【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(北師大版)選修1-2教案：第3章-拓展資料：例析反正法的應用

例析反正法的應用我們知道，反證法是先否定結論成立，然后依據(jù)已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步導出與定義、定理，公理或已知條件等相沖突或自相沖突的結論，從而確定原結論是正確的.反證法是間接證明的一種基本方法，是解決某些“疑難”問題的有力工具，也是數(shù)學上非構造性證明中極為重要的方法，它對于處理存在性命題、否定性命題、唯一性命題和至少、至多性命題具有特殊的優(yōu)越性?，F(xiàn)以例說明。一否定型命題當結論為“否定性”的命題時，應用反證法。也就是說原題的結論毀滅“不行能……”、“不能表示為……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具有某種性質(zhì)”等否定形式毀滅時，可考慮使用反證法進行證明。例1：試證不是有理數(shù)。分析：要求證的結論是以否定的形式毀滅的，因此可應用反正法來進行證明。證明：假設是有理數(shù)，留意到，可設（、為互質(zhì)的正整數(shù)，且），兩邊平方，得①，表明，是2的倍數(shù)，由于是正整數(shù)，故當是奇數(shù)時，令（），則，即是奇數(shù)，與是2的倍數(shù)沖突。當是偶數(shù)，又可設（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍數(shù)。這樣與都是2的倍數(shù)，它們至少有公因數(shù)2，與所作假定、為互質(zhì)的正整數(shù)相沖突。因此不是有理數(shù)。點評：在應用反證法證題時，必需按“反設——歸謬——結論”的步驟進行，反正法的難點在于如何從假設中推出沖突，從而說明假設不成立。本題從假設中推出的結論是與自身相沖突二存在性命題當命題的結論是以存在性的形式毀滅時，宜用反證法。也就是說，解決存在性探究命題的總體策略是先假設結論存在，并以此進行推理，若推出沖突，即可否定假設；若推出合理結果，閱歷證成馬上可確定假設正確。例2、直線與雙曲線：的右支交于不同的兩點，⑴求實數(shù)的范圍；⑵是否存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點？若存在求出的值；若不存在，說明理由。分析：第（1）提示求參數(shù)范圍的常規(guī)題，第⑵問是一道探討結論是否存在的開放性命題，為此先假設結論存在并在此假設的條件下進行一系列的推導，或推出沖突或驗證成立。解：⑴略可求得。⑵由消去得，①設兩點的坐標為，則時方程①的兩解所以，假設存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點，則，得，即整理得，將及帶入上式，得，解得或（舍去）從而存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點。點評：在本題在假設的條件下推導出的結果并沒有毀滅沖突，而是驗證了存在符合題設條件的實數(shù)，從推斷結論存在，對于探究具有某種性質(zhì)的存在性問題，一般先由特例探求結果的存在性，然后進行論證。三“至少”、“至多”型命題當命題的結論是以“至多”、“至少”的形式毀滅時，可考慮應用反證法來解決。例3、設均為實數(shù)，且，，求證：中至少有一個大于0。分析：假如直接從條件動身推證，方向不明，思路不清，不移入手，較難，說證結論是以“至少”形式毀滅，因而可用反證法證明。證明：設中都不大于0，即而，這與沖突，故中至少有一個大于0點評：當遇到命題的結論是以“至多”“至少”等形式給出時，一般是多用反證法；應留意“至少有一個”“都是”的否定形式分別是“一個也沒有”“不都是”，本題是一個自相沖突的題目類型。四“唯一”性命題，若命題的結論是以“唯一”、“有且只有一個”等形式毀滅時，可用反證法進行證明。例4、求證：兩條相交直線有且只有一個交點。分析：此題是含有“有且只有一個”的命題，可考慮用反證法進行證明。證明：假設結論不成立，則有兩種狀況：或者沒有交點，或者不只一個交點。假如直線沒有交點，那么∥，這與已知沖突；假如直線不只有一個交點，則至少交于點，這樣經(jīng)過兩點就有兩條直線，這與兩點確定以直線沖突。由（1）和（2）可知，假設錯誤，所以，兩條相交直線有且只有一個交點。點評：此題是證明一個命題的充要條件，用反證法證明白它的否定，從而獲得結論正確，也可正面證明，需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時，應找出除這一個元素外的其它的全部元素，并逐一推導出沖突，排解掉。五確定型命題有些命題結論是以“都有”“全部”“都是”等形式毀滅時，我們在進行證明時，也往往接受反證法。例5、設函數(shù)對定義域上任意實數(shù)都有，且成立。求證：對定義域內(nèi)的任意都有。分析：這是一個確定型命題，可考慮用反正發(fā)來進行證明。證明：假設滿足體設條件的任意都有部成立，即存在某個有，，，又由于，這與假設沖突。假設不成立，故對定義域內(nèi)的任意都有。點評：在反設命題的結論時要留意正確寫出結論的否定形式是格外重要的。在本體中對“任意都有”的否定是“存在某個有”六證明不等式對于證明不等式，有時直接進行證明因較抽象、不明朗，一時還難以找出解題思路，其反面常卻毀滅的條件較多、較具體，又較簡潔查找解題思路，因此也常考慮用反證法進行證明。例6、已知函數(shù)是上的增函數(shù)，，試推斷命題“若，則”的逆命題是否正確，并證明你的結論。分析：先寫出逆命題，然后證明不等式，而直接證明的條件較少，因此應用反證法。證明：逆命題為：“若，則。”用反證法進行證明：假設，則由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以有，兩式相加得，這與已知沖突，故只有，逆命題成立。點評：反正法常用于直接證明較困難的不等式，也是不等式證明的一種常用方法。以上我們介紹了反證法的經(jīng)常應用的幾種類型，由此可以看出它有相當廣泛的應用，正難則反是反證法的特點，由于假如由一個命題直接得到的結論很少、較抽象、較困難時，其反面常會有較多、較具體、較簡潔的信息結論，這樣反證法就為一些從正面入手,