【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版選修1-1學案：《計算導數(shù)》

第3課時計算導數(shù)1.能依據(jù)定義,求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=1x等的導數(shù)2.熟記函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=1x等的導數(shù)3.運用y=c,y=x,y=x2,y=1x等的導數(shù)公式解決問題4.熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.依據(jù)導數(shù)的概念,我們知道可以用定義法求函數(shù)f(x)=x3的導數(shù),那么是否有公式法來求它的導數(shù)呢?問題1:由導數(shù)的定義求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=1x的導數(shù)對于f(x)=x,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)對于f(x)=x2,f'(x)=limΔx→0f(x即f'(x)=(x2)'=.

對于f(x)=1x,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→問題2:(1)導函數(shù)的概念:假如一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,b)上的每一個點x處都有導數(shù),導數(shù)值記為f'(x),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx,則f'(x)是關于(2)幾個常用函數(shù)的導數(shù).原函數(shù)導函數(shù)f(x)=cf'(x)=

f(x)=xf'(x)=

f(x)=x2f'(x)=

f(x)=1f'(x)=

f(x)=xf'(x)=

問題3:基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.(1)c'=(c∈R);

(2)(xn)'=(n∈Q);

(3)(sinx)'=,(cosx)'=;

(4)(ex)'=,(ax)'=;

(5)(lnx)'=,(logax)'==1x問題4:利用導數(shù)的定義求導與導數(shù)公式求導的區(qū)分.導函數(shù)定義本身就是函數(shù)求導的最基本方法,但導函數(shù)是由定義的,所以函數(shù)求導總是要歸結為求,這在運算上很麻煩,有時甚至很困難,但是用導函數(shù)定義推導出常見函數(shù)與基本初等函數(shù)公式后,求函數(shù)的導函數(shù)就可以用公式直接求導了,簡潔快速.

1.下列結論不正確的是().A.若y=0,則y'=0 B.若y=5x,則y'=5C.若y=x-1,則y'=-x-2 D.若y=x12,則2.若函數(shù)f(x)=x,則f'(1)等于().A.0 B.-12 C.1 D.3.若y=x表示路程關于時間的函數(shù),則y'=1可以解釋為.

4.求曲線y=x4在點P(2,16)處的切線方程.直接用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)(1)求下列函數(shù)的導數(shù):①y=x12;②y=1x4;③y=(2)設f(x)=10x,則f'(1)=.

導數(shù)的綜合應用若曲線y=x-12在點(a,a-12)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為18,則aA.64 B.32 C.16 D.8f'(a)和[f(a)]'含義要搞清已知f(x)=sinx,求f'(a)和[f(a)]'.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=x13;(2)y=1x3;(3)y=(4)y=log3x;(5)y=sinx;(6)y=15求證:在雙曲線xy=a2(a≠0)上任何一點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為常數(shù)(如圖).(1)若函數(shù)f(x)=x3,則[f(2)]'等于().A.8 B.12 C.1 D.0(2)已知f(x)=x2+3xf'(2),則f'(2)=.

1.已知f(x)=xα,若f'(-1)=-2,則α的值等于().A.2 B.-2 C.3 D.-32.曲線y=x2在點P處的切線斜率為k,當k=2時P點坐標為().A.(-2,-8) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(-12,-13.曲線y=4x3在點Q(16,8)處的切線的斜率是4.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=log4x3-log4x2;(2)y=2x2+1x(3)y=-2sinx2(2sin2x4-1(2022年·遼寧卷)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點,點P,Q的橫坐標分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標為().A.1 B.3 C.-4 D.-8考題變式(我來改編):第3課時計算導數(shù)學問體系梳理問題1:limΔx→0(x問題2:(2)012x-1x2問題3:(1)0(2)nxn-1(3)cosx-sinx(4)exax·lna(5)1x1x·log問題4:極限極限基礎學習溝通1.D當y=x12時,y'=(x12)'=12x-2.Df'(x)=(x)'=12x,所以f'(1)=12×1=3.某物體作瞬時速度為1的勻速運動由導數(shù)的物理意義可知:y'=1可以表示某物體作瞬時速度為1的勻速運動.4.解:點P(2,16)在曲線上,k=f'(2)=32,切線方程為y-16=32(x-2),即32x-y-48=0.重點難點探究探究一:【解析】(1)①y'=(x12)'=12x11;②y'=(1x4)'=(x-4)'=-4x-5=-③y'=(5x3)'=(x35)'=(2)∵f(x)=10x,∴f'(x)=10xln10,∴f'(1)=10ln10.【答案】(2)10ln10【小結】依據(jù)導數(shù)的定義可以得出一些常見函數(shù)的導數(shù)公式,熟記基本初等函數(shù)的求導公式可以快速解題.探究二:【解析】y'=-12x-32,∴k=-12a-32令x=0得y=32a-12,令y=0∴三角形的面積是S=12×3a×32a-12=18,【答案】A【小結】利用導數(shù)求切線方程時,明確函數(shù)在x=x0的導數(shù)就是切線的斜率.探究三:【解析】f'(a)=[f(a)]'=f'(x)

[問題]f'(a)與[f(a)]'的含義相同嗎?[結論]f'(a)與[f(a)]'的含義不同.上面的解法是將f'(a)與[f(a)]'混為一談.于是,正確解答為:由于f'(x)=(sinx)'=cosx,而f'(a)表示導數(shù)f'(x)在x=a處的值,故f'(a)=cosa;[f(a)]'表示函數(shù)f(x)在x=a時的函數(shù)值f(a)=sina(常數(shù))的導數(shù),因此[f(a)]'=0.【小結】學好數(shù)學只需要六個字:“理解、記憶、運算”,熟記基本初等函數(shù)的求導公式是正確解題的前提.思維拓展應用應用一:(1)y'=(x13)'=13x13-1=13x12.(2)y'=(1x3)'=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-(3)y'=(4x)'=(x14)'=1(4)y'=(log3x)'=1x·log3e=1(5)y'=(sinx)'=cosx.(6)y'=(15x2)=(x-25應用二:由于xy=a2,所以y=a2x,所以y'=(a2x函數(shù)y=a2x在圖像上的任一點(x0,y0)處的切線斜率k=-a2x02所以切線方程是y-y0=k(x-x0),即y-a2x0=-a2令x=0,得y=2a令y=0,得x=2x0,所以S=12|x|·|y|=12|2a2x0|·|2x0|=即在雙曲線xy=a2(a≠0)上任何一點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為常數(shù)2a2.應用三:(1)D(2)-2(1)由于f(2)是常數(shù),所以[f(2)]'=0.留意區(qū)分[f(2)]'與f'(2).(2)由題意,得f'(x)=2x+3f'(2),∴f'(2)=2×2+3f'(2),∴f'(2)=-2.基礎智能檢測1.Af'(x)=α·xα-1,∴f'(-1)=α·(-1)α-1=-2,代入驗證得α=2.2.C設點P的坐標為(x0,y0),∵y=x2,∴y'=2x.∴k=y'|x=x0=2x∴x0=1,∴y0=x02=1,即P(1,1),故應選3.38∵y=x34,∴y'=34x-14.解:(1)∵y=log4x3-log4x2=log4x,∴y'=(log4x)'=1x(2)∵y=2x2+1x-2x=∴y'=(1x)'=-1(3)∵y=-2sinx2(2sin2x4-