第十六章 虛位移原理課件

第十六章虛位移原理第十六章虛位移原理第十六章虛位移原理2

在第一篇靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的一個(gè)原理，它從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，將它與達(dá)朗伯原理相結(jié)合，就可得到一個(gè)解答動(dòng)力學(xué)問題的動(dòng)力學(xué)普遍方程。動(dòng)力學(xué)第十六章虛位移原理3§16–1約束及其分類

§16–2自由度廣義坐標(biāo)

§16–3虛位移和虛功

§16–4理想約束

§16–5虛位移原理第十六章虛位移原理第十六章虛位移原理4

§16-1約束及其分類動(dòng)力學(xué)

一、約束及約束方程

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。將約束的限制條件以數(shù)學(xué)方程來表示，則稱為約束方程。

平面單擺例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)第十六章虛位移原理5動(dòng)力學(xué)

根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機(jī)構(gòu)例子中的限制條件都是幾何約束。

當(dāng)約束對質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行限制時(shí)，這種約束條件稱為運(yùn)動(dòng)約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)。第十六章虛位移原理6動(dòng)力學(xué)幾何約束：運(yùn)動(dòng)約束：

當(dāng)約束條件與時(shí)間有關(guān)，并隨時(shí)間變化時(shí)稱為非定常約束。約束條件不隨時(shí)間改變的約束為定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時(shí)間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環(huán)的細(xì)繩系住。初始時(shí)擺長

l0,勻速v拉動(dòng)繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時(shí)間

t第十六章虛位移原理7動(dòng)力學(xué)

如果在約束方程中含有坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（例如運(yùn)動(dòng)約束）而且方程中的這些導(dǎo)數(shù)不能經(jīng)過積分運(yùn)算消除，即約束方程中含有的坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不是某一函數(shù)全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達(dá)。3、完整約束和非完整約束

如果約束方程中不含有坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中雖有坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但這些導(dǎo)數(shù)可以經(jīng)過積分運(yùn)算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。第十六章虛位移原理8

在兩個(gè)相對的方向上同時(shí)對質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)限制的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單面約束。動(dòng)力學(xué)

例如：車輪沿直線軌道作純滾動(dòng)，是微分方程，但經(jīng)過積分可得到（常數(shù)），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束

幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運(yùn)動(dòng)約束，但運(yùn)動(dòng)約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2l繩x2+y2

l2l第十六章虛位移原理9動(dòng)力學(xué)

雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。

我們只討論質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質(zhì)點(diǎn)系所受的約束數(shù)目，n為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)）第十六章虛位移原理10動(dòng)力學(xué)

§16-2自由度廣義坐標(biāo)

一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置：（

x,y,z)3個(gè)一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置：(xi

,yi

,

zi)(i=1,2……n)3n個(gè)對一個(gè)非自由質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整約束，（3n-s)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。其自由度為

k=3n-s。

確定一個(gè)受完整約束的質(zhì)點(diǎn)系的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度的數(shù)目，簡稱為自由度。

例如,前述曲柄連桿機(jī)構(gòu)例子中,確定曲柄連桿機(jī)構(gòu)位置的四個(gè)坐標(biāo)xA、yA、xB、yB須滿足三個(gè)約束方程,因此有一個(gè)自由度。第十六章虛位移原理11動(dòng)力學(xué)一般地，受到s個(gè)約束的、由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度為

通常，n與s很大而k很小。為了確定質(zhì)點(diǎn)系的位置，用適當(dāng)選擇的k個(gè)參數(shù)（相互獨(dú)立），要比用3n個(gè)直角坐標(biāo)和s個(gè)約束方程方便得多。用來確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的。廣義坐標(biāo)可以取線位移（x,y,z,s

等）也可以取角位移（如

,

,

,

等）。在完整約束情況下，廣義坐標(biāo)的數(shù)目就等于自由度數(shù)目。第十六章虛位移原理12動(dòng)力學(xué)例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)，則：

廣義坐標(biāo)選定后，質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)都可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。第十六章虛位移原理13動(dòng)力學(xué)

例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動(dòng)。兩個(gè)自由度取廣義坐標(biāo)

，

第十六章虛位移原理14動(dòng)力學(xué)

一般地，設(shè)有由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有k個(gè)自由度，取q1、q2、……、qk為其廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)及矢徑可表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。第十六章虛位移原理15動(dòng)力學(xué)§16-3虛位移和虛功

在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)過程的某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質(zhì)點(diǎn)系（在該瞬時(shí)）的虛位移。

虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號

表示虛位移。M第十六章虛位移原理16動(dòng)力學(xué)

虛位移與真正運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同。實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時(shí)間無關(guān)。

在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實(shí)位移不再是虛位移之一。第十六章虛位移原理17動(dòng)力學(xué)

質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間存在著一定的關(guān)系,確定這些關(guān)系通常有兩種方法：(一)幾何法。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。第十六章虛位移原理18動(dòng)力學(xué)

(二)解析法。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)（q1,q2,……,qk），廣義坐標(biāo)分別有變分，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為第十六章虛位移原理19動(dòng)力學(xué)[例1]

分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，點(diǎn)C、A與B的虛位移。

(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個(gè)自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角

為廣義坐標(biāo)。1、幾何法第十六章虛位移原理20動(dòng)力學(xué)將C、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo)

的函數(shù)，得2、解析法對廣義坐標(biāo)

求變分，得各點(diǎn)虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：第十六章虛位移原理21動(dòng)力學(xué)力在質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為。第十六章虛位移原理22動(dòng)力學(xué)§16-4理想約束

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，質(zhì)點(diǎn)系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。

質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束的條件：第十六章虛位移原理23動(dòng)力學(xué)理想約束的典型例子如下：1、光滑支承面2、光滑鉸鏈3、無重剛桿4、不可伸長的柔索5、剛體在粗糙面上的純滾動(dòng)第十六章虛位移原理24動(dòng)力學(xué)§16-5虛位移原理

一、虛位移原理具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即解析式：第十六章虛位移原理25動(dòng)力學(xué)

證明：(1)必要性：即質(zhì)點(diǎn)系處于平衡時(shí)，必有∵質(zhì)點(diǎn)系處于平衡∴選取任一質(zhì)點(diǎn)Mi也平衡。對質(zhì)點(diǎn)Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：第十六章虛位移原理26動(dòng)力學(xué)(2)充分性：即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系滿足，質(zhì)點(diǎn)系一定平衡。若，而質(zhì)點(diǎn)系不平衡，則至少有第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)不平衡。

在方向上產(chǎn)生實(shí)位移，取，則對質(zhì)點(diǎn)系：(理想約束下，)與前題條件矛盾故時(shí)質(zhì)點(diǎn)系必處于平衡。第十六章虛位移原理27動(dòng)力學(xué)

二、虛位移原理的應(yīng)用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下平衡時(shí)的約束反力；4、求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。第十六章虛位移原理28動(dòng)力學(xué)例1

圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力大小P和Q之間的關(guān)系。解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。第十六章虛位移原理29動(dòng)力學(xué)1、幾何法：使A發(fā)生虛位移，B的虛位移