《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修5)教師用書：2.6等比數(shù)列的概念及其性質(zhì)-講義

第6課時(shí)等比數(shù)列的概念及其性質(zhì)1.理解等比數(shù)列和等比中項(xiàng)的定義.2.把握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會推導(dǎo).3.對定義和通項(xiàng)公式能簡潔應(yīng)用.重點(diǎn):等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)、等比中項(xiàng)等.難點(diǎn):對通項(xiàng)公式的機(jī)敏應(yīng)用.我國古代一些學(xué)者提出:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”假如把“一尺之棰”看成單位“1”,那么得到一個(gè)數(shù)列:1,,,,,….問題1:(1)假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.公比通常用字母q表示.

(2)假如a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫作a與b的等比中項(xiàng).G=±.

(3)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外),即

=an·an+2(n∈N*).

問題2:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)(1)迭代法:依據(jù)等比數(shù)列的定義,有an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2=a1qn-1.

(2)歸納法:a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…,an=an-1q=a1qn-1.

(3)累乘法:依據(jù)等比數(shù)列的定義可得,=q,=q,=q,…,=q,把以上n-1個(gè)等式左右兩邊分別相乘,得···…·=q·q·q·…·q(n-1個(gè)),即=qn-1,∴an=a1qn-1.

問題3:如何用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1qn-1,還可以改寫為an=·qn,當(dāng)q>0且q≠1時(shí),y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù),而y=·qn是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積.因此等比數(shù)列{an}的圖象是函數(shù)y=·qx的圖象上一些孤立的點(diǎn).

問題4:等比數(shù)列的單調(diào)性q的取值a1的符號數(shù)列的單調(diào)性q>1a1>0遞增數(shù)列

a1<0遞減數(shù)列

0<q<1a1>0遞減數(shù)列

a1<0遞增數(shù)列

q=1常數(shù)列

q<0搖擺數(shù)列

《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)好玩的題目:今有出門望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問幾何?題目的意思是:某人走出門外,觀看前方有9條堤岸,每條堤上有9棵樹木,每棵樹上有9根樹枝,每根樹枝上有9個(gè)鳥巢,每個(gè)鳥巢里有9只大鳥,每只大鳥都孵出了9只小鳥,每只小鳥都長出了9片羽毛,每片羽毛上都有9種顏色.問這個(gè)人觀看的樹、枝、巢、大鳥、小鳥、小鳥羽毛及羽毛上的顏色各是多少?題目的解答,可逐步求得如下:樹木數(shù):9棵×9=92棵.樹枝數(shù):9根×92=93根.鳥巢數(shù):9個(gè)×93=94個(gè).大鳥數(shù):9只×94=95只.小鳥數(shù):9只×95=96只.羽毛數(shù):9片×96=97片.毛色數(shù):9種×97=98種.1.是等比數(shù)列4,4,2,…的().A.第10項(xiàng)B.第11項(xiàng)C.第12項(xiàng) D.第13項(xiàng)【解析】q==,由通項(xiàng)公式,得=4×()n-1,∴()n-1==()10,故n-1=10,即n=11.【答案】B2.在2和16中間插入兩個(gè)數(shù),使這四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則插入的兩個(gè)數(shù)為().A.-4和-8 B.-4和8C.4和8 D.4和-8【解析】q3==8,所以q=2,所以插入的兩數(shù)分別為4和8.【答案】C3.在等比數(shù)列{an}中:(1)a4=27,q=-3,a7=;

(2)a2=18,a4=8,q=;

(3)a5=4,a7=6,a9=.

【解析】(1)由a4=a1q3得a1=-1,∴a7=a1q6=-729;(2)q2==,∴q=±;(3)q2==,∴a9=a7q2=6×=9.【答案】(1)-729(2)±(3)94.求出下列等比數(shù)列中的未知項(xiàng):(1)2,a,8;(2)-4,b,c,.【解析】(1)由題意得=,∴a=4或a=-4.(2)由題意得∴b=2,c=-1.等比數(shù)列的概念的理解觀看下面幾個(gè)數(shù)列:①1,-,,-,;②數(shù)列{an}中,已知=2,=2;③常數(shù)列a,a,a,…;④數(shù)列{an}中,an+1=2an.其中是等比數(shù)列的為.(只填序號)

【方法指導(dǎo)】可利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行推斷.【解析】①=-,是等比數(shù)列;②不愿定是等比數(shù)列,當(dāng){an}的項(xiàng)數(shù)大于3時(shí),不愿定符合等比數(shù)列的定義;③當(dāng)a=0時(shí),不是等比數(shù)列,當(dāng)a≠0時(shí),是公比q=1的等比數(shù)列;④當(dāng)an=0時(shí),不是等比數(shù)列,當(dāng)an≠0時(shí),則{an}是等比數(shù)列.故填①.【答案】①【小結(jié)】推斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列,只要看{an}是否滿足等比數(shù)列的定義,同時(shí)還要留意一個(gè)結(jié)論:非零常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列.求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式已知{an}為等比數(shù)列,a3=2,a2+a4=,求{an}的通項(xiàng)公式.【方法指導(dǎo)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,設(shè)出公比,依據(jù)已知條件列方程組,求出首項(xiàng)和公比.【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則an=a1qn-1,由題意,得解得或所以an=×3n-1=2×3n-3或an=18×()n-1=2×33-n.【小結(jié)】解決等比數(shù)列的關(guān)鍵是明確首項(xiàng)和公比.通常利用解方程組的方法求出首項(xiàng)和公比,解方程組常用的技巧是消元,本題也可接受探究三的設(shè)法.等比數(shù)列通項(xiàng)的應(yīng)用已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它們的積為27,它們的平方和為91,求這三個(gè)數(shù).【方法指導(dǎo)】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列可以設(shè)為,a,aq,列出方程組求解.【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為,a,aq,則由①得a=3,代入②得q=3或q=.∴當(dāng)q=3時(shí),這三個(gè)數(shù)分別為1,3,9;當(dāng)q=時(shí),這三個(gè)數(shù)分別為9,3,1.[問題]上述解法正確嗎?[結(jié)論]不正確.錯(cuò)解忽視了公比為負(fù)值的狀況,開方時(shí)應(yīng)留意取正負(fù)值.于是,正確解答如下:設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為,a,aq,則由①得a=3,代入②得q2=9或,∴q=±3或q=±.∴當(dāng)q=3時(shí),這三個(gè)數(shù)分別為1,3,9;當(dāng)q=-3時(shí),這三個(gè)數(shù)分別為-1,3,-9;當(dāng)q=時(shí),這三個(gè)數(shù)分別為9,3,1;當(dāng)q=-時(shí),這三個(gè)數(shù)分別為-9,3,-1.【小結(jié)】等比數(shù)列的公比可能為正,也可能為負(fù),但不為0.解方程組時(shí)遇到開方問題要留意取正負(fù)兩種狀況,等比中項(xiàng)也有兩個(gè)值.已知數(shù)列{Cn},其通項(xiàng)Cn=2n+3n,若數(shù)列{Cn+1-pCn}為等比數(shù)列,求常數(shù)p.【解析】∵{Cn+1-pCn}為等比數(shù)列,∴(Cn+1-pCn)2=(Cn-pCn-1)(Cn+2-pCn+1),∴[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+3n-p(2n-1+3n-1)]·[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)],整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3·a9=2,a2=1,則a5等于().A.2B.2C.4D【解析】設(shè)公比為q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又由于等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),所以q=,故a5=a2q3=1×2=2,【答案】B在243和3中間插入3個(gè)數(shù),使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則插入的三個(gè)數(shù)分別為.

【解析】設(shè)插入的三個(gè)數(shù)為a2,a3,a4,由題意得243,a2,a3,a4,3組成等比數(shù)列.設(shè)公比為q,則3=243q5-1,得q=±.所求的三數(shù)為81,27,9或-81,27,-9.【答案】81,27,9或-81,27,-91.設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)互不相等的等比數(shù)列,a1=9,a2+a3=18,則公比q等于().A.-2B.-1C.-D.1【解析】a2+a3=9q+9q2=18,解得q=-2或q=1.又?jǐn)?shù)列{an}是各項(xiàng)互不相等的等比數(shù)列,則q=-2.【答案】A2.若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,末項(xiàng)為,公比為,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為().A.3 B.4 C.5 D【解析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得an=a1qn-1=×()n-1=,所以n=4.【答案】B3.在等比數(shù)列{an}中,a3,a9是方程3x2-11x+9=0的兩個(gè)根,則a6=.

【解析】由題意得,a3·a9==3,又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列,所以=a3·a9=3?a6=±.【答案】±4.已知數(shù)列{an}滿足:lgan=3n+5,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【解析】由lgan=3n+5,得an=103n+5,∴==1000,∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2021年·新課標(biāo)全國Ⅰ卷