兩角和與差的正切公式

兩角和與差的正切公式正切是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要函數(shù)，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），那么該點(diǎn)與x軸的夾角θ所對(duì)應(yīng)的正切值就是tanθ=y/x。正切函數(shù)是有很多性質(zhì)的，其中較為重要且經(jīng)常使用的就是兩角和與差的正切公式。一、兩角和與差的正切公式1.兩角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)其中α和β是任意兩個(gè)角，不一定是直角。同樣的，我們可以將上式變形為：tan(α+β)=(sinα/cosα+sinβ/cosβ)/(1-sinαsinβ/cosαcosβ)通過(guò)通分化簡(jiǎn)得到=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ2.兩角差公式tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)同樣的，我們可以將上式變形為：tan(α-β)=(sinα/cosα-sinβ/cosβ)/(1+sinαsinβ/cosαcosβ)通過(guò)通分化簡(jiǎn)得到=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)=tanα-tanβ/1+tanαtanβ二、兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過(guò)程下面我們來(lái)推導(dǎo)兩角和公式1.兩角和的三角函數(shù)解釋在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為原點(diǎn)，OA(x,y)與x軸的夾角為α，OB(x1,y1)與x軸的夾角為β，OC(x2,y2)與x軸的夾角為α+β，如下圖所示。可知：tanα=y/xtanβ=y1/x1因?yàn)镺C=OA+OB，所以x2=x+x1y2=y+y1tan(α+β)=y2/x2即tan(α+β)=(y+y1)/(x+x1)2.兩角和公式的三角函數(shù)解釋通過(guò)兩角和公式的定義，將其中的分子分母通分，得到tan(α+β)=(y+y1)/(x+x1)=(y/x+y1/x1)/(1+(y/x)(y1/x1))將tanα和tanβ代入上式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)由此可得到兩角和公式3.兩角差公式的推導(dǎo)同樣，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為原點(diǎn)，OA(x,y)與x軸的夾角為α，OB(x1,y1)與x軸的夾角為β，OC(x2,y2)與x軸的夾角為α-β，如下圖所示。可知：tanα=y/xtanβ=y1/x1因?yàn)镺C=OA-OB，所以x2=x-x1y2=y-y1tan(α-β)=y2/x2即tan(α-β)=(y-y1)/(x-x1)將tanα和tanβ代入上式，然后通分，可得到tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)由此可得到兩角差公式三、兩角和與差的正切公式的應(yīng)用當(dāng)我們需要求出兩個(gè)角的正切值時(shí)，可以通過(guò)兩角和公式和兩角差公式來(lái)求解。例如，求出tan75°的值。①將75°拆分為45°+30°②所以可得到tan75°=tan(45°+30°)=(tan45°+tan30°)/(1-tan45°tan30°)將tan45°=1，tan30°=1/√3代入上式可得tan75°=(1+1/√3)/(1-1/√3)將分式通分化簡(jiǎn)，得tan75°=(2√3+3)/(√3-1)③將式子化簡(jiǎn)，可得tan75°=2+√3同樣，當(dāng)我們需要求出兩個(gè)角的正切值的差時(shí)，也可以通過(guò)兩角差公式來(lái)求解。例如，求出tan75°的值減去tan15°的值。①將75°拆分為45°+30°，15°拆分為45°-30°②所以可得到tan75°-tan15°=tan(45°+30°)-tan(45°-30°)=(tan45°+tan30°)/(1-tan45°tan30°)-(tan45°-tan30°)/(1+tan45°tan30°)③將tan45°=1，tan30°=1/√3代入上式可得tan75°-tan15°=(1+1/√3)/(1-1/√3)-(1-