【同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修四教案：1.8-典型例題：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象6

函數(shù)圖象例題分析［例1］由圖4—14所示函數(shù)圖象，求y＝Asin（ωx＋φ）圖4—14（｜φ｜＜π圖4—14選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.解：由圖象可知A＝2又（－，0）為五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn)因此2×（－）＋φ＝0，∴φ＝因此所求函數(shù)表達(dá)式為y＝2sin(2x＋)說明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的過程中，A由函數(shù)的最值確定，ω由函數(shù)的周期確定，φ可通過圖象的平移或“五點(diǎn)法”作圖的過程確定.圖4—15［例2］函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的圖象如圖4—15圖4—15選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.解：由函數(shù)圖象可知A＝1函數(shù)的周期為T＝2［3－（－1）］＝8，即＝8∴ω＝又(－1，1)為“五點(diǎn)法”作圖的其次個(gè)點(diǎn)即（－1）＋φ＝，∴φ＝∴所求函數(shù)表達(dá)式為y＝sin（x＋）說明：假如利用點(diǎn)(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象上，得到，則很難確定函數(shù)關(guān)系式中的A、ω、φ.［例3］如圖4—16，已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(｜φ｜＜的圖象，那么A.ω＝，φ＝B.ω＝，φ＝－C.ω＝2，φ＝D.ω＝2，φ＝－選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.解：由(0，1)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，知2sinφ＝1，又｜φ｜＜∴φ＝又(，0)是“五點(diǎn)法”作圖的第五個(gè)點(diǎn)因此ω·＝2π，解得ω＝2.答案：C說明：在本題求ω的過程中，若利用(，0)在圖象上，即sin（ω＋）＝0，則求出ω＝2或ω＝，很難推斷我們所要選擇的答案，因此圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合關(guān)系式肯定要慎重使用.［例4］畫出函數(shù)，的簡(jiǎn)圖，并說明由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到此函數(shù)的圖像．解：函數(shù)的周期T=，先畫出它在長(zhǎng)度為的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．列表X02020－20描點(diǎn)畫圖：描點(diǎn)，連接，依據(jù)這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫出函數(shù)．的簡(jiǎn)圖（圖4-37）利用函數(shù)的周期性，可以把得到的在閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖向左，右分別擴(kuò)展，從而得到函數(shù)：．R的簡(jiǎn)圖．函數(shù)R的圖像可以由正弦曲線經(jīng)過如下的變換得到：（1）先把的圖像上全部的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位，得到的圖像；再把的圖像上的全部的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到的圖像．（2）先把函數(shù)的圖像上全部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像；再把的圖像上全部的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位，得到的圖像．評(píng)析：比較函數(shù)的圖像和圖像，簡(jiǎn)潔發(fā)覺，對(duì)于的圖像上每一點(diǎn)，在的圖像上總存在唯一一點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，因此，R的圖像．可以看作是先把正弦曲線上全部的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）而得到；也可以看作是先把正弦曲線上全部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．變換的次序可以轉(zhuǎn)變．一般有，函數(shù)．R，的圖像，可以看作是用下面的兩種方法得到的：（1）先把正弦曲線上全部的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）時(shí)或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）（2）先把正弦曲線上全部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)向左（（當(dāng)）時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度．［例5］畫出函數(shù)R的簡(jiǎn)圖，并說明由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到該函數(shù)的圖像．解：函數(shù)的周期，先畫出它在長(zhǎng)度為的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．列表：X02010－10描點(diǎn)畫圖：描點(diǎn)、連接，依據(jù)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，如圖4-38所示．利用函數(shù)的周期性，把它在上的簡(jiǎn)圖向左、右分別擴(kuò)展，就得到函數(shù)R的簡(jiǎn)圖．函數(shù)R的圖像可以由正弦曲線經(jīng)過下面的兩種方式的變換得到：（1）先把圖像上全部的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像；再把的圖像上全部的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像．（2）先把的圖像上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像；再把的圖像上全部的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像．評(píng)析：比較函數(shù)的圖像與的圖像，不難看出，對(duì)于的圖像上每一點(diǎn)，在的圖像上總存在唯一一點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，因此的圖像，可以看作是先把正弦曲線上全部的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的；也可以看作是先把正弦曲線上全部的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）再把所得各點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位而得到的．（變換次序可以轉(zhuǎn)變）．留意：在由的圖像變換成的圖像時(shí)，由于中的與2x中的x相對(duì)應(yīng)，所以平移的是個(gè)單位，而不是個(gè)單位．（這里是同學(xué)經(jīng)常消滅錯(cuò)誤的地方，必需設(shè)法避開）．一般地，函數(shù)R的圖像，可以看作是用下面兩種方法得到的：（1）先把正弦曲線上全部的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)時(shí)）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．（2）先把正弦曲線上全部的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)時(shí)）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度．說明：講例2和例3兩題的目的有二：一是把本節(jié)課的學(xué)問引伸，二是為下節(jié)課作好預(yù)備，這樣處理教學(xué)內(nèi)容雖然本節(jié)課的難點(diǎn)增加了，難度加大了，但下一節(jié)課的難點(diǎn)分散了，難度降低了，實(shí)踐證明這樣做可以收到較好的教學(xué)效果，便于同學(xué)理解和把握．［例6］將余弦曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再將所得圖像向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖像的一個(gè)解析式為___________________．解一：先把的圖像上全部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像；再把的圖像上全部的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像．所求的解析式為．解二：先把的圖像上的全部的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像；再把的圖像上全部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像，因此所求的解析式為.［例7］把函數(shù)的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個(gè)單位，所得到的曲線的解析式為，求的一個(gè)解析式．分析：這個(gè)問題實(shí)際上是對(duì)的圖像實(shí)施逆向變換得到的圖像．解：先把曲線上全部的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到曲線；再把曲線上全部的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）以，得到曲線．因此，所求解析式為．［例8］將正弦函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖像的解析式為_______________________．解：先把的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，再把的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像．因而所求的解析式為.［例9］為了由函數(shù)的圖像得到函數(shù)的圖像，只要將函數(shù)的圖像() （A）向左平移個(gè)單位 （B）向右平移個(gè)單位 （C）向左平移個(gè)單位 （D）向右平移個(gè)單位．解一：∵將的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；再將的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像．于是，把的圖像向左平移個(gè)單位，就得到的圖像．故選（A）解二：令得令得點(diǎn)和點(diǎn)是函數(shù)的圖像上和函數(shù)的圖像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移方向從點(diǎn)點(diǎn)，所以向左平移個(gè)單位．［例10］說明函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換就得到函數(shù)的圖像．分析：由于由的圖像變換到函數(shù)的圖像有如下兩種方法．（1）把函數(shù)的圖像上全部的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），就得到函數(shù)的圖像．（2）把函數(shù)的圖像上全部的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，就得到函數(shù)的圖像．分別作以上兩種方法的逆向變換，就可以得到由函數(shù)的圖像變換成函數(shù)的圖像的方法．解：（1）把函數(shù)的圖像上全部的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，就得到的圖像．（2）把函數(shù)的圖像上全部的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），就得到的圖像．評(píng)析：用作逆向變換的方法，可以得到由函數(shù)R的圖像及函數(shù)R的圖像變換到正弦曲線R