三角形內(nèi)角和180度的證明方法

三角形內(nèi)角和180度的證明方法一、引入三角形是平面幾何中的基本概念，也是我們初步接觸幾何時(shí)會(huì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。三角形有很多重要的性質(zhì)，其中最基本的就是三角形的內(nèi)角和等于180度。在學(xué)習(xí)三角形性質(zhì)時(shí)，我們需要明確三角形內(nèi)角和等于180度的證明方法，本文將詳細(xì)介紹這一證明方法。二、證明方法證明三角形內(nèi)角和等于180度的方法有很多，這里我們介紹其中一種簡(jiǎn)單易懂的方法——三角形面積法。三角形的面積可用以下公式表示：S=1/2×底×高其中，底表示三角形的底邊，高表示與底邊垂直的線段，底和高的長(zhǎng)度單位必須相同，面積的單位則是這兩者的乘積的一半。對(duì)于任意一個(gè)三角形ABC，設(shè)它的三邊分別為AB、AC和BC，三個(gè)內(nèi)角分別為∠A、∠B和∠C，高分別為hB和hC，如下圖所示：我們可以將三角形ABC分成下面的兩個(gè)三角形ABH和ACH，其面積分別為：SABH=1/2×AB×hBSACH=1/2×AC×hC將它們相加起來(lái)，得到整個(gè)三角形ABC的面積：SABC=SABH+SACH我們?cè)僖粤硗庖环N方式表達(dá)三角形ABC的面積，如下：SABC=1/2×BC×h'h'是從A點(diǎn)到BC的延長(zhǎng)線上的垂線長(zhǎng)度。將以上兩個(gè)式子合并，得到：1/2×AB×hB+1/2×AC×hC=1/2×BC×h'進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到：AB×hB+AC×hC=BC×h'我們現(xiàn)在考慮一個(gè)擴(kuò)展的三角形ABD，如下圖所示：我們將三角形ABC的高分別從B和C向豎直方向移動(dòng)，直到它們的交點(diǎn)D重合，即為下圖的紅點(diǎn)。在這個(gè)過程中，有如下幾點(diǎn)值得注意：1.∠ABC和∠ACD之和等于180度，因?yàn)樗鼈冊(cè)谕恢本€上；2.∠ABD等于∠ABC，是由于兩個(gè)角的對(duì)邊相等；3.∠ACD等于∠BAC，是由于這兩個(gè)角都是直角三角形ACD內(nèi)的相鄰角；4.hB和hC仍然與底邊平行，因此h'也與底邊平行，并等于它們的平均值。基于以上這些點(diǎn)，我們可以得出如下的等式：AB×hB+AC×hC=AD×BC根據(jù)三角形的面積公式，可以得到：1/2×AB×hB+1/2×AC×hC+1/2×AD×h'=SABC=1/2×BC×h'將上式中的左邊兩項(xiàng)化為一個(gè)通分的形式，得到：1/2×AB×h'+1/2×AC×h'+1/2×AD×h'=1/2×BC×h'化簡(jiǎn)得到：1/2×(AB+AC+AD)×h'=1/2×BC×h'去掉左右兩邊的1/2得到：(AB+AC+AD)×h'=BC×h'因此：AB+AC+AD=BC也就是說(shuō)，由任意三角形ABC，如果我們將一條高分別從其兩個(gè)頂點(diǎn)下垂到底邊上，并將這條高的交點(diǎn)與底邊外的一點(diǎn)相連，得到的三角形面積等于原始三角形面積，且這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度等于原始三角形另兩條邊的長(zhǎng)度之和。這是三角形內(nèi)角和等于180度的證明。三、總結(jié)在本文中，我們介紹了三角形內(nèi)角和等于180度的證明方法之一——三角形面積法。這個(gè)方法基于高的概念，利