【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修4雙基限時練5

雙基限時練(五)單位圓與周期性一、選擇題1．下列說法不正確的是()A．只有個別的x值或只差個別的x滿足f(x＋T)＝f(x)或不滿足都不能說T是y＝f(x)的周期B．全部周期函數(shù)都存在最小正周期C．周期函數(shù)的周期不止一個，若T是周期，則kT(k∈N*)肯定也是周期D．周期函數(shù)的定義域肯定是無限集，而且定義域肯定無上界或者無下界解析A正確．只有個別的x值或只差個別的x值滿足f(x＋T)＝f(x)或不滿足都不能說T是y＝f(x)的周期，例如：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)，但是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,2)))≠sineq\f(π,3).就是說eq\f(π,2)不能對x在定域內(nèi)的每一個值都有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝sinx，因此eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．B不正確．并不是全部周期函數(shù)都存在最小正周期，例如，常數(shù)函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))x∈R，當(dāng)x為定義域內(nèi)的任何值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的每一個值x都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以f(x)沒有最小正周期．C正確．D正確．在周期函數(shù)y＝f(x)中，T是周期，若x是定義域內(nèi)的一個值，則x＋kT也肯定屬于定義域，因此周期函數(shù)的定義域肯定是無限集，而且定義域肯定無上界或者無下界．故選B.答案B2．已知f(x)為R上的周期函數(shù)，且周期T＝3，若f(1)＝1，則f(2022)的值為()A．1 B．－1C．3 D．670解析f(2022)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1.答案A3．若角α的終邊上有一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則sin(α－4π)的值為()A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析由于α的終邊上有一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝1，∴sinα＝eq\f(1,2).又sin(α－4π)＝sinα＝eq\f(1,2).答案D4．已知f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))，x∈Z，則f(x)的值域?yàn)?)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))解析∵x∈Z，當(dāng)x＝2n(n∈Z)時，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，當(dāng)x＝2n＋1時，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(4,3)π))＝－eq\f(1,2)，故f(x)的值域?yàn)閧－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)}，答案為A.答案A5．設(shè)f(x)(x∈R)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(1)＝－1，則f(11)的值是()A．－1B．1C．2D．－2解析由f(x)為奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)．又f(x)的周期為3，故f(11)＝f(3×4－1)＝f(－1)＝1.故選B.答案B6．已知f(x)在R上為奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為()A．0B．－1解析∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)為周期函數(shù)．T＝4，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0.∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.答案A7．sin2580°＝()A.－eq\f(\r(3),2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析sin2580°＝sin(7×360°＋60°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案D二、填空題8．coseq\f(9,4)π＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＝________.解析原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1＋\r(2),2).答案eq\f(1＋\r(2),2)9．若偶函數(shù)y＝f(x)是以4為周期的函數(shù)，且f(x)在區(qū)間[－6，－4]上是減函數(shù)，則f(x)在[0,2]上的單調(diào)性是__________．解析∵周期T＝4且f(x)在[－6，－4]上遞減，∴f(x)在[－2,0]上也是減函數(shù)．又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在[0,2]上為增函數(shù)．答案遞增10．滿足sinx＝eq\f(\r(3),2)的x的集合為________．答案{x|x＝2kπ＋eq\f(π,3)，或x＝2kπ＋eq\f(2,3)π，k∈Z}三、解答題11．求下列各式的值．(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,4)π))；(2)coseq\f(49,6)π＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π)).解(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).(2)原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(1＋\r(3),2).12．已知函數(shù)f(x)滿足f(1)＝2，且f(x＋1)＝－eq\f(1,fx)(f(x)≠0)對任意x∈R恒成立，求f(5)的值．解∵f(x＋1)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋2)＝－eq\f(1,fx＋1)∴f(x＋2)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．∴f(x)的周期為2.∴f(5)＝f(1)＝2.13．設(shè)f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)π＋\f(π,4)))，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)的值．解當(dāng)n＝4k(k∈Z)時，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)；當(dāng)n＝4k＋1(k∈Z)時，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)；當(dāng)n＝4k＋2(k∈Z)時，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)；當(dāng)n＝4k＋3(k∈Z)時，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(