2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2-直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2-直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1．兩條直線l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(2，3) B．(－2，3)C．(3，－2) D．(－3，2)2．直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y－1＝0.若l1∥l2，則a的值為()A．－3或2 B．3或－2C．3 D．－23．過點(diǎn)P(4，－1)且與直線3x－4y＋6＝0垂直的直線方程是()A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝04．若直線a，b的斜率分別為方程x2－4x－1＝0的兩個根，則a與b的位置關(guān)系為()A．互相平行 B．互相重合C．互相垂直 D．無法確定5．平面直角坐標(biāo)系中與直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1，1)對稱的直線方程是()A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－36．已知直線4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直，垂足為(t，1)，則n的值為()A．7 B．9C．11 D．－77．(多選)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，則下列說法正確的是()A．若l1∥l2，則m＝－1或m＝3B．若l1∥l2，則m＝3C．若l1⊥l2，則m＝－eq\f(1,2)D．若l1⊥l2，則m＝eq\f(1,2)8．(多選)已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結(jié)論正確的是()A．不論a為何值時，l1與l2都互相垂直B．當(dāng)a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點(diǎn)A(0，1)和B(－1，0)C．不論a為何值時，l1與l2都關(guān)于直線x＋y＝0對稱D．如果l1與l2交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|的最大值是eq\r(2)9．直線l1：x＋ay－2＝0(a∈R)與直線l2：y＝eq\f(3,4)x－1平行，則a＝________，l1與l2的距離為________．10．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)．若點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離為3，則l的方程為________．11．已知點(diǎn)P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，則過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線方程為________________．12．已知三角形的一個頂點(diǎn)A(4，－1)，它的兩條角平分線所在的直線方程分別為l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，則BC邊所在直線的方程為______________．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．已知點(diǎn)(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝x的對稱點(diǎn)為A，若直線l2經(jīng)過點(diǎn)A，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程為()A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝02．(多選)定義點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝eq\f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知點(diǎn)P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題不正確的是()A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行B．若d1＝1，d2＝－1，則直線P1P2與直線l垂直C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直D．若d1·d2≤0，則直線P1P2與直線l相交3．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．eq\r(5) B．eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(5)4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為()A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝05．若m∈R，則“l(fā)og6m＝－1”是“直線l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．已知兩條直線l1：(3＋t)x＋4y＝5－3t，l2：2x＋(5＋t)y＝8，l1∥l2，則t＝________．7．若兩平行直線3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則c的值是________．8．若△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為________．9．已知點(diǎn)A(4，－1)，B(8，2)和直線l：x－y－1＝0，動點(diǎn)P(x，y)在直線l上，則|PA|＋|PB|的最小值為________．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1．解析：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3).答案：A2．解析：∵直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y－1＝0，l1∥l2，∴a(a－1)－2×3＝0，且－a－2≠0，∴a＝3.答案：C3．解析：與直線3x－4y＋6＝0垂直的直線方程可設(shè)為4x＋3y＋m＝0.把點(diǎn)P(4，－1)代入得4×4－3＋m＝0，解得m＝－13.所以滿足條件的直線方程為4x＋3y－13＝0.答案：A4．解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得ka·kb＝－1，則a與b互相垂直．答案：C5．解析：在直線y＝2x＋1上任取兩個點(diǎn)A(0，1)，B(1，3)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1，1)對稱的點(diǎn)M(2，1)，B關(guān)于點(diǎn)(1，1)對稱的點(diǎn)N(1，－1).由兩點(diǎn)式求出直線MN的方程eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.答案：D6．解析：直線4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直，則m＝10，故(t，1)在直線2x＋5y－3＝0上，t＝－1，垂足為(－1，1)，點(diǎn)(－1，1)在5x－2y＋n＝0上，∴－5－2＋n＝0，∴n＝7.答案：A7．解析：若l1∥l2，則1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或－1，當(dāng)m＝－1時，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1與l2重合，∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故A不正確，B正確；若l1⊥l2，則1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝eq\f(1,2)，故C不正確，D正確．答案：BD8．解析：對于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1與l2互相垂直恒成立，故A正確；對于B，直線l1：ax－y＋1＝0，當(dāng)a變化時，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒過定點(diǎn)A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，當(dāng)a變化時，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒過定點(diǎn)B(－1，0)，故B正確；對于C，在l1上任取點(diǎn)(x，ax＋1)，關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，則等式左邊不等于0，故C不正確；對于D，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))所以|MO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋1,a2＋1)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(2,a2＋1))≤eq\r(2)，所以|MO|的最大值是eq\r(2)，故D正確．答案：ABD9．解析：由題可知直線l1的斜率為－eq\f(1,a)(a≠0)，直線l2的斜率為eq\f(3,4)，所以－eq\f(1,a)＝eq\f(3,4)，解得a＝－eq\f(4,3)，則直線l1：3x－4y－6＝0，直線l2：3x－4y－4＝0，兩直線間的距離d＝eq\f(|－6＋4|,\r(32＋(－4)2))＝eq\f(2,5).答案：－eq\f(4,3)eq\f(2,5)10．解析：法一：兩直線交點(diǎn)為(2，1)，當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x－2＝0，此時A到直線l的距離為3，符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)斜率為k，則所求直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，故所求直線方程為4x－3y－5＝0.綜上，所求直線方程為x－2＝0或4x－3y－5＝0.法二：經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以eq\f(|10＋5λ－5|,\r((2＋λ)2＋(1－2λ)2))＝3，解得λ＝2或eq\f(1,2).所以l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.答案：x＝2或4x－3y－5＝011．解析：當(dāng)直線與點(diǎn)P1，P2的連線所在的直線平行時，由直線P1P2的斜率k＝eq\f(3－5,2＋4)＝－eq\f(1,3)，得所求直線的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線過線段P1P2的中點(diǎn)時，因?yàn)榫€段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)，所以直線方程為x＝－1.綜上，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.答案：x＋3y－5＝0或x＝－112．解析：易得A不在l1和l2上，因此l1，l2為∠B，∠C的平分線，所以點(diǎn)A關(guān)于l1，l2的對稱點(diǎn)在BC邊所在的直線上．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l1的對稱點(diǎn)為A1(x1，y1)，點(diǎn)A關(guān)于l2的對稱點(diǎn)為A2(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4＋x1,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，,\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0，3).又易得點(diǎn)A關(guān)于l2的對稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(－2，－1)，所以BC邊所在直線的方程為eq\f(y－3,－1－3)＝eq\f(x－0,－2－0)，即2x－y＋3＝0.答案：2x－y＋3＝0INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：設(shè)A(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a－1)＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))所以A(－1，1).設(shè)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離為d，當(dāng)d＝|AB|時取得最大值，此時直線l2垂直于直線AB，所以直線l2的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,\f(－1－1,2＋1))＝eq\f(3,2)，所以直線l2的方程為y－1＝eq\f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.答案：B2．解析：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，對于A，若d1＝d2＝1，則ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq\r(a2＋b2)，直線P1P2與直線l平行，正確；對于B，點(diǎn)P1，P2在直線l的兩側(cè)且到直線l的距離相等，直線P1P2不一定與l垂直，錯誤；對于C，若d1＝d2＝0，滿足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，則點(diǎn)P1，P2都在直線l上，所以此時直線P1P2與直線l重合，錯誤；對于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以點(diǎn)P1，P2分別位于直線l的兩側(cè)或在直線l上，所以直線P1P2與直線l相交或重合，錯誤．答案：BCD3．解析：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得x＝1，y＝2.把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離d＝eq\r(m2＋n2)＝eq\r((5＋2n)2＋n2)＝eq\r(5(n＋2)2＋5)≥eq\r(5)，當(dāng)n＝－2，m＝－1時取等號．∴點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離的最小值為eq\r(5).答案：A4．解析：因?yàn)锳C＝BC，所以歐拉線為AB的中垂線．又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，kAB＝－2，故AB的中垂線方程為y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x－4y＋3＝0.答案：B5．解析：由log6m＝－1，得m＝eq\f(1,6).若l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則直線斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝eq\f(1,6)，則“l(fā)og6m＝－1”是“直線l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要條件．答案：A6．解析：∵l1∥l2，∴eq\f(3＋t,2)＝eq\f(4,5＋t)≠eq\f(5－3t,8)，解得t＝－7.答案：－77．解析：由題意得eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4，c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0.由兩平行線間的距離公式得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq\f(2\r(13),13)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或c＝－6.答案：2或－68．解析：BH所在直線方程為x－2y－5＝