2022版《名師金典》高考數(shù)學(xué)(理科)大一輪復(fù)習(xí)教師用書：第三章三角函數(shù)-

第三章三角函數(shù)第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)[考情展望]1.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值.2.考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定．一、角的有關(guān)概念1．從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角．2．從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角．3．若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)．二、弧度與角度的互化1．1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．2．角α的弧度數(shù)假如半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的確定值是|α|＝eq\f(l,r).3．角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.4．弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2α.角度制與弧度制不行混用角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，接受的度量制度必需全都，不行混用．三、任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(為正)．即第一象限全為正，其次象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．1．給出下列四個(gè)命題：①－eq\f(3π,4)是其次象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C2．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－1,2)，則sinα＝()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D.－eq\f(2\r(5),5)【答案】B3．若sinα＜0且tanα＞0，則α是()A．第一象限角 B.其次象限角C．第三象限角 D.第四象限角【答案】C4．弧長(zhǎng)為3π，圓心角為135°的扇形半徑為________，面積為________．【答案】46π5．(2022·江西高考)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3,x))定義域相同的函數(shù)為()A．y＝eq\f(1,sinx) B.y＝eq\f(lnx,x)C．y＝xex D.y＝eq\f(sinx,x)【答案】D6．(2022·大綱全國(guó)卷)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4，3)，則cosα＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D.－eq\f(4,5)【答案】D

考向一[047]角的集合表示及象限角的判定(1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求eq\f(α,2)所在的象限．【嘗試解答】(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))，故所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，∴kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3,4)π(k∈Z)．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(3,4)π，eq\f(α,2)是其次象限角，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(3π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(7,4)π，eq\f(α,2)是第四象限角，綜上知，當(dāng)α是第三象限角時(shí)，eq\f(α,2)是其次或第四象限角．,規(guī)律方法11.若要確定一個(gè)確定值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再依據(jù)α所在的象限予以推斷．2．利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出這個(gè)角的終邊相同的全部角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()A．第一或第三象限 B．第一或其次象限C．其次或第四象限 D.第三或第四象限【答案】A考向二[048]扇形的弧長(zhǎng)及面積公式已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．【嘗試解答】(1)l＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由已知得：l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10，α＝2rad.(3)設(shè)弓形面積為S弓．由題知l＝eq\f(2π,3)cm，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2－eq\f(1,2)×22×sineq\f(π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3)))(cm2)．規(guī)律方法21.利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要留意角的單位必需是弧度．2．本題把求扇形面積最大值的問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，這是解決此類問題的常用方法．3．在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要留意合理地利用圓心角所在的三角形．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10，(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.【解】(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB為等邊三角形．因此弦AB所對(duì)的圓心角α＝eq\f(π,3).(2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式，得l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10,3)π，S扇形＝eq\f(1,2)R·l＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(50π,3).又S△AOB＝eq\f(1,2)·OA·OB·sineq\f(π,3)＝25eq\r(3).∴弓形的面積S＝S扇形－S△AOB＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).考向三[049]三角函數(shù)的定義(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m，－3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m等于()A．－eq\f(11,4)B.eq\f(11,4)C．－4D．4【答案】C(2)已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【嘗試解答】在直線3x＋4y＝0上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，∴r＝|PO|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，當(dāng)t＞0時(shí)，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t＜0時(shí)，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，當(dāng)t＞0時(shí)，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).當(dāng)t＜0時(shí)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).,規(guī)律方法3定義法求三角函數(shù)值的兩種狀況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)90°＜α＜180°，角α的終邊上一點(diǎn)為P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求4sinα－3tanα的值．【解】∵r＝eq\r(x2＋5)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))，從而eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(x,\r(x2＋5))，解得x＝0或x＝±eq\r(3).∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－eq\r(3).則r＝2eq\r(2)，∴sinα＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，tanα＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).故4sinα－3tanα＝eq\r(10)＋eq\r(15).易錯(cuò)易誤之六|a|≠a——三角函數(shù)定義求值中引發(fā)的分類爭(zhēng)辯————————[1個(gè)示范例]———————已知角θ的終邊上一點(diǎn)p(3a,4a)(a≠0)，則sinθ【解析】∵x＝3a，y＝∴r＝eq\r(3a2＋4a2)＝5|a|此處在求解時(shí)，常犯r＝5a的錯(cuò)誤，出錯(cuò)的緣由在于去確定值時(shí)，沒有對(duì)a(1)當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a∴sinθ＝eq\f(y,5)＝eq\f(4,5).(2)當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a∴sinθ＝eq\f(y,5)＝－eq\f(4,5)∴sinθ＝±eq\f(4,5).【防范措施】1.對(duì)于eq\r(a2)＝|a|，在去掉確定值號(hào)后，應(yīng)分a≥0和a＜0兩種狀況爭(zhēng)辯．2．已知角α終邊上任意一點(diǎn)p(x，y)，求三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)用sinα＝eq\f(y,\r(x2＋y2))，cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))，tanα＝eq\f(y,x)求解．—————————[1個(gè)防錯(cuò)練]———————已知角α的終邊落在直線y＝2x上，則sinα＋cosα＝________.【解析】在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)，則r＝|OP|＝eq\r(t2＋4t2)＝eq\r(5)|t|(1)若t＞0，則sinα＝eq\f(2t,\r(5)t)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(t,\r(5)t)＝eq\f(\r(5),5)，sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5).(2)若t＜0，則sinα＝－eq\f(2t,\r(5)t)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(t,\r(5)t)＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＋cosα＝－eq\f(3\r(5),5).綜上所述，sinα＋cosα＝±eq\f(3\r(5),5).【答案】±eq\f(3\r(5),5)課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(十七)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)(時(shí)間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．如圖3－1－1，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP交單位圓O于點(diǎn)P，若∠AOP＝θ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()圖3－1－1A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)【答案】A2．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B．sin2C.eq\f(2,sin1) D.2sin1【答案】C3．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，則角α與β的終邊的位置關(guān)系是()A．重合 B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D.關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】C4．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B.其次象限C．第三象限 D.第四象限【答案】B5．已知角x的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，則角x的最小正值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(2π,3)【答案】C6．已知θ是第四象限角，則sin(sinθ)()A．大于0 B.大于等于0C．小于0 D.小于等于0【答案】C二、填空題(每小題5分，共15分)7．若角120°的終邊上有一點(diǎn)(－4，a)，則a的值是______．【答案】4eq\r(3)8．已知角α的終邊落在直線y＝－3x(x＜0)上，則eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(|cosα|,cosα)＝________.【答案】29．點(diǎn)P從(1,0)動(dòng)身，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq\f(2π,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．【解】∵θ的終邊過點(diǎn)(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).11．(12分)已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB.【解】設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.∴r＝2，∴弦長(zhǎng)AB＝2sin1×2＝4sin1.12．(13分)角α終邊上的點(diǎn)P與A(a,2a)關(guān)于x軸對(duì)稱(a＞0)，角β終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ【解】由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－2a點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a，a所以，sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝eq\f(－2,\r(5))·eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))·eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.其次節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式[考情展望]1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求三角函數(shù)值.2.借助誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，進(jìn)而求三角函數(shù)值．一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.2．商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．二、六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α誘導(dǎo)公式記憶口訣對(duì)于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．1．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，則sinα＝()A．－eq\f(12,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D．±eq\f(12,13)【答案】A2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6)B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D．eq\f(π,3)【答案】D3．sin585°的值為()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】A4．若cosα＝－eq\f(3,5)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4)D.－eq\f(4,3)【答案】B5．(2022·大綱全國(guó)卷)設(shè)a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，則()A．a(chǎn)>b>c B.b>c>aC．c>b>a D.c>a>b【答案】C6．(2021·廣東高考)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα＝()A．－eq\f(2,5)B.－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)D．eq\f(2,5)【答案】C考向一[050]同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用(1)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則sin2α－sinαcosα的值是()A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．－2D．2(2)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝________.【答案】(1)A(2)－eq\f(\r(5),5),規(guī)律方法11.利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．2．留意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)若tanα＝2，則eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)的值為()A．0B.eq\f(3,4)C．1D.eq\f(5,4)(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，則tanα＝________.【答案】(1)B(2)－eq\f(4,3)考向二[051]誘導(dǎo)公式的應(yīng)用(1)sin600°＋tan240°的值等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)－eq\f(1,2)D.eq\r(3)＋eq\f(1,2)(2)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))等于()A．－eq\f(7,9)B.－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D．eq\f(7,9)(3)已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋cosπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝()A．－2 B.2C．0 D．eq\f(2,3)【答案】(1)B(2)C(3)B,規(guī)律方法21.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)留意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓剑蛩蠼呛腿呛瘮?shù)進(jìn)行化歸．2．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值．考向三[052]sinα±cosα與sinα·cosα的關(guān)系已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【嘗試解答】(1)法一：由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又∵－π＜x＜0，∴sinx＜0，又sinx＋cosx＞0，∴cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).法二：由法一可知sinxcosx＝－eq\f(12,25)＜0，又－π＜x＜0，所以sinx＜0，cosx＞0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinxcosx＝－\f(12,25)，,sinx＋cosx＝\f(1,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＝－\f(3,5)，,cosx＝\f(4,5).))所以sinx－cosx＝－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).規(guī)律方法31.第(1)問應(yīng)留意x的范圍對(duì)sinx－cosx的符號(hào)的影響．事實(shí)上依據(jù)條件可進(jìn)一步判定x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)).2．對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求，轉(zhuǎn)化公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)－1,2)，則tanθ的值為()A．－eq\r(3)或－eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),2)【答案】C易錯(cuò)易誤之七撥云見日——三角函數(shù)式中“角范圍”的信息提取——————————[1個(gè)示范例]——————已知α為其次象限角，sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，則cos2α＝()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),9)C.eq\f(\r(5),9)D.eq\f(\r(5),3)【解析】∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,3)，∴2sinαcosα＝－eq\f(2,3)，即sin2α＝－eq\f(2,3).又∵α為其次象限角且sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)>0，此處在求解中，分析不出“sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)＞0”這個(gè)隱含信息，導(dǎo)致后面的“α”范圍無法確定，進(jìn)而影響后面的解答．∴2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋eq\f(3,4)π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，∴2α為第三象限角，∴cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\f(\r(5),3).【防范措施】(1)由sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，隱含著sinα＋cosα＞0，即sinα＞－cosα，結(jié)合α為其次象限角可進(jìn)一步約束角α的范圍．(2)利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值，開方時(shí)應(yīng)留意三角函數(shù)值符號(hào)的推斷．—————————[1個(gè)防錯(cuò)練]———————若sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，則cos2θ的值為________．【解析】由題意可知，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,25)，∴sin2θ＝－eq\f(24,25).即2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)＜0，則sinθ與cosθ異號(hào)，又sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)＞0，∵eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(3π,4).∴π＜2θ＜eq\f(3π,2)，故cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).【答案】－eq\f(7,25)課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(十八)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式(時(shí)間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．(2021·大綱全國(guó)卷)已知α是其次象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα＝()A．－eq\f(12,13)B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13)D.eq\f(12,13)【答案】A2．若sinθ·cosθ＝eq\f(1,2)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值是()A．－2B.2C．±2D．eq\f(1,2)【答案】B3．已知sin(3π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，則sinαcosα等于()A．－eq\f(2,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)或－eq\f(2,5) D.－eq\f(1,5)【答案】A4．記cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.eq\f(\r(1－k2),k) B.－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2)) D.－eq\f(k,\r(1－k2))【答案】B5．已知sin(π－2)＝a，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2))的值為()A．－eq\r(1－a2) B.－aC.eq\r(1－a2) D.a【答案】A6．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5)D．eq\f(5,4)【答案】B二、填空題(每小題5分，共15分)7．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,4)))，則sinθ－cosθ＝________.【答案】－eq\f(\r(2),3)8．已知tanα＝2，則7sin2α＋3cos2α＝________.【答案】eq\f(31,5)9．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋x))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＝________.【答案】eq\f(11,16)三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋tan\f(3,4)π,cosx).(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)設(shè)tanα＝－eq\f(4,3)，求f(α)的值．【解】(1)由cosx≠0，得x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).(2)∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴f(α)＝eq\f(1－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋tan\f(3,4)π,cosα)＝eq\f(1－cosα－sinα－1,cosα)＝eq\f(－cosα－sinα,cosα)＝－1－tanα＝eq\f(1,3).11．(12分)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π))＝a.求證：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,7)π＋α))＋3cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13,7)π)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,7)π－α))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(22,7)π)))＝eq\f(a＋3,a＋1).【證明】由已知得左邊＝eq\f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π))))＋3cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8π,7)))－3π)),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π))))－cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π)))))＝eq\f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π))－3cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π)),－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π))＋3,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(8,7)π))＋1)＝eq\f(a＋3,a＋1)＝右邊，所以原等式成立．12．(13分)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．【解】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB②))①2＋②2得2cos2A即cosA＝eq\f(\r(2),2)或cosA＝－eq\f(\r(2),2).(1)當(dāng)cosA＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7,12)π.(2)當(dāng)cosA＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(3,4)π，B＝eq\f(5,6)π，不合題意．綜上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)[考情展望]1.考查三角函數(shù)圖象的識(shí)別.2.考查三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性).3.考查三角函數(shù)的值域(最值)．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域x∈Rx∈Rx∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R單調(diào)性遞增區(qū)間是[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)，遞減區(qū)間是[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)遞增區(qū)間是[kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)最值ymax＝1；ymin＝－1ymax＝1；ymin＝－1無最大值和最小值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z對(duì)稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z無對(duì)稱軸最小正周期2π2ππ三角函數(shù)奇偶性的推斷技巧1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．

1．函數(shù)y＝tan3x的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2)π＋3kπ，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,6)＋kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))【答案】D2．函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,2)))是()A．最小正周期為2π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的偶函數(shù)C．最小正周期為2π的非奇非偶函數(shù)D．最小正周期為π的偶函數(shù)【答案】A3．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象的一條對(duì)稱軸是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)【答案】C4．比較大?。簊ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))________sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).【答案】＞5．(2021·天津高考)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．－1B.－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D.0【答案】B6．(2022·陜西高考)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B.πC．2πD.4π【答案】B考向一[053]三角函數(shù)的定義域和值域(1)函數(shù)y＝eq\f(1,tanx－1)的定義域?yàn)開_______．(2)求下列函數(shù)的值域：①y＝2cos2x＋2cosx；②y＝3cosx－eq\r(3)sinx，x∈[0，π]；③y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.【嘗試解答】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))(2)①y＝2cos2x＋2cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,2)))2－eq\f(1,2).當(dāng)且僅當(dāng)cosx＝1時(shí)，得ymax＝4，當(dāng)且僅當(dāng)cosx＝－eq\f(1,2)時(shí)，得ymin＝－eq\f(1,2)，故函數(shù)值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)).②y＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx－\f(1,2)sinx))＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).∵x∈[0，π]，∴eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2)，∴－2eq\r(3)≤2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤3.∴y＝3cosx－eq\r(3)sinx的值域?yàn)閇－2eq\r(3)，3]．③法一：y＝sinxcosx＋sinx＋cosx＝eq\f(sinx＋cosx2－1,2)＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－eq\f(1,2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(\r(2),2)))2－1，所以當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝1時(shí)，y取最大值1＋eq\r(2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\r(2).當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)，y取最小值－1，∴該函數(shù)值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2))).法二：設(shè)t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)(－eq\r(2)≤t≤eq\r(2))，y＝t＋eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，當(dāng)t＝eq\r(2)時(shí)，y取最大值為eq\r(2)＋eq\f(1,2)，當(dāng)t＝－1時(shí)，y取最小值為－1.∴函數(shù)值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2))).,規(guī)律方法11.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解三角函數(shù)的值域(最值)的常見類型及方法：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)函數(shù)y＝lgsinx＋eq\r(1－2cosx)的定義域是________．(2)(2022·大綱全國(guó)卷)函數(shù)y＝cos2x＋2sinx的最大值為________．【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋π，k∈Z))))(2)eq\f(3,2)考向二[054]三角函數(shù)的單調(diào)性求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4)))；(2)y＝|tanx|.【嘗試解答】(1)y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，它的增區(qū)間是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的減區(qū)間，它的減區(qū)間是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的增區(qū)間．由2kπ－eq\f(π,2)≤3x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,12)≤x≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,4)，k∈Z.由2kπ＋eq\f(π,2)≤3x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.得eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,4)≤x≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(7,12)π，k∈Z.故所給函數(shù)的減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,3)－\f(π,12)，\f(2kπ,3)＋\f(π,4)))，k∈Z；增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,3)＋\f(π,4)，\f(2kπ,3)＋\f(7π,12)))，k∈Z.(2)觀看圖象可知，y＝|tanx|的增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.規(guī)律方法21.求含有確定值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但假如ω＜0，那么確定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，求：(1)函數(shù)的周期；(2)求函數(shù)在[－π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間．【解】由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))可化為y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).(1)周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.所以x∈R時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.取k＝－1,0可得函數(shù)在[－π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7π,12)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0)).考向三[055]三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性(1)已知函數(shù)f(x)＝sin(πx－eq\f(π,2))－1，則下列說法正確的是()A．f(x)是周期為1的奇函數(shù)B．f(x)是周期為2的偶函數(shù)C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)D．f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)(2)已知f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)為偶函數(shù)，則φ可以取的一個(gè)值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)D．－eq\f(π,3)(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，給出以下四個(gè)論斷：①它的最小正周期為π；②它的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)成軸對(duì)稱圖形；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))成中心對(duì)稱圖形；④在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上是增函數(shù)．以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________(用序號(hào)表示即可)．【答案】(1)B(2)D(3)①②?③④或①③?②④規(guī)律方法31.推斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時(shí)，一般先將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解．2．求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：(1)周期定義；(2)利用正(余)弦型函數(shù)周期公式；(3)借助函數(shù)的圖象．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2022·安徽高考改編)若將函數(shù)y＝sin2x＋cos2x的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位，得函數(shù)y＝f(x)的圖象．若y＝f(x)是偶函數(shù)，則φ的最小值是________．【答案】eq\f(3,8)π(2)(2022·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－eq\f(1,2).①若0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，求f(α)的值；②求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．【解】f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)由于0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以α＝eq\f(π,4).從而f(α)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(3π,4)＝eq\f(1,2).(2)f(x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的最小正周期T＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.思想方法之九爭(zhēng)辯三角函數(shù)性質(zhì)的一大“法寶”——整體思想所謂整體思想就是爭(zhēng)辯問題時(shí)從整體動(dòng)身，對(duì)問題的整體形式、結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行綜合分析、整體處理的思想方法．在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用“整體思想”可以解決以下幾類問題(1)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值；(2)爭(zhēng)辯三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如定義域、值域、單調(diào)性等)；(3)解三角不等式或求含參變量的取值范圍問題．

——————————[1個(gè)示范例]————已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(0,2]【解析】由eq\f(π,2)＜x＜π得eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)＜ωx＋eq\f(π,4)＜πω＋eq\f(π,4)，由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)，πω＋\f(π,4)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)，,πω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)，))∴eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4)，故選A.—————————[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]———————已知函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值為－2，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪[6，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D．(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))【解析】當(dāng)ω＞0時(shí)，由－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)得－eq\f(π,3)ω≤ωx≤eq\f(π,4)ω，由題意知，－eq\f(π,3)ω≤－eq\f(π,2)，∴ω≥eq\f(3,2)，當(dāng)ω＜0時(shí)，由－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)得eq\f(π,4)ω≤ωx≤－eq\f(π,3)ω，由題意知，eq\f(π,4)ω≤－eq\f(π,2)，∴ω≤－2，綜上知ω∈(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).【答案】D課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(十九)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(時(shí)間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4))))) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)))))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))【答案】D2．(2021·浙江高考)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝eq\f(π,2)”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B3．函數(shù)y＝sin2x＋sinx－1的值域?yàn)?)A．[－1,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,4)))【答案】C4．若函數(shù)f(x)＝sin(3x＋φ)，滿足f(a＋x)＝f(a－x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(π,6)))的值為()A.eq\f(\r(3),2)B．±1C．0D.eq\f(1,2)【答案】C5．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c B.c＜a＜bC．b＜a＜c D.b＜c＜a【答案】B6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期為6π，，且當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x)取得最大值，則()A．f(x)在區(qū)間[－2π，0]上是增函數(shù)B．f(x)在區(qū)間[－3π，－π]上是增函數(shù)C．f(x)在區(qū)間[3π，5π]上是減函數(shù)D．f(x)在區(qū)間[4π，6π]上是減函數(shù)【答案】A二、填空題(每小題5分，共15分)7．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值為eq\f(π,3)，則正數(shù)ω＝________.【答案】eq\f(3,2)8．已知函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則f(x)的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))9．已知函數(shù)f(x)＝cosxsinx(x∈R)，給出下列四個(gè)命題：①若f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是增函數(shù)；④f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(3π,4)對(duì)稱．其中真命題是________．【答案】③④三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)已知函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋sin2x，(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值．【解】(1)∵f(x)＝sinxcosx＋sin2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,4)＋sin2eq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝1.(2)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)(sin2x－cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以，當(dāng)2x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(3,8)π時(shí)，f(x)取到最大值為eq\f(\r(2)＋1,2).11．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠kπ，k∈Z}．由于f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ))和eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．12．(13分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋2eq\r(3)sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，求函數(shù)f(x)的值域．【解】(1)由于f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2eq\r(3)sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＋λ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))＋λ，由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωπ－\f(π,6)))＝±1.所以2ωπ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即ω＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,3)(k∈Z)．又ω∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，k∈Z，所以ω＝eq\f(5,6).所以f(x)的最小正周期是eq\f(6π,5).(2)由y＝f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，即λ＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)×\f(π,2)－\f(π,6)))＝－2sineq\f(π,4)＝－eq\r(2)，即λ＝－eq\r(2).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)x－\f(π,6)))－eq\r(2)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－2－eq\r(2)，2－eq\r(2)]．

第四節(jié)函數(shù)y＝Asin(ω