【創(chuàng)新設計】2021年高考數(shù)學(四川專用-理)一輪復習考點突破：選修4-4-第1講-坐標系

第1講坐標系[最新考綱]1．理解坐標系的作用．了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化狀況．2．會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化．3．能在極坐標系中給出簡潔圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)表示的極坐標方程.知識梳理1．極坐標系(1)極坐標系的建立：在平面上取一個定點O，叫做極點，從O點引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個極坐標系．設M是平面內一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的極徑，記為ρ，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記作M(ρ，θ)．(2)極坐標與直角坐標的關系：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(ρ，θ)，則它們之間的關系為x＝ρcosθ，y＝ρsin_θ.另一種關系為ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x).2．直線的極坐標方程若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a；(3)直線過Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于極軸：ρsinθ＝b.3．圓的極坐標方程若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρeq\o\al(2,0)－r2＝0.幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r；(2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos_θ；(3)當圓心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，半徑為a：ρ＝2asin_θ.診斷自測1．點P的直角坐標為(－eq\r(2)，eq\r(2))，那么它的極坐標可表示為________．解析直接利用極坐標與直角坐標的互化公式．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)))2．若曲線的極坐標方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為________．解析∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.答案x2＋y2－4x－2y＝03．(2022·西安五校一模)在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點的極坐標為________． 解析ρ＝2sinθ的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐標方程為x＝－1，聯(lián)立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))即兩曲線的交點為(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此這兩條曲線的交點的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4)))4．在極坐標系中，直線l的方程為ρsinθ＝3，則點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線l的距離為________．解析∵直線l的極坐標方程可化為y＝3，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化為直角坐標為(eq\r(3)，1)，∴點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線l的距離為2.答案25．在極坐標系中，圓ρ＝4sinθ的圓心到直線θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)的距離是________．解析將極坐標方程轉化為平面直角坐標系中的一般方程求解，極坐標系中的圓ρ＝4sinθ轉化為平面直角坐標系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝eq\f(π,6)轉化為平面直角坐標系中的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，即eq\r(3)x－3y＝0.∴圓心(0,2)到直線eq\r(3)x－3y＝0的距離為eq\f(|0－3×2|,\r(3＋9))＝eq\r(3).答案eq\r(3)考點一極坐標與直角坐標的互化【例1】(1)把點M的極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(π,6)))化成直角坐標；(2)把點M的直角坐標(－eq\r(3)，－1)化成極坐標．解(1)∵x＝－5coseq\f(π,6)＝－eq\f(5,2)eq\r(3)，y＝－5sineq\f(π,6)＝－eq\f(5,2)，∴點M的直角坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\r(3)，－\f(5,2))).(2)ρ＝eq\r(－\r(3)2＋－12)＝eq\r(3＋1)＝2，tanθ＝eq\f(－1,－\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∵點M在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝eq\f(7π,6).因此，點M的極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,6))).規(guī)律方法(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，肯定要留意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一．(2)在曲線的方程進行互化時，肯定要留意變量的范圍．要留意轉化的等價性．【訓練1】(1)把點M的極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(2π,3)))化成直角坐標；(2)把點P的直角坐標(eq\r(6)，－eq\r(2))化成極坐標．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解(1)x＝8coseq\f(2π,3)＝－4，y＝8sineq\f(2π,3)＝4eq\r(3)，因此，點M的直角坐標是(－4,4eq\r(3))．(2)ρ＝eq\r(\r(6)2＋－\r(2)2)＝2eq\r(2)，tanθ＝eq\f(－\r(2),\r(6))＝－eq\f(\r(3),3)，又由于點在第四象限，得θ＝eq\f(11π,6).因此，點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(11π,6))).考點二直角坐標方程與極坐標方程的互化【例2】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點．(1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；(2)設M，N的中點為P，求直線OP的極坐標方程．解(1)∵ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，∴ρcosθ·coseq\f(π,3)＋ρsinθ·sineq\f(π,3)＝1.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))，∴eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)y＝1.即曲線C的直角坐標方程為x＋eq\r(3)y－2＝0.令y＝0，則x＝2；令x＝0，則y＝eq\f(2\r(3),3).∴M(2,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).∴M的極坐標為(2,0)，N的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).(2)M，N連線的中點P的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，P的極角為θ＝eq\f(π,6).∴直線OP的極坐標方程為θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)．規(guī)律方法直角坐標方程與極坐標方程的互化，關鍵要把握好互化公式，爭辯極坐標系下圖形的性質，可轉化為我們生疏的直角坐標系的情境．【訓練2】⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．解以極點的原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．(1)ρ＝4cosθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ；ρ＝－4sinθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsinθ.由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2，得⊙O1，⊙O2的直角坐標方程分別為x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，①,x2＋y2＋4y＝0.②))①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0為所求直線方程．考點三曲線極坐標方程的應用【例3】(2022·廣州調研)在極坐標系中，求直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2被圓ρ＝4截得的弦長．解由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2，得eq\f(\r(2),2)(ρsinθ＋ρcosθ)＝2可化為x＋y－2eq\r(2)＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長公式得：2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),\r(2))))2)＝4eq\r(3).故所求弦長為4eq\r(3).規(guī)律方法在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，假如不能直接用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩，可將極坐標方程轉化為直角坐標方程解決．【訓練3】(2022·江蘇卷)在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P(eq\r(2)，eq\f(π,4))，圓心為直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．解在ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)中令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標為(1,0)．由于圓C經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，所以圓C的半徑PC＝eq\r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cos\f(π,4))＝1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cosθ.因忽視極坐標系下點的極坐標不唯一性致誤【典例】(10分)在極坐標系下，若點P(ρ，θ)的一個極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))，求以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))為坐標的不同的點的極坐標．[錯解呈現(xiàn)]甲：解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))化為直角坐標為(－2,2eq\r(3))，故該點與原點的中點坐標為(－1，eq\r(3))，化為極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3))).乙：解∵ρ＝4，θ＝eq\f(2π,3)，故eq\f(ρ,2)＝2，eq\f(θ,2)＝eq\f(π,3)，因此所求極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).[規(guī)范解答]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))為點P(ρ，θ)的一個極坐標．∴ρ＝4或ρ＝－4.(2分)當ρ＝4時，θ＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，∴eq\f(ρ,2)＝2，eq\f(θ,2)＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)． (4分)當ρ＝－4時，θ＝2kπ＋eq\f(5π,3)(k∈Z)，∴eq\f(ρ,2)＝－2，eq\f(θ,2)＝kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)． (6分)∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))有四個不同的點：P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2kπ＋\f(π,3)))，P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)，P3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2kπ＋\f(5π,6)))，P4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2kπ＋\f(11π,6)))(k∈Z)(10分)[反思感悟]甲生解法中將直角坐標系的中點坐標公式應用于極坐標系中的中點，事實上(ρ，θ)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))的關系并不是點(ρ，θ)與極點的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))，從幾何意義上講點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))應滿足該點的極角為θ的eq\f(1,2)，極徑為ρ的eq\f(1,2).乙生解法中滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ρ,2)，\f(θ,2)))的幾何意義，但由于極坐標系內點的極坐標的不唯一性，還應就點(ρ，θ)的其他形式的極坐標進行爭辯．【自主體驗】下列各點中與極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,6)))不表示同一個點的極坐標是________．①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,6)))②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7π,6)))③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(11π,6)))④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(13π,6)))解析由于與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,6)))表示同一點的坐標有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,6)＋2kπ))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)＋2k＋1π))，其中k∈Z，所以易得只有②不同．答案②一、填空題1．在極坐標系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標是________(填序號)．①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))；③(1,0)；④(1，π)解析圓的方程可化為ρ2＝－2ρsinθ，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圓心為(0，－1)，化為極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))).答案②2．極坐標方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是______(填序號)．①兩個圓；②兩條直線；③一個圓和一條射線；④一條直線和一條射線．解析由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以極點為圓心，半徑為1的圓，θ＝π表示以極點為起點與Ox反向的射線．答案③3．在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為________．解析點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為直角坐標為(1，eq\r(3))，方程ρ＝2cosθ化為一般方程為x2＋y2－2x＝0，故圓心為(1,0)，則點(1，eq\r(3))到圓心(1,0)的距離為eq\r(3).答案eq\r(3)4．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點的極坐標為________．解析曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1化為直角坐標方程為x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化為直角坐標方程為y－x＝1.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y－x＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))則交點為(0,1)，對應的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))5．(2022·汕頭調研)在極坐標系中，ρ＝4sinθ是圓的極坐標方程，則點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到圓心C的距離是________．解析將圓的極坐標方程ρ＝4sinθ化為直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0，圓心坐標為(0,2)．又易知點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))的直角坐標為(2eq\r(3)，2)，故點A到圓心的距離為eq\r(0－2\r(3)2＋2－22)＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)6．在極坐標系中，過圓ρ＝6cosθ－2eq\r(2)sinθ的圓心且與極軸垂直的直線的極坐標方程為________．解析由ρ＝6cosθ－2eq\r(2)sinθ?ρ2＝6ρcosθ－2eq\r(2)ρsinθ，所以圓的直角坐標方程為x2＋y2－6x＋2eq\r(2)y＝0，將其化為標準形式為(x－3)2＋(y＋eq\r(2))2＝11，故圓心的坐標為(3，－eq\r(2))，所以過圓心且與x軸垂直的直線的方程為x＝3，將其化為極坐標方程為ρcosθ＝3.答案ρcosθ＝37．(2022·華南師大模擬)在極坐標系中，點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))到曲線ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2上的點的距離的最小值為________．解析依題意知，點M的直角坐標是(2,2eq\r(3))，曲線的直角坐標方程是x＋eq\r(3)y－4＝0，因此所求的距離的最小值等于點M到該直線的距離，即為eq\f(|2＋2\r(3)×\r(3)－4|,\r(12＋\r(3)2))＝2.答案28．在極坐標系中，曲線C1：ρ＝2cosθ，曲線C2：θ＝eq\f(π,4)，若曲線C1與C2交于A、B兩點，則線段AB＝________.解析曲線C1與C2均經(jīng)過極點，因此極點是它們的一個公共點．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝2cosθ，,θ＝\f(π,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝\r(2)，,θ＝\f(π,4)，))即曲線C1與C2的另一個交點與極點的距離為eq\r(2)，因此AB＝eq\r(2).答案eq\r(2)9．在極坐標系中，由三條直線θ＝0，θ＝eq\f(π,3)，ρcosθ＋ρsinθ＝1圍成圖形的面積是________．解析θ＝0，θ＝eq\f(π,3)，ρcosθ＋ρsinθ＝1三直線對應的直角坐標方程分別為：y＝0，y＝eq\r(3)x，x＋y＝1，作出圖形得圍成圖形為如圖△OAB，S＝eq\f(3－\r(3),4).答案eq\f(3－\r(3),4)二、解答題10．設過原點O的直線與圓(x－1)2＋y2＝1的一個交點為P，點M為線段OP的中點，當點P在圓上移動一周時，求點M軌跡的極坐標方程，并說明它是什么曲線．解圓(x－1)2＋y2＝1的極坐標方程為ρ＝2cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))，設點P的極坐標為(ρ1，θ1)，點M的極坐標為(ρ，θ)，∵點M為線段OP的中點，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，將ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圓的極坐標方程，得ρ＝cosθ.∴點M軌跡的極坐標方程為ρ＝cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))，它表示圓心在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，半徑為eq\f(1,2)的圓．11．(2022·遼寧卷)在直角坐標系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程．解(1)圓C1的極坐標方程為ρ＝2，圓C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝2，,ρ＝4cosθ，))得ρ＝2，θ＝±eq\f(π,3)，故圓C1與圓C2交點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).注：極坐標系下點的表示不唯一．(2)法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ