2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2023年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

考生須知

1.本試卷共6頁，共兩部分，三道大題，28道小題.滿分100分.考試時間120分鐘.

2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號.

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.截至2023年6月11日17時，全國冬小麥?zhǔn)湛?.39億畝，進度過七成半，將239000000用科學(xué)記數(shù)法表

示應(yīng)為（）

A.23.9xlO7B.2.39x108C.239xlO9D.0.239xlO9

【答案】B

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為4X10"，其中1＜忖＜10,〃為整數(shù)，且八

比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：239000000=2.39x1（）8，

故選：B.

【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為

axlO",其中1＜忖V10,〃為整數(shù)，且〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,解題的關(guān)鍵是要正確確定。和〃的

值.

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義進行判斷即可.

【詳解】解：A既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故符合要求;

B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合要求；

C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；

D是粗對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著

某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內(nèi)，

一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形.

3.如圖，ZAOC=/BOD=90°，ZAOD=126°,則NBOC的大小為（）

A.36°B.44°C.54°D.63°

【答案】C

【解析】

【分析】由NAOC=N88=90。，ZAOD=126°,可求出NCOO的度數(shù)，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系

求解.

【詳解】???/4OC=90。，NAOD=126。，

:./COD=ZAOD-ZAOC=36°，

???/BOD=90。,

...ZBOC-ZBOD-ZCOD-90°-36°-54°.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是角的計算，注意此題的解題技巧：兩個直角相加和NAQD相比，多加了

NBOC.

4.己知。一1>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.—B.-a<-\<\<a

C.-a<-l<a<\D.—\<-a<\<a

【答案】B

【解析】

【分析】由〃一1>0可得則。>0,根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：〃-1>0得4>1,則?！?,

**?—uv—1viva,

故選：B.

【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意：當(dāng)不等式兩邊同時乘以一個負數(shù)，則不等式的符號需要改變.

5.若關(guān)于x的一元二次方程/一3%+機=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)加的值為（）

99

A.-9B.一一C.-D.9

44

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=（）,進而即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程f—3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，

:.S=b2-4ac=9—4/n=0.

9

解得：m=—.

4

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程a?+以+c=o（。A0,%b,c為常數(shù)）的根的判別式

△=Z/-4ac，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵.當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實

數(shù)根；當(dāng)△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)A<0時，方程沒有實數(shù)根.

6.十二邊形的外用列為（）

A.30°B.150°C.360°D.1800°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360。進行解答即可.

【詳解】解：???多邊形的外角和為360。

???十二邊形的外角和是360°.

故選：C.

【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和的求法，掌握多邊形的外角和為360。是解題的關(guān)鍵.

7.先后兩次拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）

【詳解】解：如圖，過D作￡）F_LAE于尸，則四邊形ACDF是矩形,

,:DF<DE，

???a+b<c,①正確，故符合要求；

■:/\EAB^BCD,

:.BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,ZABE=NCDB,

???/CBD+/CDB=90°,

Z.CBD+zLABE=90°,"BD=9（T,

:.△BOE是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BE=yjAB2+AE2=yja2+tr?

'：AB+AE>BE

:?a+b>\la?+b?，②正確，故符合要求；

由勾股定理得0E2=8Z）2+8E2,即。2=2（/+〃），

.??c=&xJ7壽<J5（a+b），③正確，故符合要求；

故選：D.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等二角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰二角形的判定，不等式的性

質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運月.

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.若代數(shù)式三有意義，則實數(shù)x的取直范圍是_____.

x-2

【答案】xw2

【解析】

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可.

詳解】解：若代數(shù)式三有意義，則人一2。0,

x-2

解得：xw2,

故答案為：x豐2.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關(guān)鍵.

10.分解因式：x2j-y3=.

【答案】y（x+y\x-y）

【解析】

【詳解】試題分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=y（x+y）（x-y）

考點：分解因式

點評：本題難度中等，主要考查學(xué)生對多項式提公因式分解因式等知識點的篁握.需要運用平方差公式.

31

11.方程——=一的解為____.

5x+l2x

【答窠】x=\

【解析】

【分析】方程兩邊同時乘以2x（5x+l）化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以2x（5x+l）,得6x=5x+l,

解得：x=\?

經(jīng)檢驗，X=1是原方程的解，

故答案為：x=\.

【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

12.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若函數(shù)y=&（ZwO）的圖象經(jīng)過點4（-3,2）和8（八-2）,則機的值為

X

【答案】3

【解析】

【分析】先把點A坐標(biāo)代入求出反比例函數(shù)解析式，再把點B代入即可求出加的值.

【詳解】解：,??函數(shù)》=2（々工（））的圖象經(jīng)過點人（一3,2）和8（團,一2）

???把點人（一3,2）代入得2=-3乂2=-6,

???反比例函數(shù)解析式為y=

x

把點3（八一2）代入得：-2=3，

解得：m=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)

圖象上的點的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

13.某廠生產(chǎn)了1（X）0只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進行檢測，獲得

了它們的使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)整理如下：

使用壽命x<10001000<x<16001600<x<22002200<x<2800x>2800

燈泡只數(shù)51012176

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為只.

【答案】460

【解析】

【分析】用1000乘以抽查的燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡所占的比例即可.

【詳解】解：估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為1000xU1g=460

50

（只），

故答案為：460.

【點睛】本題考查了用樣本估計總體，用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也就越精

確.

BE

14.如圖，直線4D,BC交于點、O,ABNEFhCD芾AO=2,OF=\,ED=2.則=的值為

【解析】

【分析】由平行線分線段成比例可得，要=整=4,空=工=?得出AO=2QE,EC=2OE,

OEOF1ECFD2

BE2OE+OE3

EC20E2'

【詳解】ABEFCD,AO=2,OF=l,

.BO=A。=2

?.瓦―赤一

:.BO=2OE,

OE=OF=\

~EC~~FD~^

:.EC=2OE,

.BE2OE+OE_3

'~EC~~2OE~2；

3

故答案為：—.

2

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.

15.如圖，Q4是。O的半徑，BC是。。的弦，OA_LBC于點D,AE是。0的切線，AE交OC的延

長線于點E.若NAOC=45。，BC=2,則線段AE的長為.

【答案】a

【解析】

【分析】根據(jù)。得出NOOC=90。，DC=^BC=1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出

2

OC=6DC=6'即。A=OC=JL根據(jù)NOAE=90。，N4OC=45。，得出AAOE為等腰直角三

角形，即可得出AE=OA=J5-

【詳解】解：???Q4_L8C,

，NO￡)C=90。，DC=-BC=\.

2

■:ZAOC=45°，

:.一ODC為等腰直角三角形，

二oc-4IDC-yfi，

???O4=OC="

???AE是。。的切線，

???ZOAE=90°,

VZAOC=45°,

???AAOE為等腰直角三角形，

?*,AE=OA=>/2?

故答案為：y/2?

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

垂徑定理，得出OC=4BC=1.

2

16.學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動實踐活動.己知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A,B,C,D,E,

F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序從。都完成后進行，工序戶須在工序C,。都完成

后進行；

②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進行其他工序；

③各道工序所需時間如下表所示：

工序ABCDEFG

所需時間/分鐘99797102

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要分鐘；若由兩名學(xué)

生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要分鐘.

【答案】①.53②.28

【解析】

【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學(xué)生單獨完成需要的時間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、

乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做工序4,乙學(xué)生同時做工序&然后甲學(xué)生做工序。，乙學(xué)生同時做工序

C,乙學(xué)生工序。完成后接著做工序G；最后甲學(xué)生做工序E,乙學(xué)生同時做工序尸，然后可得答案.

【詳解】解：由題意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分鐘），

即由一名學(xué)生單獨完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；

假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，

???工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序B,力都完成后進行，且工序A,8都需要9分鐘完

成，

???甲學(xué)生做工序4,乙學(xué)生同時做工序8,需要9分鐘，

然后甲學(xué)生做工序O,乙學(xué)生同時做工序C,乙學(xué)生工序。完成后接著做工序G,需要9分鐘，

最后甲學(xué)生做工序E,乙學(xué)生同時做工序凡需要10分鐘，

，若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要9+9+10=28（分鐘），

故答案為：53,28；

【點睛】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22—23題，每

題5分，笫24題6分，笫25題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文

字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：4sin60°+f1l+|-2|-V12.

【答案】5

【解析】

【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負整數(shù)指數(shù)哥，絕對值和二次根式的性質(zhì)化簡，然后計算即可.

【詳解】解：原式=4x且+3+2-26

2

=26+3+2-26

=5.

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，牢記特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)累，絕對值和二次根

式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

x+2

x>----

18.解不等式組：3.

5x-3<5+x

【答案】lvx<2

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

x>------①

【詳解】3

5x-3<5+x?

解不等式①得：X>1

解不等式②得：x<2

，不等式的解集為：1cx<2

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵.

0已知》2"=。，求代數(shù)式常言后的值.

【答案】2

【解析】

【分析】先將分式進行化簡，再將x+2y-l=0變形整體代入化簡好的分式計算即可.

2(x+2y)_2

【詳解】解：原式=

(x+2y)2x+2y

由4+2>-1=0可得x+2y=l,

2

將x+2y=l代入原式可得，原式=-=2.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，注意整體代入思想的應(yīng)用.

20.如圖，在YA8CD中，點E,尸分別在BC,4D上，BE=DF,AC=EF.

（1）求證：四邊形AECV是矩形；

（2）AE=BE,AB=2,tanZACB=-,求8C的長.

2

【答案】（1）見解析（2）3&

【解析】

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出AF=EC,證明四邊形AEC尸是平行四邊形，然后根據(jù)對角線相

等的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；

（2）證明j.4既是等腰直角三角形，可得AE=BE=應(yīng)，然后再解直角三角形求出EC即可.

【小問1詳解】

證明：；四邊形4臺8是平行四邊形，

AAD=BC,AD//BC,

,:BE=DF,

:,AF=EC,

???四邊形AECF是平行四邊形，

?:AC=EF,

???平行四邊形AEC尸是矩形；

【小問2詳解】

解：由（1）知四邊形4成戶是矩形，

ZAEC=ZAEB=90°,

?；AE=BE,AB=2,

，是等腰直角三角形，

：?AE=BE=—AB=4I^

2

AP1

又???tanNACB=—=-,

EC2

.V2_1

??,

EC2

:?EC=2五,

：?BC=BE+EC=V2+2>/2=3>/2.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及解宜角三角形，熟練掌握相關(guān)判定

定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

21.對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白

處統(tǒng)稱為邊.一般情況下，天頭長與地頭長的比是6:4,左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的

L某人要裝裱一幅對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm,寬為27cm.若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求

邊的寬和天頭長.（書法作品選自《啟功法書》）

裝裱后的寬

天頭3F

頭

L長

..1

裝

裱

后

一

邊

0邊

0

c的

m長

【........F

;地頭長

zj-------

「27cm”邊的寬地頭

【答案】邊的寬為4cm,天頭長為24c7人

【解析】

2)1一

【分析】設(shè)天頭長為xcm,則地頭長為gxcm,邊的寬為看x+cmn^xcm,再分別表示礎(chǔ)裝裱后

3)6

的長用寬，根據(jù)裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)天頭長為xcm,

由題意天頭長與地頭長的比是6:4,可知地頭長為Zxcm,

3

If2A1

邊的寬為VXcm=-xcm,

10\3/6

（2\{5}

裝裱后的長為一x+x+100km=-x+100cm

133）\3>

（11A（1、

裝裱后的寬為-x+-x+27cm=-A+27cm,

（66；\3；

由題意可得：|x+100=^1x+27x4

解得i=24,

1）

:.—A=4,

6

答：邊的寬為4cm,天頭長為24cm.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，題中的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要合理設(shè)未知數(shù)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)

系.

22.在平面直角坐標(biāo)系X。，中，函數(shù)y=仕*0）的圖象經(jīng)過點4（0,1）和3（1,2）,與過點（0,4）且平

行于/軸的線交于點C

（1）求該函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x<3時，對于x的每一個值，函數(shù)丁=的值大于函數(shù)y=Ax+b（攵工0）的值且小于4,直

接寫出〃的值.

【答案】（1）y=x+i,C（3,4）；

（2）n=2.

【解析】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點C的縱坐標(biāo)為4,代入函數(shù)解析式求出點C的

橫坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出當(dāng)y=〃過點（3,4）時滿足題意，代入（3,4）求出〃的值即可.

【小問1詳解】

（h=l

解：把點A（0,l）,3。,2）代入丁=丘+6（女工0）得：/4+6_2，

b=1

解得：.

b=\

???該函數(shù)的解析式為y=x+i,

由題意知點。的縱坐標(biāo)為4,

當(dāng)y=x+l=4時，

解得：x=3,

:.C（3,4）；

【小問2詳解】

解：由（1）知：當(dāng)冗=3時，y=x+l=4,

2

因為當(dāng)xv3時，函數(shù)y=的值大于函數(shù)y=x+i的值且小于4,

2

所以如圖所示，當(dāng)〉=1工+〃過點（3,4）時滿足題意，

2

代入（3,4）得：4=-X3+M,

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)

用，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

23.某校舞蹈隊共16名學(xué)生，測量并獲取了所有學(xué)生的身高（單位：cm）,數(shù)據(jù)整理如下:

416名學(xué)生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,

166,167,168,168,170,172,172,175

力.16名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù):

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

166.75mn

（1）寫出表中〃?，〃的值；

（2）對于不同組的學(xué)生，如果一組學(xué)生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好.據(jù)此推斷:

在下列兩組學(xué)生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是（填“甲組”或“乙組”）；

甲組學(xué)生的身高162165165166166

乙組學(xué)生的身高161162164165175

（3）該舞蹈隊要選五名學(xué)生參加比賽.已確定三名學(xué)生參賽，他們的身高分別為168,168,172,他們的

身高的方差為至.在選另外兩名學(xué)生時，首先要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)

生的身高的方差小于一，其次要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的平均

9

數(shù)盡可能大，則選出的另外兩名學(xué)生的身高分別為和.

【答案】(1)m=166??=165；

(2)甲組(3)170,172

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

(2)計算每一組的方差，根據(jù)方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定進行判斷即可；

32

(3)根據(jù)要求，身高的平均數(shù)盡可能大且方差小于一，結(jié)合其余學(xué)生的身高即可做出選擇.

9

【小問1詳解】

解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,

168,170,172,172,175,

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是165,出現(xiàn)了3次，即眾數(shù)〃=165,

16個數(shù)據(jù)中的第8和第9個數(shù)據(jù)分別是166,166,

...166+166

，中位數(shù)加=---------=166,

2

???加=166,〃=165；

【小問2詳解】

解：甲組身高的平均數(shù)為((162+165+165+166+166)=164.8,

甲組身高的方差為

[[(162-164.8『+(165-164.8)2+(165-164.8『+(166-164.8『+(166-164.8)2=2.16

乙組身高的平均數(shù)為1(161+162+164+165+175)=165.4,

乙組身高的方差為

([(161-165.4)2+(162-165.4)2+(164—165.4『+(165-165.4)2+(175-165.4)[=25.04,

V25.04>2.16

???舞臺呈現(xiàn)效果更好的是甲組,

故答案為：甲組；

【小問3詳解】

解：168,168,172的平均數(shù)為((168+168+172)=169；

32

???所選的兩名學(xué)生與己確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的方差小于至，

???數(shù)據(jù)差別較小，數(shù)據(jù)才穩(wěn)定，

可供選擇的有：170,172,

且選擇170,172時，平均數(shù)會增大，

故答案為：170,172.

【點睛】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，熟記方差的計算公式以及方差的意義：方差越小數(shù)據(jù)

越穩(wěn)定是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，圓內(nèi)接四邊形A3CZ)的對角線AC,BD交于點E，BO平分/ABC,ZBAC=ZADB.

(1)求證OB平分/AQC，并求—BAD的大??；

(2)過點。作C尸〃AO交A8的延長線于點尸.若AC=AD,BF=2,求此圓半徑的長.

【答案】(1)見解析，ZA4D-900

(2)4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知得出A8=6C，貝!NAO8=NCD8,即可證明38平分NADC，進而根據(jù)8。平

分/A3C,得出AO=CO,推出84D=BCQ，得出BO是直徑，進而可得N84)=90。；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，N尸=90。，AAPC是等邊三角形，進而得出

ZCDB=-Z/lZ)C=30o,由80是直徑，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得=，在

22

為△B”1中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得8c的長，進而即可求解.

【小問1詳解】

解：?:/BAC=ZADB

：?AB-BC，

ZADB=ZCDB,即OB平分NAPC.

???平分N4BC，

：?ZABD=NCBD,

,AD=CD，

?**AB+AD=BC+CD^即84。=88，

，是直徑，

AZBAD=90°：

【小問2詳解】

解：,：NBAD=90°,CF//AD,

ZF+ZBAD=180°,則Nb=900.

AD=CD>

:.AD=DC.

,:AC=ADf

:.AC=AD=CD，

???A/LDC是等邊三角形，則NAZ)C=60。.

???8。平分/ADC,

???ZCDB=-ZADC=30°.

2

???8。是直徑，

AZBCD=90%則

2

*/四逅形ABCZ)是圓內(nèi)接四邊形，

???ZADC+ZABC=180°,則ZABC=120%

:.NfBC=60。，

???ZFCB=90°-60o=30°,

???FB=-BC.

2

???BF=2,

???8C=4,

???BD=2BC=S.

???是直徑，

???此圓半徑的長為』80=4.

2

【點睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，含30度角

的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.

25.某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略.部分內(nèi)容如下.

每次清洗1個單位質(zhì)量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800要求清洗后的清潔度為0.990

方案一：采用一次清洗的方式.

結(jié)果：當(dāng)用水量為19個單位質(zhì)量時，清洗后測得的清潔度為0.990.

方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為占個單位質(zhì)量，第二次用水量為4個單位質(zhì)量，總用水量為(％+/)個單位質(zhì)量，兩次

清洗后測得的清潔度為C.記錄的部分實驗數(shù)據(jù)如下：

411.09.09.07.05.54.5353.03.02.01.0

巧0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

%+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

對以上實驗數(shù)據(jù)進行分析，補充完成以下內(nèi)容.

(I)選出。是0.990的所有數(shù)據(jù)組，并劃“；

(11)通過分析(I)中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫第一次用水量芯和總用水量為之間的關(guān)系，

在平面直角坐標(biāo)系X。)，中畫出此函數(shù)的圖象;

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

->

O2345678910111213X

結(jié)果：結(jié)合實驗數(shù)據(jù)，利用所畫的函數(shù)圖象可以推斷，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為個單位質(zhì)量（精確到個位）

時，總用水量最小.

根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)和結(jié)果，解決下列問題：

（1）當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)水約個單位質(zhì)

量（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；

（2）當(dāng)采用兩次清洗的方式時，若第一次用水量為6個單位質(zhì)量，總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清洗后

的清潔度C0.990（填“>”“二”或）.

【答案】（I）見解析；（H）見解析，4；（1）11.3；（2）<

【解析】

【分析】（I）直接在表格中標(biāo)記即可；

（II）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點連線即可做出函數(shù)圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象找到最低點，可得第一次用水量約為4

個單位質(zhì)量時，總用水量最??；

（1）根據(jù)表格可得，用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，用水量為7.7個單位質(zhì)量，計算即可；

（2）根據(jù)表格可得當(dāng)?shù)谝淮斡盟繛?個單位質(zhì)量，總用水量超過8個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達

至I」0.990,若總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清潔度達不到0.990.

【詳解】（I）表格如下：

為11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

08

七1.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

斗+x2

0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

C11

V7VV4qV

由圖象可得，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為4個單位質(zhì)量（精確到個位）時，總用水量最??；

（1）當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，用水量為7.7個單位質(zhì)量，

19-7.7=11.3,

即可節(jié)水約11.3個單位質(zhì)量；

（2）由圖可得，當(dāng)?shù)谝淮斡盟繛?個單位質(zhì)量，總用水量超過8個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達到

0.990,

第一次用水量為6個單位質(zhì)量，總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度Cv0.990,

故答案為：＜.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)數(shù)據(jù)描繪函數(shù)圖象、從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵.

26.在平面宜角坐標(biāo)系xOy中，"（馬,必）是拋物線丁二"2+法+《。＞0）上任意兩點，設(shè)

拋物線的對稱軸為"=1.

⑴若對于玉=1,4=2有%=%，求/的值；

（2）若對于0＜占＜1,1＜X2＜2,都有,＜當(dāng)，求/的取值范圍.

3

【答案】（1）/=-

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可求解:

（2）根據(jù)題意可得（為，匕）離對稱軸更近，X）＜x2,則（占，/）與（巧，尸2）的中點在對稱軸的右側(cè)，根據(jù)

對稱性求得土也＜3,進而根據(jù)土也＞/,即可求解.

2222

【小問1詳解】

解：,:對于玉=1,&=2有,，

???拋物線的對稱軸為直線%=土上歪=2,

22

???拋物線的對稱軸為x=r.

??.一；

2

【小問2詳解】

解：?.?當(dāng)0＜玉＜1,1v毛＜2,

1x3

:Q-V------V—，X]V々,

222

???,＜%，。＞0，

???（w，％）離對稱軸更近，百＜/，貝IJ（苞，/）與（須，/）的中點在對稱軸的右側(cè)，

2

即

2

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵.

27.在d4BC中、ZB=ZC=a（O°＜tz＜45°）,AMLBC于點M,。是線段MC上的動點（不與點M,

。重合），將線段DM繞點力順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

（1）如圖1,當(dāng)點￡在線段AC上時，求證：。是MC的中點；

（2）如圖2,若在線段3M上存在點尸（不與點B,M重合）滿足。/二DC,連接AE，EF,直接寫

出/AM的大小，并證明.

【答案】（1）見解析（2）ZAEF=90°,證明見解析

【解析】

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DW=￡）石，NMDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出/DEC=a=NC,

可得OE=OC,等量代換得到0M=QC即可；

（2）延長FE到”使莊=￡77,連接C〃，AH，可得?！辏菏茄娟?的中位線，然后求出N5=NAC”,

設(shè).DM=DE=m,CD=n,求出BF=2m=CH,證明AA3bmi4a/（SAS）,得到A/=A/7,再根

據(jù)等腰三角形三線合一證明AE_LF”即可.

【小問1詳解】

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE，ZMDE=2a,

???NC=a,

:./DEC=/MDE-NC=a,

???/C=NDEC,

:.DE-DC,

:?DM=DC,即。是MC的中點；

【小問2詳解】

ZA￡T=90°；

證明：如圖2,延長所到“使莊=石“，連接C〃，AH，

??,DF=DC,

???OE是V/OT的中位線，

ADE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE，ZMDE=2a,

:./FCH=2a,

VZB=ZC=a,

AZACH=a,d3C是等腰三角形，

:?NB=NACH,AB=AC,

設(shè)DM=DE=m,CD=n,則CH=2m,CM=m+〃，

:.DF=CD=n,

:.FM=DF—DM=n—m，

■:AMLBCy

:.BM=CM=m+n,

:.BF=BM—FM=m+〃一(〃一根)=2根,

:?CH=BF,

AB=AC

在△鉆尸和AAC“中，ZB=ZACHt

BF=CH

???cAB尸mACH(SAS),

：?AF=AH^

,:FE=EH,

AAE±FH^即//正尸=90。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外

角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

28.在平面直角坐標(biāo)系工。＞，中，的半徑為1.對于OO的弦A3和OO外一點。給出如下定義:

若直線C4,中一條經(jīng)過點0,另一條是OO的切線，則稱點。是弦的“關(guān)聯(lián)點”.

①在點G（r傷，°），仙五）中，弦