2025年中考數學一輪復習之無理數與實數

第1頁（共1頁）2025年中考數學一輪復習之無理數與實數一．選擇題（共10小題）1．在1，﹣2，3，0四個數中最小的數是（）A．1 B．﹣2 C．3 D．02．若m=(12+A．3和4之間 B．2和3之間 C．1和2之間 D．4和5之間3．設實數7的整數部分為a，小數部分為b．則b2+2ab的值為（）A．1 B．47-5 C．3 D．﹣4．我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，那么面積S=14[a2b2-(a2+b2-cA．2 B．3 C．4 D．55．下列四個實數中，最小的數是（）A．2 B．﹣3 C．-2 D．6．圖中的內容是某同學完成的作業(yè)，嘉琪幫他做了批改，嘉琪批改正確的題數是（）填空：①﹣1的倒數是1；（×）②1的平方根，立方根都等于它本身；（√）③(-④|1-⑤3-A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A．0＜a＜b B．|a|＝|b| C．ab＞0 D．a﹣b＞08．在實數范圍內定義一種新運算“*”，其規(guī)則是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x的值是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝46 D．x＝﹣469．如圖，在數軸上，點O對應數字0，點A對應數字2，過點A作AB垂直于數軸，且AB＝4，連接OB，繞點O順時針旋轉OB，使點B落在數軸上的點C處，則點C所表示的數介于（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間10．116A．14 B．-14 C．12二．填空題（共5小題）11．請寫出一個大于2且小于3的無理數．12．設n為正整數，若n的整數部分是1，則n的值可以是.（寫出一個即可）13．比較大小：5-114．已知a+1與|b﹣2|互為相反數，ab＝15．對于實數m，n，先定義一種新運算“?”如下：m?n=m2+m+n，當m＞n時n2+m三．解答題（共5小題）16．計算：(-17．【觀察思考】如圖是由長度為1cm和2cm【規(guī)律發(fā)現】請用含n的式子表示：（1）第n個圖案中需要2cm長的線段的條數為；（2）第n個圖案中需要1cm長的線段的條數為；【規(guī)律應用】（3）若要組成一個面積為100cm2的正方形圖案，則需要這兩種線段各多少條？18．如圖，是一條不完整的數軸，點A、B、C對應的實數分別為a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣b與c的和記為M．（1）若a＝4，求M的值；（2）若a＝2x，5≤M＜9，求滿足條件的x的整數解．19．小杰計算2cos小杰的計算是否正確？若正確請在框內打“√”，直做第20題；若錯誤．請指出錯誤：.（從“①”“②”“③”中選填），并寫出你的解答過程．20．計算：(1

2025年中考數學一輪復習之無理數與實數參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．在1，﹣2，3，0四個數中最小的數是（）A．1 B．﹣2 C．3 D．0【考點】實數大小比較；算術平方根．【專題】實數；推理能力．【答案】B【分析】正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小，據此判斷即可．【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜3∴在1，﹣2，3，0四個數中最小的數是﹣2．故選：B．【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數＞0＞負實數，兩個負實數絕對值大的反而?。?．若m=(12+A．3和4之間 B．2和3之間 C．1和2之間 D．4和5之間【考點】估算無理數的大?。緦ｎ}】實數；運算能力．【答案】A【分析】先根據二次根式的乘法法則進行計算，并進行化簡，然后估算2+2【解答】解：∵m=12=12×=4=2+2∵11＜∴2+1＜3＜∴3＜m＜4，∴m的值應在3和4之間，故選：A．【點評】本題主要考查了無理數的估算，解題關鍵是熟練掌握二次根式的乘法法則和如何估算無理數的大?。?．設實數7的整數部分為a，小數部分為b．則b2+2ab的值為（）A．1 B．47-5 C．3 D．﹣【考點】估算無理數的大?。粚崝档倪\算．【專題】實數；數感；運算能力．【答案】C【分析】先估算7的近似值，確定a、b的值，再代入計算即可．【解答】解：∵4＜7＜9，即∴a＝2，b=7-∴b2+2ab＝（7-2）2+2×2×（7-＝3，故選：C．【點評】本題考查無理數的估算，理解算術平方根的意義是解決問題的前提，求出a、b的值是正確解答的關鍵．4．我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，那么面積S=14[a2b2-(a2+b2-cA．2 B．3 C．4 D．5【考點】估算無理數的大?。緦ｎ}】計算題；運算能力．【答案】B【分析】根據題意計算出三角形的面積為8，再估算出8的取值范圍即可得出結果．【解答】解：∵三角形的三邊長分別為2，3，3，∴S==1=8∵4＜∴2＜8＜∵面積S介于整數n﹣1和n之間，∴n的值為3，故選：B．【點評】本題考查的是估算無理數的大小，熟練計算出三角形的面積是解題的關鍵．5．下列四個實數中，最小的數是（）A．2 B．﹣3 C．-2 D．【考點】實數大小比較；算術平方根．【專題】實數；數感．【答案】B【分析】根據正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數比較即可．【解答】解：﹣3＜-2＜0＜故選：B．【點評】本題考查了實數的大小比較，比較實數大小的方法：1、數軸法：在數軸上表示的兩個數，右邊的總比左邊的數大；2、正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數；3、絕對值法：①兩個正數比較大小，絕對值大的數大；②兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小．6．圖中的內容是某同學完成的作業(yè)，嘉琪幫他做了批改，嘉琪批改正確的題數是（）填空：①﹣1的倒數是1；（×）②1的平方根，立方根都等于它本身；（√）③(-④|1-⑤3-A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】實數的運算；平方根；立方根．【專題】實數；運算能力．【答案】C【分析】運用倒數、平方根、立方根和絕對值知識分別進行計算、辨別．【解答】解：∵﹣1的倒數是﹣1；1的平方根是±1，立方根都等于它本身；（-13）2|1-2|=23-∴嘉琪批改的第①③④⑤題正確，第②題錯誤，∴嘉琪批改正確的題數是4個，故選：C．【點評】此題考查了實數的運算能力，關鍵是能準確確定各種運算方法，并能進行正確地計算．7．實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A．0＜a＜b B．|a|＝|b| C．ab＞0 D．a﹣b＞0【考點】實數與數軸；絕對值．【專題】實數；數感．【答案】B【分析】根據圖示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，據此逐項判斷即可．【解答】解：根據圖示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，∵a＜0＜b，∴選項A不符合題意；∵a＝﹣2，b＝2，∴|a|＝2，|b|＝2，∴|a|＝|b|，∴選項B符合題意；∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴選項C不符合題意；∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴選項D不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了絕對值的含義和求法，在數軸上表示數的方法，以及數軸的特征：一般來說，當數軸正方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大．8．在實數范圍內定義一種新運算“*”，其規(guī)則是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x的值是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝46 D．x＝﹣46【考點】實數的運算；解一元一次方程．【專題】新定義；運算能力．【答案】A【分析】按照定義的新運算可得（x+2）2﹣25＝x2﹣25，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），（x+2）2﹣25＝x2﹣25，x2+4x+4﹣25＝x2﹣25，x2+4x﹣x2＝﹣25+25﹣4，4x＝﹣4，x＝﹣1，故選：A．【點評】本題考查了實數的運算，解一元一次方程，理解定義的新運算是解題的關鍵．9．如圖，在數軸上，點O對應數字0，點A對應數字2，過點A作AB垂直于數軸，且AB＝4，連接OB，繞點O順時針旋轉OB，使點B落在數軸上的點C處，則點C所表示的數介于（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【考點】實數與數軸．【專題】常規(guī)題型．【答案】B【分析】因為△OAB是一個直角三角形，且有OC＝OB，所以可求得OB的長度即得C點所表示的數，可判斷其大?。窘獯稹拷猓骸逜B⊥OA∴在直角三角形OAB中有OA2+AB2＝OB2∴OB=∴4＜20又∵OC＝OB∴點C所表示的數介于4和5之間故選：B．【點評】此題考查的重點就是由垂直而組成的直角三角形的性質，從而解得答案．10．116A．14 B．-14 C．12【考點】算術平方根．【專題】二次根式．【答案】C【分析】直接利用算術平方根的定義得出答案．【解答】解：116=1故選：C．【點評】此題主要考查了算術平方根，正確把握定義是解題關鍵．二．填空題（共5小題）11．請寫出一個大于2且小于3的無理數5（答案不唯一）．【考點】實數大小比較；無理數．【專題】實數；數感．【答案】見試題解答內容【分析】根據完全平方數，即可解答．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜5＜∴寫出一個大于2且小于3的無理數是5，故答案為：5（答案不唯一）．【點評】本題考查了實數大小比較，無理數，熟練掌握完全平方數是解題的關鍵．12．設n為正整數，若n的整數部分是1，則n的值可以是2（答案不唯一）.（寫出一個即可）【考點】估算無理數的大?。欢胃接幸饬x的條件．【專題】計算題；數感．【答案】2（答案不唯一）．【分析】根據題意可得：1≤n＜4，即1≤n＜4，因此n的值可以是1，【解答】解：∵n為正整數，若n的整數部分是1，∴1≤∴1≤n＜4，∴n的值可以是1，2，3，故答案為：2（答案不唯一）．【點評】本題考查的是估算無理數的大小，熟練掌握無理數估算的方法是解題的關鍵．13．比較大小：5-1＜【考點】實數大小比較；算術平方根．【專題】實數；數感．【答案】＜．【分析】先估算出5和2的取值范圍，再求出5-1【解答】詳解：∵5≈2.236，2≈∴5-1≈1.236＜1.414∴5-1＜故答案為：＜．【點評】本題考查了實數的大小比較和估算無理數的大小，能估算出5的范圍是解此題的關鍵．14．已知a+1與|b﹣2|互為相反數，ab＝1【考點】非負數的性質：算術平方根；非負數的性質：絕對值．【專題】二次根式；運算能力；應用意識．【答案】1．【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于0列式，再根據非負數的性質列式求出a、b，然后代入代數式進行計算即可得解．【解答】解：∵a+1與|b﹣2|∴a+1+|∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以，ab＝（﹣1）2＝1故答案為：1．【點評】本題考查了非負數的性質，關鍵是根據“幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0”列出方程．15．對于實數m，n，先定義一種新運算“?”如下：m?n=m2+m+n，當m＞n時n2+m【考點】實數的運算．【專題】一元二次方程及應用；幾何直觀；運算能力．【答案】3．【分析】根據新定義，當x＞﹣1時，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，當x≤﹣1時，（﹣1）2+x﹣1＝11，然后分別解一元二次方程和一元一次方程可得到滿足條件的x的值．【解答】解：當x＞﹣1時，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），當x≤﹣1時，（﹣1）2+x﹣1＝11，解得：x＝11，所以x的值為3．故答案為：3．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了實數的運算．三．解答題（共5小題）16．計算：(-【考點】實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．【專題】實數；運算能力．【答案】12【分析】首先計算零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、開立方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解答】解：(=-12-2=1【點評】此題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．17．【觀察思考】如圖是由長度為1cm和2cm【規(guī)律發(fā)現】請用含n的式子表示：（1）第n個圖案中需要2cm長的線段的條數為2n2；（2）第n個圖案中需要1cm長的線段的條數為2n2+2n；【規(guī)律應用】（3）若要組成一個面積為100cm2的正方形圖案，則需要這兩種線段各多少條？【考點】算術平方根；規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）2n2；（2）2n2+2n；（3）需要2cm長的線段200條，需要1cm長的線段220條．【分析】（1）根據題干中所給的圖案總結出規(guī)律即可；（2）根據題干中所給的圖案總結出規(guī)律即可；（3）由題意可得此為第10個圖案，然后代入（1）（2）中所得結論中計算即可．【解答】解：（1）第1個圖案中2cm長的線段的條數為2×1．第2個圖案中2cm長的線段的條數為2×4＝2×22，第3個圖案中2cm長的線段的條數為2×9＝2×22，…第n個圖案中2cm長的線段的條數為2n2，故答案為：2n2；（2）第1個圖案中1cm長的線段的條數為4×1．第2個圖案中1cm長的線段的條數為4×2+2×2×1，第3個圖案中1cm長的線段的條數為4×3+3×2×2，…第n個圖案中1cm長的線段的條數為4×n+n?2（n﹣1）＝2n2+2n，故答案為：2n2+2n；（3）由題意得，面積為100cm2的正方形圖案為第10個圖案，當n＝10時，2n2＝200，2n2+2n＝220，即需要2cm長的線段200條，需要1cm長的線段220條．【點評】本題考查算術平方根及圖案的規(guī)律總結問題，結合已知條件總結出規(guī)律是解題的關鍵．18．如圖，是一條不完整的數軸，點A、B、C對應的實數分別為a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣b與c的和記為M．（1）若a＝4，求M的值；（2）若a＝2x，5≤M＜9，求滿足條件的x的整數解．【考點】實數與數軸；解一元一次方程．【專題】計算題；運算能力．【答案】（1）M＝9；（2）x的整數解為0或1．【分析】（1）由題意得，a﹣b＝6，已知a＝4，可得b的值，已知c＝﹣1，可得M的值；（2）已知a＝2x，a﹣b＝6，可得b的值，可求得M的值，因為5≤M＜9，可得x的取值范圍，因為x為整數，可得滿足條件的x的整數解．【解答】解：（1）由題意得，a﹣b＝6，∵a＝4，∴b＝﹣2，∴M＝2a﹣b+c＝4×2﹣（﹣2）+（﹣1）＝9；（2）∵a＝2x，a﹣b＝6，∴b＝2x﹣6，∴M＝2a﹣b+c＝4x﹣（2x﹣6）﹣1＝2x+5，∵5≤M＜9，∴5≤2x+5＜9，解得：0≤x＜2，∴x的整數解為0或1．【點評】本題考查了實數與數軸，關鍵是正確化簡計算．19．小杰計算2cos小杰的計算是否正確？若正確請在框內打“√”，直做第20題；若錯誤．請指出錯誤：①②③.（從“①”“②”“③”中選填），并寫出你的解答過程．【考點】實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．【專題】實數；運算能力．【答案】①②③．【分析】根據實數的混合運算法則運算檢驗即可．【解答】解：小杰做的不正確，①②③都錯，正確解答如下：2cos＝2×12+1﹣（＝1+1﹣2+=3故答案為：①②③．【點評】本題考查了實數的運算，熟練掌握實數混合運算是關鍵．20．計算：(1【考點】實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．【答案】2024．【分析】分別計算負整數指數冪、零指數冪、絕對值、三角函數值、二次根式，然后算加減即可．【解答】解：(=2023+1+23=2023+1+23＝2024．【點評】本題考查了實數的混合運算，熟練掌握實數混合運算法則是解決問題的關鍵．

考點卡片1．絕對值（1）概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值．①互為相反數的兩個數絕對值相等；②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數．③有理數的絕對值都是非負數．（2）如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非負數的性質：絕對值在實數范圍內，任意一個數的絕對值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．3．平方根（1）定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．（2）求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“-a正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a．零的算術平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．4．算術平方根（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．記為a．（2）非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數．（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．5．非負數的性質：算術平方根（1）非負數的性質：算術平方根具有非負性．（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也是非負數列出不等式求解．非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題．6．立方根（1）定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：3a（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根．（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數．注意：符號3a中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．7．無理數（1）、定義：無限不循環(huán)小數叫做無理數．說明：無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環(huán)小數．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數與有理數的區(qū)別：①把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環(huán)小數，比如4＝4.0，13=0.33333…而無理數只能寫成無限不循環(huán)小數，比如2②所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能．（3）學習要求：會判斷無理數，了解它的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環(huán)小數，③含有π的數，如分數π2是無理數，因為π無理數常見的三種類型（1）開不盡的方根，如2，（2）特定結構的無限不循環(huán)小數，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數，如2π．注意：判斷一個數是否為無理數，不能只看形式，要看化簡結果．如16是有理數，而不是無理數．8．實數與數軸（1）實數與數軸上的點是一一對應關系．任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．9．實數大小比較實數大小比較（1）任意兩個實數都可以比較大?。龑崝刀即笥?，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數比大小，絕對值大的反而?。?）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．10．估算無理數的大小估算無理數大小要用逼近法．思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．11．實數的運算（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．【規(guī)律方法】實數運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算