備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第九章-§9-2-兩條直線的位置關(guān)系

§9.2兩條直線的

位置關(guān)系第九章平面解析幾何1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo).3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.兩條直線的位置關(guān)系平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括

三種情況.(1)兩條直線平行對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).(2)兩條直線垂直對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?____________________.平行、相交、重合A1A2＋B1B2＝02.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②結(jié)論：|P1P2|＝____________________.③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝________.(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝______________.(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝_________.1.直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2.五種常用對稱關(guān)系(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y).(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y).(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x).(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y).(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y).判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.(

)(4)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于

，且線段AB的中點在直線l上.(

)××√√1.點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為√2.若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于A.4 B.－4 C.1 D.－1√因為直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，3.直線x－2y－3＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為______________.即x＋2y－3＝0.x＋2y－3＝0探究核心題型第二部分例1

(1)(2023·合肥質(zhì)檢)若l1：3x－my－1＝0與l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是兩條不同的直線，則“m＝1”是“l(fā)1∥l2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√題型一兩條直線的平行與垂直若l1∥l2，則3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而當(dāng)m＝－3時，l1，l2重合，故舍去，則“m＝1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件.(2)(2022·桂林模擬)已知直線l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值是A.0或－1 B.－1或1C.－1 D.1√由題意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，經(jīng)驗證，符合題意.判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況.(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·襄陽模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是A.相交但不垂直

B.垂直C.平行

D.重合√所以兩條直線垂直.(2)已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m＝________；若l1∥l2，則m＝______.因為l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，則m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，3或－2題型二兩直線的交點與距離問題例2

(1)兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為√依題意知直線2x－y＋3＝0與直線ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以兩直線分別為2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，(2)(2023·哈爾濱模擬)已知直線l經(jīng)過點P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，則直線l的方程為_______________.y＝1x＝3或當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，此時l與直線l1，l2的交點分別為A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－3)，且設(shè)直線l與直線l1和l2的交點分別為A，B.由|AB|＝5，解得k＝0，即所求直線l的方程為y＝1.綜上所述，所求直線l的方程為x＝3或y＝1.利用距離公式應(yīng)注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)經(jīng)過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0√所以直線l1與l2的交點為(－1,1)，設(shè)與直線3x＋2y＋7＝0平行的直線為3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直線方程為3x＋2y＋1＝0.(2)若點(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為A.3 B.4 C.2 D.6√由(m－1)2＋n2的幾何意義為點(m，n)到點(1,0)距離的平方，得其最小值為點(1,0)到直線l：3x＋4y－13＝0的距離的平方，對稱問題例3

直線3x－2y＝0關(guān)于點

對稱的直線方程為A.2x－3y＝0 B.3x－2y－2＝0C.x－y＝0 D.2x－3y－2＝0√題型三命題點1

點關(guān)于點的對稱問題方法一設(shè)所求直線上任一點為(x，y)，所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.方法二在直線3x－2y＝0上任取兩點O(0,0)，M(2,3)，即3x－2y－2＝0.命題點2

點關(guān)于直線的對稱問題例4

(2022·太原模擬)已知兩點A(－4,8)，B(2,4)，點C在直線y＝x＋1上，則|AC|＋|BC|的最小值為√依題意，設(shè)B(2,4)關(guān)于直線y＝x＋1對稱的點為B′(m，n)，∴B′(3,3)，連接AB′交直線y＝x＋1于點C′，連接BC′，如圖，在直線y＝x＋1上任取點C，連接AC，BC，B′C，顯然，直線y＝x＋1垂直平分線段BB′，則有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，當(dāng)且僅當(dāng)點C與C′重合時取等號，命題點3

直線關(guān)于直線的對稱問題例5

兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關(guān)于l2對稱的直線方程為A.3x－2y－4＝0

B.2x＋3y－6＝0C.2x－3y－4＝0 D.3x－2y－6＝0√設(shè)所求直線上任一點M(x，y)，M關(guān)于直線x－y－2＝0的對稱點為M′(x1，y1)，∵點M′在直線3x－2y－6＝0上，∴將(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化簡得2x－3y－4＝0，即為l1關(guān)于l2對稱的直線方程.對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.(2)中心對稱問題可以利用中點坐標(biāo)公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上.(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l對稱的直線m′的方程；設(shè)直線m與直線l的交點為N，又m′經(jīng)過點N(4,3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程.方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，解得C＝－9，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.∴由點到直線的距離公式，課時精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.已知直線l1經(jīng)過點A(2，a－1)，B(a,4)，且與直線l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于A.－2 B.2 C.－1 D.1√123456789101112131415162.若直線ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，垂足為(1，b)，則a＋b＋c等于A.－6 B.4 C.－10 D.－4√12345678910111213141516因為ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10，故a＋b＋c＝－4.3.(2023·漳州質(zhì)檢)已知a2－3a＋2＝0，則直線l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直線l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置關(guān)系為A.垂直或平行

B.垂直或相交C.平行或相交

D.垂直或重合√12345678910111213141516因為a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝

，k2＝2，所以k1·k2＝－1，則兩直線垂直；當(dāng)a＝2時，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，則兩直線重合.123456789101112131415164.設(shè)直線l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，則下列說法正確的是A.直線l1或l2可以表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條直線B.l1與l2至多有無窮多個交點C.l1∥l2的充要條件是p＝kD.記l1與l2的交點為M，則y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示過點M的所有

直線√12345678910111213141516對于A，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x＝m(m為直線與x軸交點的橫坐標(biāo))，此時直線l1或l2的方程無法表示，故A錯誤；對于B，當(dāng)p＝k且q＝b時，兩直線重合，此時兩直線有無窮多個交點，故B正確；對于C，當(dāng)p＝k且q≠b時，l1∥l2，故C錯誤；對于D，記l1與l2的交點為M，則M的坐標(biāo)滿足l1：y＝px＋q且滿足l2：y＝kx＋b，則y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示過點M的直線l2，故D錯誤.5.在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于12345678910111213141516√12345678910111213141516因為菱形四條邊都相等，所以每條邊上的高也相等，且菱形對邊平行，12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知直線l過點P(1,2)，且點A(2,3)，B(4，－5)到直線l的距離相等，則l的方程為A.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0B.x＋4y－6＝0或2x＋3y－7＝0C.x＋4y－6＝0或3x＋2y－7＝0D.4x＋y－6＝0或2x＋3y－7＝0√12345678910111213141516由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點，所以直線l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當(dāng)直線l經(jīng)過線段AB的中點(3，－1)時，即3x＋2y－7＝0.123456789101112131415168.設(shè)直線l1：x－2y＋1＝0與直線l2：mx＋y＋3＝0的交點為A，P，Q分別為l1，l2上任意一點，M為PQ的中點，若|AM|＝

|PQ|，則m的值為A.2 B.－2 C.3 D.－3√根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示.直線l1：x－2y＋1＝0與直線l2：mx＋y＋3＝0的交點為A，M為PQ的中點，則1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.9.過直線3x－y＋5＝0與2x－y＋6＝0的交點，且垂直于直線x－2y＋1＝0的直線方程是______________.12345678910111213141516故過點(1,8)且垂直于直線x－2y＋1＝0的直線方程為y－8＝－2(x－1)，即2x＋y－10＝0.2x＋y－10＝01234567891011121314151610.已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為______；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為______.已知直線l1：2x＋y＋1＝0和l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則2＋a＝0，解得a＝－2；－2此時直線l2：2x＋y＋6＝0，顯然兩直線不重合，1234567891011121314151611.(2022·岳陽模擬)點P(2,7)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點的坐標(biāo)為____________.(－8，－3)12345678910111213141516設(shè)點P(2,7)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點為A(a，b),所以點P(2,7)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點的坐標(biāo)為(－8，－3).1234567891011121314151612.已知兩直線l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直線l3：ax＋2y－6＝0與l1，l2不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)a＝_____________.12345678910111213141516由題意可得，①當(dāng)l3∥l1時，不能構(gòu)成三角形，此時a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；②當(dāng)l3∥l2時，不能構(gòu)成三角形，③當(dāng)l3過l1與l2的交點時，不能構(gòu)成三角形，此時12345678910111213141516所以l1與l2的交點為(－2,1)，將(－2,1)代入l3，得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2，12345678910111213141516綜合提升練13.(2022·保定模擬)已知兩條直線l1，l2的方程分別為3x＋4y＋12＝0與ax＋8y－11＝0，下列結(jié)論正確的是A.若l1∥l2，則a＝－6D.若a≠6，則直線l1，l2一定相交√12345678910111213141516若l1∥l2，則4a＝3×8，∴a＝6，故A不正確；由A知，若l1