一元函數(shù)積分學(xué)數(shù)學(xué)課件幻燈片資料

引言第三章一元函數(shù)積分學(xué)

積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分．不定積分是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反問題提出的，而定積分是作為微分的無限求和引進(jìn)的，兩者概念不相同，但在計算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系．

本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學(xué)核心定理（牛頓萊布尼茨式),解決定積分的計算問題，同時研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，最后簡單研究廣義積分．本章主要內(nèi)容：第一節(jié)不定積分第二節(jié)不定積分的計算第三節(jié)定積分第四節(jié)定積分的計算第五節(jié)廣義積分在小學(xué)和中學(xué)我們學(xué)過逆運算：如：加法的逆運算為減法乘法的逆運算為除法指數(shù)的逆運算為對數(shù)3.1.1不定積分的概念問題提出微分法:積分法:互逆運算定義1

若在某一區(qū)間上，，則在這個區(qū)間上，函數(shù)F（x）叫做函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)（primitivefunction）

一個函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，而是有無窮多個．比如，

(sinx)′＝cosx

所以sinx是cosx的一個原函數(shù)，而sinx＋C（C可以取任意多的常數(shù)）

是cosx的無窮多個原函數(shù)．

一般的，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則等式

[F(x)+C]′＝F′(x)＝f(x)成立（其中C為任意常數(shù)），從而一簇曲線方程F(x)

＋C是f(x)無窮多個原函數(shù)．問題提出

如果一個函數(shù)f(x)在一個區(qū)間有一個原函數(shù)F(x)，那么f(x)就有無窮多個原函數(shù)存在，無窮多個原函數(shù)是否都有一致的表達(dá)式

F(x)＋C

呢？定理1:

若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成

F(x)＋C

（C為任意常數(shù)）．思考：如何證明？YESx稱為積分變量f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式其中∫稱為積分號，C稱為積分常數(shù)定義2：若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)F(x)＋C稱為f(x)的不定積分（indefiniteintegral）,記為∫f（x）dx＝F（x）＋C例1求函數(shù)f(x)＝３x２的不定積分例2求函數(shù)f(x)＝１/x的不定積分

由于函數(shù)f(x)的不定積分F(x)＋C中含有任意常數(shù)C，因此對于每一個給定的C，都有一個確定的原函數(shù)，在幾何上，相應(yīng)地就有一條確定的曲線，稱為f(x)的積分曲線．因為C可以取任意值，因此不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，即F(x)

＋C．二、不定積分的幾何意義

因為F′(x)＝f(x)

，這說明，在積分曲線簇的每一條曲線中，對應(yīng)于同一個橫坐標(biāo)x＝x０點處有相同的斜率f(x０)，所以對應(yīng)于這些點處，它們的切線互相平行，任意兩條曲線的縱坐標(biāo)之間相差一個常數(shù)．因此，積分曲線簇y＝F(x)＋C中每一條曲線都可以由曲線y＝F(x)沿y軸方向上、下移動而得到二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意義例3

求經(jīng)過點（１，３），且其切線的斜率為２x的曲線方程．3.1.2

不定積分的基本公式和運算法則一、不定積分的基本公式

由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運算的逆運算．因此，有一個導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對應(yīng)地有一個不定積分公式．基本積分表(k

為常數(shù))例求解:

原式=例求解:

原式=關(guān)于不定積分，還有如下等式成立：１［∫f(x)dx］′＝f(x)

或d∫f(x)dx＝f(x)dx∫F′(x)dx

＝F(x)＋C或∫dF(x)

＝F(x)

＋C二、不定積分的運算法則１不為零的常數(shù)因子，可移動到積分號前∫af(x)dx＝a∫f(x)dx（a≠０）２兩個函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和∫[f(x)±g(x)］dx＝f(x)dx±∫g(x)dx例4求解：原式=例5求解：原式例6求解：原式=例7求解：原式=課堂練習(xí)課堂思考

本節(jié)給出了不定積分的定義、幾何意義和基本公式及運算法則。

下一節(jié)3.1節(jié)課堂練習(xí)3.1節(jié)課堂思考３.２不定積分的計算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計算不定積分，有時很困難，因此，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法:

換元積分法與分部積分法３.２不定積分的計算3.2.1換元積分法3.2.4*積分表的使用3.2.3*

有理函數(shù)積分簡介3.2.2分部積分法3.2.1

換元積分法一、第一類換元積分法（湊微分法）

有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行一定的變換后，積分表達(dá)式由于引進(jìn)中間變量而變?yōu)樾碌男问?，而新的積分表達(dá)式和新的積分變量可直接由基本積分公式求出不定積分來.例如想到基本積分公式若令u＝４x，把４x看成一個整體（新的積分變量），這個積分可利用基本積分公式算出來又如u=2x第一類換元法則有換元公式例8求解：原式=推廣：解：例9求解：原式=例10求解：原式=例11求解：原式=類似可得

二、第二類換元積分法

第一類換元積分法是利用湊微分的方法，把一個較復(fù)雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式，但是，有時不易找出湊微分式，卻可以設(shè)法作一個代換x＝φ(t)，而積分

∫f(x)dx＝∫f［φ(t)］φ′(t)dt可用基本積分公式求解定理2

設(shè)f(x)連續(xù)，x＝φ(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)φ′(t)≠０，x＝φ(t)的反函數(shù)t＝φ-1(x)存在且可導(dǎo)，并且∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋C則∫f(x)dx＝F[φ-1(x)]＋C例12

求解:

令則∴原式例13.

求解:

令則∴原式例14.

求解:令則∴原式令于是小結(jié):被積函數(shù)含有時,

或可采用三角代換消去根式

例15求解：設(shè)，則從而原式小結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)含有時，只需做代換，就可將根號去掉．不定積分就變成容易的積分了。

上述第二類換元積分均是利用變換去掉被積函數(shù)中的根式，把積分轉(zhuǎn)化成容易積分．3.2.2分部積分法（integrationbyparts）

如果u＝u(x)與v＝v(x)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式

d(uv)＝vdu＋udv移項得udv＝d(uv)－vdu從而∫udv＝uv－∫vdu或∫udv＝uv－∫vu′dx這個公式叫作分部積分公式，當(dāng)積分∫udv不易計算，而積分∫vdu比較容易計算時，就可以使用這個公式．例16.

求解:

令則∴原式在計算方法熟練后，分部積分法的替換過程可以省略例17求不定積分解：原式例18.

求解:

原式移項整理可得例19.

求解：原式例20.

求解:原式=思考：如何求例21.

求解:

令則原式令總結(jié):分部積分法主要解決被積函數(shù)是兩類不同類型的函數(shù)乘積形式的一類積分問題，例如這些形式：∫P(x)eax

dx∫P(x)lnmxdx∫P(x)cosmxdx∫P(x)sinmxdx∫sinmxeaxdx……其中m為正整數(shù)，a為常數(shù)，P（x）為多項式正確選取u(x)，v(x)，會使不定積分

∫v(x)du(x)＝∫v(x)u′(x)dx變得更加簡單易求。3.2.3*

有理函數(shù)積分簡介有理函數(shù)總可以寫成兩個多項式的比其中n為正整數(shù)，m為非負(fù)整數(shù)，a０≠０，b０≠０，設(shè)分子與分母之間沒有公因子，當(dāng)n＞m時，叫做真分式；當(dāng)m≥n時，叫做假分式，假分式可以用除法把它化為一個多項式與一個真分式之和．

多項式可以很容易地逐項積分，因此只需要討論真分式的積分，一般來講，先將真分式化成部分分式，部分分式的積分較容易，真分式的積分就會計算了．例22將分解成部分分式解：由于真分式可設(shè)右邊通分，再與左邊比較分子可得從而解得故例23將分解成部分分式右邊通分，再與左邊比較分子可得從而解：設(shè)因此例24求解：由例22結(jié)果例25求解：由例23結(jié)果從而例26求解：設(shè)用待定系數(shù)法得：從而3.2.4*

積分表的使用

一般的積分表都是按照被積函數(shù)的類型進(jìn)行分類的，所以求不定積分時，首先找出被積函數(shù)所屬的類型，然后在積分表中查出相應(yīng)的公式．有時，還需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，把被積函數(shù)化成積分表中所列出的形式，然后查．

積分表可看附錄Ⅰ

解：被積函數(shù)含a＋bx，與附錄Ⅰ公式２７相同，其中a＝２，b＝５，于是例27

求解：被積函數(shù)含有a＋bx＋x2與附錄Ⅰ公式45相同，其中a＝3，b＝２，c＝１，b2－4ac＝４－４