【創(chuàng)新設計】2022屆-數(shù)學一輪(文科)-北師大版-課時作業(yè)-第八章-立體幾何-2-

第2講空間圖形的基本關系與公理基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c ()A．肯定平行B．肯定相交C．肯定是異面直線D．平行、相交、是異面直線都有可能解析當a，b，c共面時，a∥c；當a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交．答案D2．(2022·江西六校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面，選D.答案D3．在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是 ()A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直解析如圖所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．答案A4．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面解析當l1⊥l2，l2⊥l3時，l1與l3也可能相交或異面或平行，故A不正確；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正確；當l1∥l2∥l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側棱，故C不正確；l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點動身的三條棱，故D不正確．答案B5．(2022·深圳調研)兩條異面直線在同一個平面上的正投影不行能是 ()A．兩條相交直線 B．兩條平行直線C．兩個點 D．一條直線和直線外一點解析如圖，在正方體ABCD－EFGH中，M，N分別為BF，DH的中點，連接MN，DE，CF，EG.當異面直線為EG，MN所在直線時，它們在底面ABCD內的射影為兩條相交直線；當異面直線為DE，GF所在直線時，它們在底面ABCD內的射影分別為AD，BC，是兩條平行直線；當異面直線為DE，BF所在直線時，它們在底面ABCD內的射影分別為AD和點B，是一條直線和一個點，故選C.答案C二、填空題6．平面α，β相交，在α，β內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．解析若過四點中任意兩點的連線與另外兩點的連線相交或平行，則確定一個平面；否則確定四個平面．答案1或47．假如兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對．解析如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，由于各棱具有不同的位置，且正方體共有12條棱，排解兩棱的重復計算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24(對)．答案248.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論為________．解析A，M，C1三點共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，①②錯，④正確；M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，因此直線BN與MB1是異面直線，③正確．答案③④三、解答題9.如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解由BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA中點知，BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．10．如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．(1)求四棱錐O－ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大?。?1)由已知可求得，正方形ABCD的面積S＝4，所以，四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE，則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知，可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，∵(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(5))2，∴△DEM為直角三角形，∴tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).∴異面直線OC與MD所成角的正切值為eq\f(\r(6),3).力量提升題組(建議用時：25分鐘)11．四棱錐P－ABCD的全部側棱長都為eq\r(5)，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為 ()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)解析由于四邊形ABCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5)，故選B.答案B12.(2021·長春一模)一個正方體的開放圖如圖所示，A，B，C，D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中 ()A．AB∥CDB．AB與CD相交C．AB⊥CDD．AB與CD所成的角為60°解析如圖，把開放圖中的各正方形按圖1所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖2所示的直觀圖，可見選項A，B，C不正確．圖2中，BE∥CD，∠ABE為AB與CD所成的角，△ABE為等邊三角形，∴∠ABE＝60°，∴正確選項為D.答案D13．在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上全部正確答案的序號)．解析圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中GH與MN異面．答案②④14．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明(1)連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是A