)解析當(dāng)a>1時，f(2)＝2，∴a2－1＝2，a＝eq\r(3)，閱歷證符合題意；當(dāng)0<a<1時，f(0)＝2，即1－1＝2，無解．∴a＝eq\r(3).9．解(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即eq\f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1，…………………(2分)從而有f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝－f(－1)知eq\f(－2＋1,4＋a)＝－eq\f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.經(jīng)檢驗a＝2適合題意，∴所求a、b的值分別為2、1.……………(4分)(2)由(1)知f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1).由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．…………(6分)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．……………(8分)由于f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即對一切t∈R有3t2－2t－k>0.從而判別式Δ＝4＋1