《動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型舉例》課件

動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型舉例本課件將通過幾個(gè)例子，詳細(xì)介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的應(yīng)用及實(shí)現(xiàn)。課程導(dǎo)引課程目標(biāo)幫助學(xué)生掌握動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的基本思想、應(yīng)用場景及常見問題類型學(xué)習(xí)內(nèi)容動(dòng)態(tài)規(guī)劃的概念、算法思想、常用技巧及應(yīng)用舉例教學(xué)模式理論講解、案例分析、代碼演示、互動(dòng)練習(xí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃概述動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將復(fù)雜問題分解成多個(gè)子問題，并存儲(chǔ)子問題的解以避免重復(fù)計(jì)算的方法。它常用于優(yōu)化問題，例如尋找最短路徑、最優(yōu)資源分配和最優(yōu)策略等。使用場景最優(yōu)路徑問題例如，尋找地圖上兩點(diǎn)之間的最短路徑，或者規(guī)劃物流配送路線。資源分配問題比如，分配有限資源以最大化收益，例如分配生產(chǎn)任務(wù)或分配廣告預(yù)算。決策優(yōu)化問題例如，在投資組合管理中，選擇最佳資產(chǎn)組合以最大化回報(bào)。優(yōu)點(diǎn)與局限性優(yōu)點(diǎn)解決復(fù)雜問題、優(yōu)化效率局限性空間復(fù)雜度高、難以理解算法思想1分解問題將大問題分解成若干子問題2存儲(chǔ)結(jié)果將子問題的解存儲(chǔ)起來，避免重復(fù)計(jì)算3遞推求解利用子問題的解，遞推求解原問題狀態(tài)定義狀態(tài)定義定義問題每個(gè)階段的特征，用于描述問題求解過程中的狀態(tài)，例如當(dāng)前位置、已選物品等。狀態(tài)定義舉例斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)，背包問題中已選物品的重量，矩陣連乘問題中已連乘的矩陣范圍等。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程1定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述了從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過程。它基于當(dāng)前狀態(tài)和已知信息來計(jì)算目標(biāo)狀態(tài)的值。2公式狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通常用數(shù)學(xué)公式表示，例如：dp[i]=dp[i-1]+cost[i]。其中dp[i]表示第i個(gè)狀態(tài)的值，cost[i]表示從第i-1個(gè)狀態(tài)到第i個(gè)狀態(tài)的代價(jià)。3應(yīng)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的核心，用于遞歸地構(gòu)建最優(yōu)解。它將問題分解成子問題，并利用子問題的解來計(jì)算最終解。邊界條件初始狀態(tài)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通常需要一個(gè)初始狀態(tài)，代表問題最基本的情況。特殊情況一些動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題可能需要處理一些特殊情況，比如空串、空數(shù)組等。問題求解步驟1確定狀態(tài)2狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程3邊界條件4初始化5遍歷狀態(tài)斐波那契數(shù)列動(dòng)態(tài)規(guī)劃解狀態(tài)定義dp[i]表示第i個(gè)斐波那契數(shù)的值狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]邊界條件dp[0]=0,dp[1]=1問題求解計(jì)算dp[n]即為第n個(gè)斐波那契數(shù)的值矩陣連乘問題1問題描述給定n個(gè)矩陣A1，A2，...，An，要求計(jì)算它們的乘積A1A2...An，并找出最優(yōu)的加括號方案，使得乘法運(yùn)算次數(shù)最少。2動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想將問題分解成子問題，并利用子問題的解來求解原問題，避免重復(fù)計(jì)算。3狀態(tài)定義定義狀態(tài)dp[i][j]表示矩陣Ai到Aj的乘積最少需要的乘法次數(shù)。4狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+pi-1pkpj}，其中k∈[i,j-1]5邊界條件當(dāng)i=j時(shí)，dp[i][j]=0背包問題1問題描述給定一個(gè)背包，容量為C，以及n個(gè)物品，每個(gè)物品都有重量wi和價(jià)值vi。要求選擇若干物品放入背包，使得背包中物品的總價(jià)值最大，且總重量不超過背包容量。2動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解定義dp[i][j]表示從前i個(gè)物品中選取總重量不超過j的最大價(jià)值。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+vi)最長公共子序列1問題定義求解兩個(gè)字符串的最長公共子序列2動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想利用子問題的最優(yōu)解構(gòu)建問題的最優(yōu)解3狀態(tài)定義dp[i][j]表示字符串A的前i個(gè)字符和字符串B的前j個(gè)字符的最長公共子序列長度4狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程if(A[i]==B[j])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;elsedp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])5邊界條件dp[0][j]=dp[i][0]=0編輯距離定義編輯距離是指將一個(gè)字符串轉(zhuǎn)換為另一個(gè)字符串所需的最小操作次數(shù)。操作允許的操作包括插入、刪除和替換字符。應(yīng)用廣泛應(yīng)用于拼寫檢查、文本相似度計(jì)算和基因序列比對等領(lǐng)域。股票買賣問題問題描述給定一個(gè)股票價(jià)格的數(shù)組，找出最佳的買賣時(shí)機(jī)，以獲得最大利潤。動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路定義狀態(tài)dp[i]表示在第i天賣出股票所能獲得的最大利潤。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i]=max(dp[i-1],prices[i]-minPrice)邊界條件dp[0]=0,minPrice=prices[0]硬幣找零問題1問題描述給定不同面值的硬幣和一個(gè)目標(biāo)金額，求最少需要多少枚硬幣才能湊出目標(biāo)金額。2動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路定義狀態(tài)dp[i]表示湊出金額i所需的最少硬幣數(shù)量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)。3邊界條件dp[0]=0，表示湊出金額0所需硬幣數(shù)量為0。01背包問題1問題描述給定一個(gè)容量為**W**的背包，和**N**個(gè)物品，每個(gè)物品都有重量**w[i]**和價(jià)值**v[i]**。2目標(biāo)如何選擇物品放入背包，使得背包內(nèi)物品的總價(jià)值最大？3約束每個(gè)物品只能選擇放入背包或不放入，不能部分放入。完全背包問題1無限物品每個(gè)物品可以無限次選擇2容量限制背包容量有限制3最大價(jià)值求最大總價(jià)值多重背包問題1物品數(shù)量限制每個(gè)物品有固定的數(shù)量限制2價(jià)值與重量每個(gè)物品有對應(yīng)的價(jià)值和重量3背包容量限制背包容量有限，不能裝下所有物品分組背包問題1物品分組將所有物品劃分為若干個(gè)組，每個(gè)組中的物品相互獨(dú)立。2組內(nèi)選擇對于每個(gè)組，可以選取該組中的若干個(gè)物品，但最多只能選擇一個(gè)物品。3總體最大價(jià)值目標(biāo)是選取一些物品，使得它們的總價(jià)值最大。樹型動(dòng)態(tài)規(guī)劃1樹形結(jié)構(gòu)適用于樹形結(jié)構(gòu)上的問題2自底向上從葉子節(jié)點(diǎn)開始，逐步向上計(jì)算3狀態(tài)表示用節(jié)點(diǎn)信息表示狀態(tài)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的記憶化搜索優(yōu)化遞歸記憶化搜索本質(zhì)上是遞歸，但它使用一個(gè)表來存儲(chǔ)已計(jì)算過的結(jié)果，以避免重復(fù)計(jì)算。這種方法在遞歸過程中避免了重復(fù)計(jì)算，提高了效率。減少冗余通過記憶化搜索，每次遇到重復(fù)子問題時(shí)，不再重新計(jì)算，而是直接從存儲(chǔ)表中獲取結(jié)果，節(jié)省了大量的計(jì)算時(shí)間。動(dòng)態(tài)規(guī)劃常見問題類型路徑規(guī)劃問題尋找最短路徑、最長路徑等。背包問題如何選擇物品以最大化價(jià)值。博弈問題尋找最優(yōu)策略以贏得游戲。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)分解問題將原問題分解成多個(gè)子問題，每個(gè)子問題的最優(yōu)解可以用來構(gòu)建原問題的最優(yōu)解。組合最優(yōu)利用子問題的最優(yōu)解，以某種方式將它們組合起來，得到原問題的最優(yōu)解。重疊子問題特性動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法中，子問題可能被多次重復(fù)計(jì)算。重復(fù)計(jì)算會(huì)導(dǎo)致效率低下。動(dòng)態(tài)規(guī)劃通過保存子問題的解來避免重復(fù)計(jì)算。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法模板1定義狀態(tài)確定問題的子問題，并定義一個(gè)狀態(tài)變量來表示子問題的解。2確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程找到當(dāng)前狀態(tài)的解與之前狀態(tài)解之間的關(guān)系，并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。3確定邊界條件找到最小子問題的解，作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的初始值。4遞推求解根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和邊界條件，自底向上遞推計(jì)算出最終狀態(tài)的解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題求解要點(diǎn)明確問題準(zhǔn)確理解問題，確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件。分解問題將問題分解成相互重疊的子問題。定義狀態(tài)用狀態(tài)變量表示子問題的解。建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述子問題之間的遞推關(guān)系。課程總結(jié)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種強(qiáng)大的算法思想，在解決各種優(yōu)化問題方面有著廣泛的應(yīng)用。掌握動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思路和技巧，可以幫助我們更高效