2021年高考理數(shù)二輪復習講練測-熱點11-軌跡方程問題的探討(講)-(解析版)VIP

縱觀近幾年高考軌跡問題是高考中的一個熱點和重點，在歷年高考中毀滅的頻率較高，主要留意考查同學的規(guī)律思維力氣，運算力氣，分析問題和解決問題的力氣，而軌跡方程這一熱點，常涉及函數(shù)、三角、向量、幾何等學問，能很好地反映同學在這些力氣方面的把握程度。有的同學看到就頭疼的題目.分析緣由除了這類題目的入手的確不易之外，主要是同學沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段毀滅這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討.求軌跡方程的基本方法有：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。1、直接法：也叫直譯法，即依據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（如兩點間距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡。這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧，它是求軌跡方程的基本方法。例1：一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P【思路分析】此題中利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，得到OM=這一等量關(guān)系，是此題成功的關(guān)鍵所在。2．定義法：假如動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再依據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。例2：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C為動點，且滿足求點C的軌跡【思路分析】本題先用余弦定理化角的關(guān)系為邊的關(guān)系，得到邊的關(guān)系正好滿足橢圓的定義，從而得到軌跡方程3.用參數(shù)法求曲線軌跡方程參數(shù)法：假如接受直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點坐標x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進而通過消參化為軌跡的一般方程F（x，y）＝0。例3．過點P（2，4）作兩條相互垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程?！舅悸贩治觥?：從運動的角度觀看發(fā)覺，點M的運動是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點M坐標（x，y）滿足的參數(shù)方程?！舅悸贩治觥?：解法1中在利用k1k2＝－1時，需留意k1、k2是否存在，故而分情形爭辯，能否避開爭辯呢？只需利用△PAB為直角三角形的幾何特性：【思路分析】3：：設(shè)M（x，y），由已知l1⊥l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標。事實上，由M為AB的中點，易找出它們的坐標之間的聯(lián)系。4.相關(guān)點法（代入法）假如動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點P'的坐標，然后把P'的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。例4M是拋物線y2【思路分析】：動點P的位置，依靠于拋物線上的點M，故可考慮用相關(guān)點法求P的軌跡方程。例5.軌跡方程。【思路分析】：題中涉及了三個點A、B、M，其中A為定點，而B、M為動點，且點B的運動是有規(guī)律的，明顯M的運動是由B的運動而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點，故接受相關(guān)點法求動點M的軌跡方程。5：交軌法：在求動點軌跡時，有時會毀滅要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。例6如圖，已知拋物線，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.求△APB的重心G的軌跡方程.【思路分析】重心G的變化受動點A，B的影響，動點A,B的變化又受動點P的限制，可接受交軌法求軌跡方程六、用點差法求軌跡方程點差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程。點差法是解決橢圓與直線的關(guān)系中常用到的一種方法。點差法常見題型有求中點弦方程、求（過定點、平行弦）弦中點軌跡、垂直平分線、定值問題。利用點差法可以削減很多的計算，所以在解有關(guān)的問題時用這種方法比較好。例7.已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；【思路分析】：此題中三問都跟弦中點有關(guān)，一般接受點差法.運用點差法，可以達到“設(shè)而不求”的目的，同時，還可以降低解題的運算量，優(yōu)化解題過程.點差法通常解決與直線斜率和弦的中點有關(guān)或借助曲線方程中變量的取值范圍求出其他變量的范圍。高考考查軌跡問題通常是以下兩類：一類是簡潔題，以定義法、相關(guān)點法、待定系數(shù)法等為主，另一類是高難度的純軌跡問題，綜合考查各種方法?！败壽E”、“方程”要區(qū)分求軌跡方程，求得方程就可以了；若是求軌跡，求得方程還不夠，還應指出方程所表示的曲線類型（定形、定位、定量）。處理軌跡問題成敗在于：對各種方法的領(lǐng)悟與解題閱歷的積累。所以在處理軌跡問題時確定要擅長依據(jù)題目的特點選擇恰當?shù)姆椒ǎㄊ裁礌顩r下用什么方法上面已有介紹，這里不在重復）確定軌跡的范圍是處理軌跡問題的難點，也是同學簡潔毀滅錯誤的地方，在確定軌跡范圍時，應留意以下幾個方面：①精確理解題意，挖掘隱含條件；②列式不轉(zhuǎn)變題意，并且要