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文檔簡介
相似矩陣與二次型第一節(jié)正交矩陣引入:我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過直角坐標(biāo)系中向量的數(shù)量積(點(diǎn)乘)。計(jì)算公式:兩向量和的數(shù)量積:n維向量的內(nèi)積正是上述數(shù)量積的推廣。定義4.1.1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)實(shí)數(shù)說明
1.維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣,但是沒有3維向量直觀的幾何意義。顯然有:2.內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算。如果都是列向量,內(nèi)積可用矩陣記號表示為:內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)定義4.1.2
令長度范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì):二、向量的長度及夾角解單位向量夾角定義4.1.3
1正交的概念2正交向量組的概念正交定義4.1.4
若一非零向量組中的向量兩兩正交,則稱該向量組為正交向量組。三、向量組的正交性零向量與任何向量都正交。證明3正交向量組的性質(zhì)定理4.1.1以左乘上式兩端,得注意:此定理反之不真。
設(shè)是一組線性無關(guān)的向量組,找一組兩兩正交的單位向量組,使和等價(jià)。這稱之為將向量組規(guī)范正交化。4把向量組規(guī)范正交化的方法(1)正交化?。喝羰且唤M線性無關(guān)的向量組。那么,兩兩正交,并且與等價(jià)。(2)單位化?。荷鲜鲇删€性無關(guān)向量組構(gòu)造出正交向量組的過程稱為施密特正交化過程。那么就是一組規(guī)范正交化的向量組。例1
用施密特正交化方法,將向量組正交規(guī)范化.解
先正交化,取再單位化,得規(guī)范正交向量組如下四、正交矩陣與正交變換
A為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是單位向量且兩兩正交。證明定義4.1.5正交矩陣定理4.1.2例2
判別下列矩陣是否為正交陣。解(1)考察矩陣的第一列和第二列,由于所以它不是正交矩陣。由于所以它是正交矩陣。性質(zhì):(1)若為正交矩陣,則即也是正交矩陣,并且證:(2)若、都是正交矩陣,則也是正交矩陣。證:定義4.1.6
若P為正交陣,則線性變換稱為正交變換。性質(zhì)
正交變換保持向量的長度不變。證明第二節(jié)方陣的特征值
與特征向量
定義4.2.1
設(shè)A是階方陣,如果數(shù)和維非零列向量,使關(guān)系式成立,那末,這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值,非零向量稱為A的對應(yīng)于特征值的特征向量。一、特征值與特征向量的概念(1)式的等價(jià)形式為該齊次方程組有非零解的充要條件是例1
設(shè)求A的特征值與特征向量.解第一步:寫出特征多項(xiàng)式第二步:求解特征方程令=0,解得:第三步:將代入方程組,求其解,即得到對應(yīng)于的特征向量。當(dāng)時(shí),對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即:得相應(yīng)的同解方程組為:其基礎(chǔ)解系為:因此,對應(yīng)于的特征向量可取為同理,可得對應(yīng)于的特征向量為例2
設(shè)求A的特征值與全部特征向量.解得的特征值為:解之得基礎(chǔ)解系為:性質(zhì)4.2.1設(shè)是方陣的特征值一般地,特征值的特征向量記為性質(zhì)4.2.2
矩陣的一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.性質(zhì)4.2.3
階方陣與具有相同的特征值.例3
證明:若是矩陣A的特征值,是A的屬于的特征向量,則證明再繼續(xù)施行上述步驟次,就得否則,設(shè)則有由于可逆,故推出矛盾。
性質(zhì)4.2.4設(shè)是方陣的特征值,若則是的特征值。設(shè)2是方陣的一個(gè)特征值,則的一個(gè)特征值為解:由已知,得因此可逆,且所以,由特征值的性質(zhì),有故的特征值為
設(shè)3階矩陣的特征值為1,-1,2,求:例4于是,定理4.2.1證明則即類推之,有把上列各式合寫成矩陣形式,得注意1.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。2.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量。3.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一;一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。4.
的n個(gè)特征值就是第三節(jié)相似矩陣
定義4.3.1
設(shè)A,B都是階方陣,若有可逆方陣P,使則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與矩陣B相似.對A進(jìn)行運(yùn)算稱為對A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.一、相似矩陣的概念與性質(zhì)定理4.3.1
若A與B相似,則A
的特征值與B的特征值相同.證明推論4.3.1
若階方陣A與對角陣?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式.
定理
4
.3.2
階方陣A與對角矩陣相似(即A能對角化)的充分必要條件是A有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.證明二、方陣的對角化命題得證.
如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等,則A與對角陣相似.如果A的特征方程有重根,此時(shí)不一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,從而矩陣A不一定能對角化,但如果能找到n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,A還是能對角化。推論4.3.2說明例1
判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣?解所以基礎(chǔ)解系中必含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量.故必有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量,因而可以對角化.又當(dāng)時(shí),故B不能化為對角矩陣.當(dāng)時(shí),顯然,故B
沒有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量.A能否對角化?若能對角例2解解之得基礎(chǔ)解系所以A可對角化.注意即矩陣P的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)。例3問取何值時(shí),能對角化?解:令,解得的特征值為:當(dāng)時(shí),因此,三、實(shí)對稱矩陣的對角化說明:本節(jié)所提到的對稱矩陣,除非特別說明,均指實(shí)對稱矩陣。定理4.3.3
對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).定理4.3.4
設(shè)是對稱矩陣的兩個(gè)特征值,是對應(yīng)的特征向量,若,則與正交。
推論4.3.3定理4.3.5說明設(shè)A的互不相等的特征值為它們的重?cái)?shù)依次為這樣的特征向量共可得n個(gè).
由定理4.3.4知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交,故這n個(gè)單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣P,則求A的特征值;將特征向量正交化;將特征向量單位化.
根據(jù)上述結(jié)論,利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣,其具體步驟為:1234(1)解:第一步求A的特征值例4求出正交矩陣P,使為對角陣.設(shè)解之得基礎(chǔ)解系
解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化第四節(jié)二次型一、二次型的概念及其矩陣稱為二次型.定義4.4.1只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(法式).例如都為二次型;為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.如果標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)只在1,0,-1三個(gè)數(shù)中取,即稱為二次型的規(guī)范型.系數(shù)為實(shí)數(shù)的二次型稱為實(shí)二次型;系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次型稱為復(fù)二次型.注:若沒有特別說明,本節(jié)中所討論的為實(shí)二次型.1.用和號表示對二次型二次型的表示方法2.用矩陣表示記:則二次型可記為:在二次型的矩陣表示中,任給一個(gè)二次型,就唯一地確定一個(gè)對稱矩陣;反之,任給一個(gè)對稱矩陣,也可唯一地確定一個(gè)二次型。這樣,二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。對稱矩陣A叫做二次型f的矩陣;f叫做對稱矩陣A的二次型;對稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩。解例設(shè)二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型,我們討論的主要問題是:尋求可逆的線性變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。證明即B為對稱矩陣.定理4.4.1注意:稱這樣的矩陣與合同。要使二次型f經(jīng)可逆變換X=CY變成標(biāo)準(zhǔn)型,就是要使定理4.4.2推論4.4.1用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟1.寫出二次型的矩陣解1.寫出對應(yīng)的二次型矩陣,并求其特征值例1將二次型通過正交變換x=Py
,使其化為標(biāo)準(zhǔn)形。接下來利用例4.3.2的結(jié)果,求出正交矩陣于是有正交變換x=Py,使f化為標(biāo)準(zhǔn)形如果要把二次型f化為規(guī)范形,只需令即得f的規(guī)范形三、慣性定理一個(gè)實(shí)二次型,既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形,顯然,其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的,但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的,項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩。下面我們限定所用的變換為實(shí)變換,來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)。定理4.3.3(慣性定理)第五節(jié)正定二次型為正定二次型為負(fù)定二次型一、正定二次型的定義定義4.5.1例如定理4.5.1證明先證充分性.故二、正定二次型的判別再證必要性,用反證法.故
對稱矩陣A為正定的充分必要條件是:
A的特征值全為正.推論4.5.1
若對稱矩陣A正定,則A的行列式大于零,反之未必.推論4.5.2定理4.5.2
對稱矩陣A為正定的充分必要條件是:A的各階主子式為正,即對稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是:奇數(shù)階主子式為負(fù),而偶數(shù)階主子式為正,即這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理.解它的順序
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