【2021高考復(fù)習參考】高三數(shù)學(理)配套黃金練習：6.3

第六章6.3第3課時高考數(shù)學（理）黃金配套練習一、選擇題1．在公比為正數(shù)的等比數(shù)列中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，則S8等于()A.21B．42C．135D．170答案D解析q2＝eq\f(a3＋a4,a1＋a2)＝4，又q>0，∴q＝2，a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝eq\f(2,3)，S8＝eq\f(\f(2,3)·28－1,2－1)＝170.2．在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1答案A解析思路一：列方程求出首項和公比，過程略；思路二：兩等式相減得a4－a3＝2a3，從而求得eq\f(a4,a3)＝3＝q.3．在14與eq\f(7,8)之間插入n個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項總和為eq\f(77,8)，則此數(shù)列的項數(shù)()A．4B．5C．6D．7答案B解析∵q≠1(14≠eq\f(7,8))∴Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，∴eq\f(77,8)＝eq\f(14－\f(7,8)q,1－q)解得q＝－eq\f(1,2)，eq\f(7,8)＝14×(－eq\f(1,2))n＋2－1，∴n＝3，故該數(shù)列共5項．4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為eq\f(5,4)，則S5＝()A．35B．33C．31D．29答案C解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，a2·a3＝aeq\o\al(2,1)·q3＝a1·a4＝2a1?a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×eq\f(5,4)?q＝eq\f(1,2)，故a1＝eq\f(a4,q3)＝16，S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝31.5．數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝4n＋b(b是常數(shù)，n∈N*)，假如這個數(shù)列是等比數(shù)列，則b等于()A．－1B．0C．1D．4答案A解析等比數(shù)列{an}中，q≠1時，Sn＝eq\f(a1·qn－1,q－1)＝eq\f(a1,q－1)·qn－eq\f(a1,q－1)＝A·qn－A，∴b＝－16．一正數(shù)等比數(shù)列前11項的幾何平均數(shù)為32，從這11項中抽去一項后所余下的10項的幾何平均數(shù)為32，那么抽去的這一項是()A．第6項B．第7項C．第9項D．第11項答案A解析由于數(shù)列的前11項的幾何平均數(shù)為32，所以該數(shù)列的前11項之積為3211＝255，當抽去一項后所剩下的10項之積為3210＝250，∴抽去的一項為255÷250＝25，又因a1·a11＝a2·a10＝a3·a9＝a4·a8＝a5·a7＝aeq\o\al(2,6)，所以a1·a2·…·a11＝aeq\o\al(11,6)，故有aeq\o\al(11,6)＝255，即a6＝25，∴抽出的應(yīng)是第6項7．設(shè)a1＝2，數(shù)列{1＋2an}是公比為2的等比數(shù)列，則a6＝()A．31.5B．160C．79.5D．159.5答案C解析由于1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，則an＝eq\f(5·2n－1－1,2)，an＝5·2n－2－eq\f(1,2)，a6＝5×24－eq\f(1,2)＝5×16－eq\f(1,2)＝80－eq\f(1,2)＝79.58．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝()A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)答案B解析明顯公比q≠1，由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q·a1q3＝1,\f(a1（1－q3）,1－q)＝7))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4,q＝\f(1,2)，))∴S5＝eq\f(a1(1－q5),1－q)＝eq\f(4(1－\f(1,25)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4).二、填空題9．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a2·a2n＋2＝2aeq\o\al(2,n＋1)，a2＝2，則a1＝________.解∵a2·a2n＋2＝aeq\o\al(2,n＋2)＝2aeq\o\al(2,n＋1)∴eq\f(an＋2,an＋1)＝eq\r(2)，∴q＝eq\r(2)∵a2＝2，∴a1＝eq\f(a2,q)＝eq\r(2).10．已知數(shù)列{an}，假如a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，那么an＝________.答案eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))解析a1＝1，a2－a1＝eq\f(1,3)，a3－a2＝(eq\f(1,3))2，…，an－an－1＝(eq\f(1,3))n－1，累加得an＝1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,32)＋…＋(eq\f(1,3))n－1＝eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))11．數(shù)列{an}為等比數(shù)列，已知an＞0，且an＝an＋1＋an＋2，則該數(shù)列的公比q是__________答案eq\f(\r(5)－1,2)解析由已知可得an＝an·q＋an·q2∵an>0∴q2＋q－1＝0q＝eq\f(－1±\r(5),2)∵q>0∴q＝eq\f(\r(5)－1,2)12．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________.解設(shè)公比為q，S6＝S3＋q3S3＝4S3，∴q3＝3，∴a4＝a1·q3＝3.13．等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則公比q＝________.答案2解析eq\f(S6－S3,S3)＝q3即q3＝8∴q＝2三、解答題14．在等比數(shù)列{an}中，S3＝eq\f(13,9)，S6＝eq\f(364,9)，求an.解析由已知，S6≠2S3，則q≠1.又S3＝eq\f(13,9)，S6＝eq\f(364,9)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1(1－q3),1－q)＝\f(13,9)①,\f(a1(1－q6),1－q)＝\f(364,9)②))②÷①，得1＋q3＝28，∴q＝3.可求得a1＝eq\f(1,9).因此an＝a1qn－1＝3n－3.15．在等比數(shù)列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求{an}前8項的和S8.解析解法一設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24①,a3·a5＝(a1q3)2＝64))∴a1q3＝±8.將a1q3＝－8代入到①式，得q2－1＝－3.∴q2＝－2，舍去．將a1q3＝8代入到①式得q2－1＝3.∴q＝±2.當q＝2時，a1＝1，S8＝eq\f(a1(q8－1),q－1)＝255；當q＝－2時，a1＝－1，S8＝eq\f(a1(q8－1),q－1)＝85.解法二∵{an}是等比數(shù)列，∴依題設(shè)得aeq\o\al(2,4)＝a3·a5＝64.∴a4＝±8.∴a6＝24＋a4＝24±8.∵{an}是實數(shù)列，∴eq\f(a6,a4)>0.故舍去a4＝－8，得a4＝8，a6＝32.從而a5＝±eq\r(a4·a6)＝±16，∴q＝eq\f(a5,a4)＝±2.當q＝2時，a1＝a4·q－3＝1，a9＝a6·q3＝256，∴S8＝eq\f(a1－a9,1－q)＝255；當q＝－2時，a1＝a4·q－3＝－1，a9＝a6·q3＝－256，∴S8＝eq\f(a1－a9,1－q)＝85.16．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．(1)求r的值；(2)當b＝2時，記bn＝eq\f(n＋1,4an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解析(1)由題意，Sn＝bn＋r，當n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0且b≠1，所以當n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，eq\f(a2,a1)＝b，即eq\f(b(b－1),b＋r)＝b，解得r＝－1.(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1，當b＝2時，an＝2n－1，所以bn＝eq\f(n＋1,4×2n－1)＝eq\f(n＋1,2n＋1)Tn＝eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,23)＋eq\f(3,24)＋…＋eq\f(n,2n＋1)＋eq\f(n＋1,2n＋2)，兩式相減得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋…＋eq\f(1,2n＋1)－eq\f(n＋1,2n＋2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\f(1,23)1－\f(1,2n－1),1－\f(1,2))－eq\f(n＋1,2n＋2)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2n＋1)－eq\f(n＋1,2n＋2)，故Tn＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)－eq\f(n＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(n＋3,2n＋1).拓展練習·自助餐1．等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，S4＝1，則S8的值為()A．15B．17C．19D．21答案B2．設(shè){an}是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)答案D解析依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：若{an}是等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，即X，Y－X，Z－Y成等比數(shù)列，故(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y(Y－X)＝X(Z－X)，故選D.3．設(shè)項數(shù)為8的等比數(shù)列的中間兩項與2x2＋7x＋4＝0的兩根相等，則數(shù)列的各項相乘的積為________．答案16解析設(shè)此數(shù)列為{an}，由題設(shè)a4a5＝2，從而a1a2…a8＝(a4a5)4＝164．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.答案－9解析由an＝bn－1，且數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則{an}有連續(xù)四項在集合{－54，－24,18,36,81}中．經(jīng)分析推斷，比較知{an}的四項應(yīng)為－24,36，－54,81.又|q|>1，所以數(shù)列{an}的公比為q＝－eq\f(3,2)，則6q＝－9.5．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1＝a≠eq\f(1,4)，且an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)an（n為偶數(shù)），,an＋\f(1,4)（n為奇數(shù)），))記bn＝a2n－1－eq\f(1,4)，n＝1,2,3，….(1)求a2，a3；(2)推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．解析(1)a2＝a1＋eq\f(1,4)＝a＋eq\f(1,4)，a3＝eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,8).(2)∵a4＝a3＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,8)，∴a5＝eq\f(1,2)a4＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,16)，∴b1＝a1－eq\f(1,4)＝a－eq\f(1,4)，b2＝a3－eq\f(