【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-攻略五-選擇題與填空題題型分析

攻略五選擇題與填空題題型分析高考數(shù)學(xué)選擇題主要考查考生對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的理解程度、基本技能的嫻熟程度以及基本運(yùn)算的精確?????程度等方面，留意多個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)的小型綜合，滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法，能充分考查考生氣敏應(yīng)用基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的力量．選擇題屬于“小靈通”題，其解題過(guò)程“不講道理”，其基本解答策略是：充分利用題干和選項(xiàng)所供應(yīng)的信息作出推斷．先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排解后求解．解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題、深化分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏．填空題是高考題中的客觀性試題，不要求書(shū)寫(xiě)推理或演算的過(guò)程，只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，具有小巧機(jī)敏、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、運(yùn)算量不大等特點(diǎn)．因而求解選擇題的有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題．依據(jù)填空時(shí)所填寫(xiě)的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類(lèi)型：(1)定量型，要求考生填寫(xiě)數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長(zhǎng)度、角度大小等．填空題和選擇題相比，缺少選項(xiàng)的信息，所以高考題多以定量型問(wèn)題消滅．(2)定性型，要求填寫(xiě)的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫(xiě)給定數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如填寫(xiě)給定二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等，近幾年又消滅了定性型的具有多重選擇性的填空題．縱觀近幾年的高考題，無(wú)論是全國(guó)卷還是省市自主命題卷，選擇題是高考試題的三大題型之一．除上海卷與江蘇卷外，其他高考卷中選擇題的個(gè)數(shù)均在8～12之間，約占總分的27%～40%.該題型的基本特點(diǎn)是：絕大部分選擇題屬于低中檔題，且一般按由易到難的挨次排列，主要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法能通過(guò)它得到充分地體現(xiàn)和應(yīng)用，選擇題具有概括性強(qiáng)、學(xué)問(wèn)掩蓋面廣、小巧機(jī)敏及有肯定的綜合性和深度等特點(diǎn)，且每一題幾乎都有兩種或兩種以上的解法．正是由于選擇題具有上述特點(diǎn)，所以該題型能有效地檢測(cè)同學(xué)的思維層次及考查同學(xué)的觀看、分析、推斷、推理、基本運(yùn)算、信息遷移等力量．選擇題也在嘗試創(chuàng)新，在“形成適當(dāng)梯度”“用學(xué)過(guò)的學(xué)問(wèn)解決沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題”“活用方法和應(yīng)變力量”“學(xué)問(wèn)的交匯”等四個(gè)維度上不斷消滅新穎題，這些新穎題成為高考試卷中一道亮麗的風(fēng)景線．1．直接法與定義法直接從題設(shè)條件動(dòng)身，利用定義、定理、性質(zhì)、公式等學(xué)問(wèn)，通過(guò)變形、推理、運(yùn)算等過(guò)程，直接得到結(jié)果，即“小題大做”，選擇正確答案，這種解法叫直接法．直接法是選擇題最基本的方法，絕大多數(shù)選擇題都適宜用直接法解決．它的一般步驟是：計(jì)算推理、分析比較、對(duì)比選擇．直接法又分定性分析法、定量分析法和定性、定量綜合分析法．【例1】(2022·北京東城區(qū)調(diào)研)已知拋物線C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M，若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)(2)(2022·山東濟(jì)南一模)在△ABC中，若eq\f(sinC,sinA)＝3，b2－a2＝eq\f(5,2)ac，則cosB的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,4)【解析】(1)由題可知拋物線x2＝2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，過(guò)兩條曲線的焦點(diǎn)的直線方程為y＝－eq\f(p,4)(x－2)．∵過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)(x0>0，y0>0)的切線方程的斜率k＝y(tǒng)′＝eq\f(1,p)x0>0，∴只能和漸近線y＝eq\f(\r(3),3)x平行，∴eq\f(1,p)x0＝eq\f(\r(3),3)，∴x0＝eq\f(\r(3),3)p.∵xeq\o\al(2,0)＝2py0，∴y0＝eq\f(p,6).又M點(diǎn)在y＝－eq\f(p,4)(x－2)上，故eq\f(p,6)＝－eq\f(p,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)p－2))，∴p＝eq\f(4\r(3),3)，故選D.(2)由題知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2)ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq\f(9－\f(15,2),6)＝eq\f(1,4).【答案】(1)D(2)D2．特例法與排解法用符合條件的特例，來(lái)檢驗(yàn)各選擇項(xiàng)，排解錯(cuò)誤的，留下正確的一種方法叫特例法(特值法)，常用的特例有特殊數(shù)值、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖形等．排解法就是依據(jù)高考數(shù)學(xué)選擇題中有且只有一個(gè)答案是正確的這一特點(diǎn)，在解題時(shí)，結(jié)合估算、特例、規(guī)律分析等手段先排解一些確定是錯(cuò)誤的選項(xiàng)，從而縮小選擇范圍確保答案的精確?????性，并提高答題速度．【例2】(1)已知P、Q是橢圓3x2＋5y2＝1上滿足∠POQ＝90°的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)等于()A．34B．8C.eq\f(8,15)D.eq\f(34,225)(2)(2022·山東高考)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定義域?yàn)?)A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【解析】(1)橢圓為eq\f(x2,\f(1,3))＋eq\f(y2,\f(1,5))＝1，取兩特殊點(diǎn)P(eq\f(\r(3),3)，0)，Q(0，eq\f(\r(5),5))，則eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)＝3＋5＝8.(2)當(dāng)x＝2時(shí)，logeq\o\al(2,2)＝1，答案B，D不合題意；當(dāng)x＝1時(shí)，logeq\o\al(1,2)＝0，此時(shí)分母沒(méi)有意義，A不合題意，故選C.【答案】(1)B(2)C3．?dāng)?shù)形結(jié)合法依據(jù)題設(shè)條件作出所爭(zhēng)辯問(wèn)題的曲線或有關(guān)圖形或草圖，借助幾何圖形的直觀性、外形、位置、性質(zhì)等圖象特征作出正確的推斷，得出結(jié)論．這種方法通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”，使抽象問(wèn)題直觀化、簡(jiǎn)單問(wèn)題簡(jiǎn)潔化．【例3】(2022·山東濰坊一模)(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”：a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，a，a－b<1.))設(shè)f(x)＝(x2－1)?(4＋x)，若函數(shù)y＝f(x)＋k的圖象與x軸恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．(－2,1)B．[0,1]C．[－2,0]D．[－2,1)(2)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8，))則lg(y＋1)－lgx的取值范圍是()A．[0,1－2lg2]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，lg2))D．[－lg2,1－2lg2]【解析】(1)當(dāng)x2－1≥4＋x＋1，即x≤－2或x≥3時(shí)，f(x)＝4＋x，當(dāng)x2－1<4＋x＋1，即－2<x<3時(shí)，f(x)＝x2－1，如圖所示，作出f(x)的圖象，由圖象可知，要使－k＝f(x)有三個(gè)根，需滿足－1<k≤2，即－2≤k<1.故選D.(2)如圖，作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8))確定的可行域，由于lg(y＋1)－lgx＝lgeq\f(y＋1,x)，設(shè)t＝eq\f(y＋1,x)，明顯，t的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)E(0，－1)連線的斜率．由圖可知，P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，t取得最小值，P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，t取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，2x＋y＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，y＝2))即B(3,2)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，2x＋y＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝4，))即C(2,4)，故t的最小值為kBC＝eq\f(2－－1,3)＝1，t的最大值為kCE＝eq\f(4－－1,2)＝eq\f(5,2)，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))).又函數(shù)y＝lgx為(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以lgt∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，lg\f(5,2)))，即lg(y＋1)－lgx的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，lg\f(5,2))).而lgeq\f(5,2)＝1－2lg2，所以lg(y＋1)－lgx的取值范圍為[0,1－2lg2]．故選A【答案】A4．估算法由于選擇題供應(yīng)了唯一正確的選擇項(xiàng)，解答又無(wú)需過(guò)程．因此，有些題目，不必進(jìn)行精確?????的計(jì)算，只需對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓懒浚隳茏鞒稣_的推斷，這就是估算法．估算法的關(guān)鍵是確定結(jié)果所在的大致范圍，否則“估算”就沒(méi)有意義，估算法往往可以削減運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了思維的層次．【例4】(1)已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)(eq\f(π,2)<θ<π)，則taneq\f(θ,2)＝()A.eq\f(m－3,9－m)B．|eq\f(m－3,9－m)|C.eq\f(1,3)D．5(2)若D為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，y≥0，y－x≤2))表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x＋y＝a掃過(guò)D中的那部分區(qū)域的面積為()A.eq\f(3,4)B．1C.eq\f(7,4)D．2【解析】(1)由于cos2θ＋sin2θ＝1，則m肯定為確定的值，因此sinθ，cosθ的值與m無(wú)關(guān)，從而taneq\f(θ,2)也與m無(wú)關(guān)，A，B排解．我們可估算taneq\f(θ,2)的大致取值范圍來(lái)排解不正確的答案，eq\f(π,2)<θ<π，eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，所以taneq\f(θ,2)>1，故選D.(2)如圖知所求區(qū)域的面積是△OAB的面積減去Rt△CDB的面積，所求面積比1大，比S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2小，故選C.【答案】(1)D(2)C填空題的解法填空題是高考三大題型之一，主要考查基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本方法以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的力量，試題多數(shù)是教材例題、習(xí)題的改編或綜合，體現(xiàn)了對(duì)通性通法的考查．該題型的基本特點(diǎn)是：(1)具有考查目標(biāo)集中、跨度大、學(xué)問(wèn)掩蓋面廣、形式機(jī)敏、答案簡(jiǎn)短、明確、具體，不需要寫(xiě)出求解過(guò)程而只需要寫(xiě)出結(jié)論等特點(diǎn)；(2)填空題與選擇題有質(zhì)的區(qū)分：①填空題沒(méi)有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)不受誘誤干擾，但同時(shí)也缺乏提示；②填空題的結(jié)構(gòu)往往是在正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方式比較機(jī)敏．1．直接法與定義法數(shù)學(xué)中的填空題，絕大多數(shù)都能直接利用有關(guān)定義、性質(zhì)、定理、公式和一些規(guī)律性的結(jié)論，經(jīng)過(guò)變形、計(jì)算得出結(jié)論．使用直接法和定義法解填空題，要擅長(zhǎng)透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì)，自覺(jué)地、有意識(shí)地實(shí)行機(jī)敏、簡(jiǎn)捷的變換．解題時(shí)，對(duì)概念要有合理的分析和推斷；計(jì)算時(shí)，要求推理、運(yùn)算的每一步驟都應(yīng)正確無(wú)誤，還要求將答案書(shū)寫(xiě)精確?????、完整．少算多思是快速精確?????地解答填空題的基本要求．【例5】(1)(2022·安徽高考)若將函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則φ的最小正值是________．(2)(理)(2022·山東濟(jì)南一模)航天員擬在太空授課，預(yù)備進(jìn)行標(biāo)號(hào)為0,1,2,3,4,5的六項(xiàng)試驗(yàn)，向全世界人民普及太空學(xué)問(wèn)，其中0號(hào)試驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，最終一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)小于它前面相鄰一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)挨次的編排方法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．(文)(2022·山東濟(jì)南一模)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為_(kāi)_______．【解析】(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))eq\o(→,\s\up7(右平移φ))g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)－2φ))，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則eq\f(π,4)－2φ＝kπ＋eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(k,2)π－eq\f(π,8)(k∈Z)，明顯，k＝－1時(shí)，φ最小正值＝eq\f(π,2)－eq\f(π,8)＝eq\f(3π,8).(2)當(dāng)?shù)谖屙?xiàng)是5時(shí)，有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種結(jié)果；當(dāng)?shù)谖屙?xiàng)是4時(shí)，末位為0時(shí)有Aeq\o\al(4,4)種結(jié)果，末位不為0時(shí)有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種結(jié)果；當(dāng)?shù)谖屙?xiàng)是3時(shí)，末位為0時(shí)有Aeq\o\al(4,4)種結(jié)果，末位不為0時(shí)有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種結(jié)果；當(dāng)?shù)谖屙?xiàng)是2時(shí)，末位為0時(shí)有Aeq\o\al(4,4)種結(jié)果，末位不為0時(shí)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種結(jié)果；當(dāng)?shù)谖屙?xiàng)是1時(shí)，有Aeq\o\al(4,4)種結(jié)果，所以一共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝300(種)編排方法．(文)設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則此點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)運(yùn)動(dòng)的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).【答案】(1)eq\f(3π,8)(2)(理)300(文)eq\f(1,6)2．特殊化法當(dāng)題目中示意答案是一個(gè)“定值”時(shí)，就可以取一個(gè)特殊數(shù)值、特殊位置、特殊圖形、特殊關(guān)系、特殊數(shù)列或特殊函數(shù)值來(lái)將字母具體化，把一般形式變?yōu)樘厥庑问剑?dāng)題目的條件是從一般性的角度給出時(shí)，特例法尤其有效．【例6】(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝________.(2)(2021·山東高考)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.【解析】(1)令a＝3，b＝4，c＝5，則△ABC為直角三角形，且cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝0，代入所求式子，得eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(\f(4,5)＋0,1＋\f(4,5)×0)＝eq\f(4,5).(2)取三棱錐P－ABC是正三棱錐，且令PA＝PB＝PC＝1，PA、PB、PC面面垂直．如圖所示，此時(shí)V1＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，V2＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,6).∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).【答案】(1)eq\f(4,5)(2)eq\f(1,4)3．?dāng)?shù)形結(jié)合法依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對(duì)應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解填空題，稱(chēng)為數(shù)形結(jié)合型填空題，這類(lèi)問(wèn)題的幾何意義一般較為明顯．由于填空題不要求寫(xiě)出解答過(guò)程，因而有些問(wèn)題可以借助于圖形，然后參照?qǐng)D形的外形、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，進(jìn)行直觀的分析，加上簡(jiǎn)潔的運(yùn)算，便可得出正確的答案．【例7】(1)曲線方程|x2－1|＝x＋k的實(shí)根隨k的變化而變化，那么方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)最多為_(kāi)_______；(2)若方程eq\r(2x－x2)＝kx－2k＋2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______．【解析】(1)如圖所示，參數(shù)k是直線y＝x＋k在y軸上的截距，通過(guò)觀看直線y＝x＋k與y＝|x2－1|的公共點(diǎn)的變化狀況，并通過(guò)計(jì)算可知，當(dāng)k<－1時(shí)，曲線方程有0個(gè)實(shí)根；當(dāng)k＝－1時(shí)，有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)－1<k<1時(shí)，有2個(gè)實(shí)根；當(dāng)k＝1時(shí)，有3個(gè)實(shí)根；當(dāng)1<k<eq\f(5,4)時(shí)，有4個(gè)實(shí)根；當(dāng)k＝eq\f(5,4)時(shí)，有3個(gè)實(shí)根；當(dāng)k>eq\f(5,4)時(shí)，有2個(gè)實(shí)根．綜上所述，可知實(shí)根的個(gè)數(shù)最多為4.(2)方程eq\r(2x－x2)＝kx－2k＋2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，就是y＝eq\r(2x－x2)與y＝kx－2k＋2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．由y＝eq\r(2x－x2)得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，所以曲線y＝eq\r(2x－x2)是以(1,0)為圓心，以1為半徑的位于x軸上方的半圓．由y＝kx－2k＋