備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第九章-§9-2-兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系

§9.2兩條直線(xiàn)的

位置關(guān)系第九章平面解析幾何1.能根據(jù)斜率判定兩條直線(xiàn)平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系平面內(nèi)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系包括

三種情況.(1)兩條直線(xiàn)平行對(duì)于直線(xiàn)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.對(duì)于直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).(2)兩條直線(xiàn)垂直對(duì)于直線(xiàn)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.對(duì)于直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?____________________.平行、相交、重合A1A2＋B1B2＝02.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②結(jié)論：|P1P2|＝____________________.③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝________.(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝______________.(3)兩條平行直線(xiàn)間的距離兩條平行直線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝_________.1.直線(xiàn)系方程(1)與直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0平行的直線(xiàn)系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)與直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0垂直的直線(xiàn)系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)過(guò)直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2.五種常用對(duì)稱(chēng)關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－x，－y).(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－x，y).(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線(xiàn)y＝－x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－y，－x).(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)x＝a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線(xiàn)y＝b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，2b－y).(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x，2b－y).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線(xiàn)l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)若兩條直線(xiàn)l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.(

)(4)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)AB的斜率等于

，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上.(

)××√√1.點(diǎn)A(2,5)到直線(xiàn)l：x－2y＋3＝0的距離為√2.若直線(xiàn)2x＋my＋1＝0與直線(xiàn)3x＋6y－1＝0平行，則m等于A.4 B.－4 C.1 D.－1√因?yàn)橹本€(xiàn)2x＋my＋1＝0與直線(xiàn)3x＋6y－1＝0平行，3.直線(xiàn)x－2y－3＝0關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____________.即x＋2y－3＝0.x＋2y－3＝0探究核心題型第二部分例1

(1)(2023·合肥質(zhì)檢)若l1：3x－my－1＝0與l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是兩條不同的直線(xiàn)，則“m＝1”是“l(fā)1∥l2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√題型一兩條直線(xiàn)的平行與垂直若l1∥l2，則3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而當(dāng)m＝－3時(shí)，l1，l2重合，故舍去，則“m＝1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件.(2)(2022·桂林模擬)已知直線(xiàn)l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值是A.0或－1 B.－1或1C.－1 D.1√由題意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.判斷兩條直線(xiàn)位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況.(2)可直接利用直線(xiàn)方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·襄陽(yáng)模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線(xiàn)xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是A.相交但不垂直

B.垂直C.平行

D.重合√所以?xún)蓷l直線(xiàn)垂直.(2)已知兩直線(xiàn)l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m＝________；若l1∥l2，則m＝______.因?yàn)閘1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，則m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，3或－2題型二兩直線(xiàn)的交點(diǎn)與距離問(wèn)題例2

(1)兩條平行直線(xiàn)2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為√依題意知直線(xiàn)2x－y＋3＝0與直線(xiàn)ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以?xún)芍本€(xiàn)分別為2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，(2)(2023·哈爾濱模擬)已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,1)，且被兩條平行直線(xiàn)l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為5，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)______________.y＝1x＝3或當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x＝3，此時(shí)l與直線(xiàn)l1，l2的交點(diǎn)分別為A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線(xiàn)段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y－1＝k(x－3)，且設(shè)直線(xiàn)l與直線(xiàn)l1和l2的交點(diǎn)分別為A，B.由|AB|＝5，解得k＝0，即所求直線(xiàn)l的方程為y＝1.綜上所述，所求直線(xiàn)l的方程為x＝3或y＝1.利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線(xiàn)y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線(xiàn)間的距離公式要把兩條直線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)化為相等.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點(diǎn)，且平行于直線(xiàn)3x＋2y＋7＝0的直線(xiàn)方程是A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0√所以直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)為(－1,1)，設(shè)與直線(xiàn)3x＋2y＋7＝0平行的直線(xiàn)為3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直線(xiàn)方程為3x＋2y＋1＝0.(2)若點(diǎn)(m，n)在直線(xiàn)l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為A.3 B.4 C.2 D.6√由(m－1)2＋n2的幾何意義為點(diǎn)(m，n)到點(diǎn)(1,0)距離的平方，得其最小值為點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)l：3x＋4y－13＝0的距離的平方，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例3

直線(xiàn)3x－2y＝0關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為A.2x－3y＝0 B.3x－2y－2＝0C.x－y＝0 D.2x－3y－2＝0√題型三命題點(diǎn)1

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題方法一設(shè)所求直線(xiàn)上任一點(diǎn)為(x，y)，所以所求直線(xiàn)方程為3x－2y－2＝0.方法二在直線(xiàn)3x－2y＝0上任取兩點(diǎn)O(0,0)，M(2,3)，即3x－2y－2＝0.命題點(diǎn)2

點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例4

(2022·太原模擬)已知兩點(diǎn)A(－4,8)，B(2,4)，點(diǎn)C在直線(xiàn)y＝x＋1上，則|AC|＋|BC|的最小值為√依題意，設(shè)B(2,4)關(guān)于直線(xiàn)y＝x＋1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為B′(m，n)，∴B′(3,3)，連接AB′交直線(xiàn)y＝x＋1于點(diǎn)C′，連接BC′，如圖，在直線(xiàn)y＝x＋1上任取點(diǎn)C，連接AC，BC，B′C，顯然，直線(xiàn)y＝x＋1垂直平分線(xiàn)段BB′，則有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)取等號(hào)，命題點(diǎn)3

直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例5

兩直線(xiàn)方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關(guān)于l2對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為A.3x－2y－4＝0

B.2x＋3y－6＝0C.2x－3y－4＝0 D.3x－2y－6＝0√設(shè)所求直線(xiàn)上任一點(diǎn)M(x，y)，M關(guān)于直線(xiàn)x－y－2＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(x1，y1)，∵點(diǎn)M′在直線(xiàn)3x－2y－6＝0上，∴將(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化簡(jiǎn)得2x－3y－4＝0，即為l1關(guān)于l2對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的求解策略(1)解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.(2)中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，兩點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可以利用垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程組解題.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

已知直線(xiàn)l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2).求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；在直線(xiàn)m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′必在直線(xiàn)m′上.(2)直線(xiàn)m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)m′的方程；設(shè)直線(xiàn)m與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為N，又m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l′的方程.方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，Q′均在直線(xiàn)l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).∵點(diǎn)A(－1，－2)到兩直線(xiàn)l，l′的距離相等，解得C＝－9，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.∴由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.已知直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，a－1)，B(a,4)，且與直線(xiàn)l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于A.－2 B.2 C.－1 D.1√123456789101112131415162.若直線(xiàn)ax－4y＋2＝0與直線(xiàn)2x＋5y＋c＝0垂直，垂足為(1，b)，則a＋b＋c等于A.－6 B.4 C.－10 D.－4√12345678910111213141516因?yàn)閍x－4y＋2＝0與直線(xiàn)2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10，故a＋b＋c＝－4.3.(2023·漳州質(zhì)檢)已知a2－3a＋2＝0，則直線(xiàn)l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直線(xiàn)l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置關(guān)系為A.垂直或平行

B.垂直或相交C.平行或相交

D.垂直或重合√12345678910111213141516因?yàn)閍2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝

，k2＝2，所以k1·k2＝－1，則兩直線(xiàn)垂直；當(dāng)a＝2時(shí)，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，則兩直線(xiàn)重合.123456789101112131415164.設(shè)直線(xiàn)l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，則下列說(shuō)法正確的是A.直線(xiàn)l1或l2可以表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條直線(xiàn)B.l1與l2至多有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)C.l1∥l2的充要條件是p＝kD.記l1與l2的交點(diǎn)為M，則y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示過(guò)點(diǎn)M的所有

直線(xiàn)√12345678910111213141516對(duì)于A，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x＝m(m為直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))，此時(shí)直線(xiàn)l1或l2的方程無(wú)法表示，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)p＝k且q＝b時(shí)，兩直線(xiàn)重合，此時(shí)兩直線(xiàn)有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)p＝k且q≠b時(shí)，l1∥l2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，記l1與l2的交點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)滿(mǎn)足l1：y＝px＋q且滿(mǎn)足l2：y＝kx＋b，則y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l2，故D錯(cuò)誤.5.在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線(xiàn)方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對(duì)邊所在的直線(xiàn)方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于12345678910111213141516√12345678910111213141516因?yàn)榱庑嗡臈l邊都相等，所以每條邊上的高也相等，且菱形對(duì)邊平行，12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且點(diǎn)A(2,3)，B(4，－5)到直線(xiàn)l的距離相等，則l的方程為A.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0B.x＋4y－6＝0或2x＋3y－7＝0C.x＋4y－6＝0或3x＋2y－7＝0D.4x＋y－6＝0或2x＋3y－7＝0√12345678910111213141516由條件可知直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)AB或過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以直線(xiàn)l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)(3，－1)時(shí)，即3x＋2y－7＝0.123456789101112131415168.設(shè)直線(xiàn)l1：x－2y＋1＝0與直線(xiàn)l2：mx＋y＋3＝0的交點(diǎn)為A，P，Q分別為l1，l2上任意一點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)，若|AM|＝

|PQ|，則m的值為A.2 B.－2 C.3 D.－3√根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示.直線(xiàn)l1：x－2y＋1＝0與直線(xiàn)l2：mx＋y＋3＝0的交點(diǎn)為A，M為PQ的中點(diǎn)，則1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.9.過(guò)直線(xiàn)3x－y＋5＝0與2x－y＋6＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)x－2y＋1＝0的直線(xiàn)方程是______________.12345678910111213141516故過(guò)點(diǎn)(1,8)且垂直于直線(xiàn)x－2y＋1＝0的直線(xiàn)方程為y－8＝－2(x－1)，即2x＋y－10＝0.2x＋y－10＝01234567891011121314151610.已知直線(xiàn)l1：2x＋y＋1＝0和直線(xiàn)l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為_(kāi)_____.已知直線(xiàn)l1：2x＋y＋1＝0和l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則2＋a＝0，解得a＝－2；－2此時(shí)直線(xiàn)l2：2x＋y＋6＝0，顯然兩直線(xiàn)不重合，1234567891011121314151611.(2022·岳陽(yáng)模擬)點(diǎn)P(2,7)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________.(－8，－3)12345678910111213141516設(shè)點(diǎn)P(2,7)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(a，b),所以點(diǎn)P(2,7)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－8，－3).1234567891011121314151612.已知兩直線(xiàn)l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直線(xiàn)l3：ax＋2y－6＝0與l1，l2不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)a＝_____________.12345678910111213141516由題意可得，①當(dāng)l3∥l1時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；②當(dāng)l3∥l2時(shí)，不能構(gòu)成三角形，③當(dāng)l3過(guò)l1與l2的交點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)12345678910111213141516所以l1與l2的交點(diǎn)為(－2,1)，將(－2,1)代入l3，得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2，12345678910111213141516綜合提升練13.(2022·保定模擬)已知兩條直線(xiàn)l1，l2的方程分別為3x＋4y＋12＝0與ax＋8y－11＝0，下列結(jié)論正確的是A.若l1∥l2，則a＝－6D.若a≠6，則直線(xiàn)l1，l2一定相交√12345678910111213141516若l1∥l2，則4a＝3×8，∴a＝6，故A不正確；由A知，若l1