經(jīng)濟數(shù)學-線性代數(shù)課件：相似矩陣與二次型

相似矩陣與二次型第一節(jié)正交矩陣引入：我們曾經(jīng)學習過直角坐標系中向量的數(shù)量積（點乘）。計算公式：兩向量和的數(shù)量積：n維向量的內(nèi)積正是上述數(shù)量積的推廣。定義4.1.1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)實數(shù)說明

1.維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義。顯然有:2.內(nèi)積是向量的一種運算。如果都是列向量，內(nèi)積可用矩陣記號表示為：內(nèi)積的運算性質(zhì)定義4.1.2

令長度范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：二、向量的長度及夾角解單位向量夾角定義4.1.3

１正交的概念２正交向量組的概念正交定義4.1.4

若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組。三、向量組的正交性零向量與任何向量都正交。證明３正交向量組的性質(zhì)定理4.1.1以左乘上式兩端，得注意：此定理反之不真。

設是一組線性無關的向量組，找一組兩兩正交的單位向量組，使和等價。這稱之為將向量組規(guī)范正交化。4把向量組規(guī)范正交化的方法（1）正交化?。喝羰且唤M線性無關的向量組。那么，兩兩正交，并且與等價。（2）單位化?。荷鲜鲇删€性無關向量組構造出正交向量組的過程稱為施密特正交化過程。那么就是一組規(guī)范正交化的向量組。例1

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取再單位化，得規(guī)范正交向量組如下四、正交矩陣與正交變換

A為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是單位向量且兩兩正交。證明定義4.1.5正交矩陣定理4.1.2例2

判別下列矩陣是否為正交陣。解（1）考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它不是正交矩陣。由于所以它是正交矩陣。性質(zhì)：（1）若為正交矩陣，則即也是正交矩陣，并且證：（2）若、都是正交矩陣，則也是正交矩陣。證：定義4.1.6

若P為正交陣，則線性變換稱為正交變換。性質(zhì)

正交變換保持向量的長度不變。證明第二節(jié)方陣的特征值

與特征向量

定義4.2.1

設A是階方陣，如果數(shù)和維非零列向量,使關系式成立，那末，這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值，非零向量稱為A的對應于特征值的特征向量。一、特征值與特征向量的概念(1)式的等價形式為該齊次方程組有非零解的充要條件是例1

設求A的特征值與特征向量.解第一步：寫出特征多項式第二步：求解特征方程令＝0，解得：第三步：將代入方程組，求其解，即得到對應于的特征向量。當時，對應的特征向量應滿足即：得相應的同解方程組為：其基礎解系為：因此，對應于的特征向量可取為同理，可得對應于的特征向量為例2

設求A的特征值與全部特征向量.解得的特征值為：解之得基礎解系為：性質(zhì)4.2.1設是方陣的特征值一般地，特征值的特征向量記為性質(zhì)4.2.2

矩陣的一個特征向量只能屬于一個特征值.性質(zhì)4.2.3

階方陣與具有相同的特征值.例3

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得否則，設則有由于可逆，故推出矛盾。

性質(zhì)4.2.4設是方陣的特征值，若則是的特征值。設2是方陣的一個特征值，則的一個特征值為解：由已知，得因此可逆，且所以，由特征值的性質(zhì)，有故的特征值為

設3階矩陣的特征值為1，-1，2，求：例4于是，定理4.2.1證明則即類推之，有把上列各式合寫成矩陣形式，得注意１.屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。２.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量。３.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值。4.

的n個特征值就是第三節(jié)相似矩陣

定義4.3.1

設A，B都是階方陣，若有可逆方陣P，使則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與矩陣B相似.對A進行運算稱為對A進行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.一、相似矩陣的概念與性質(zhì)定理4.3.1

若A與B相似，則A

的特征值與B的特征值相同.證明推論4.3.1

若階方陣A與對角陣利用上述結論可以很方便地計算矩陣A的多項式.

定理

4

.3.2

階方陣A與對角矩陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A有個線性無關的特征向量.證明二、方陣的對角化命題得證.

如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似.如果A的特征方程有重根，此時不一定有n個線性無關的特征向量，從而矩陣A不一定能對角化，但如果能找到n個線性無關的特征向量，A還是能對角化。推論4.3.2說明例1

判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解所以基礎解系中必含有兩個線性無關的解向量.故必有3個線性無關的特征向量,因而可以對角化.又當時,故B不能化為對角矩陣.當時,顯然,故B

沒有3個線性無關的特征向量.A能否對角化？若能對角例2解解之得基礎解系所以A可對角化.注意即矩陣P的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應。例3問取何值時，能對角化？解：令，解得的特征值為：當時，因此，三、實對稱矩陣的對角化說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣。定理4.3.3

對稱矩陣的特征值為實數(shù).定理4.3.4

設是對稱矩陣的兩個特征值，是對應的特征向量，若，則與正交。

推論4.3.3定理4.3.5說明設A的互不相等的特征值為它們的重數(shù)依次為這樣的特征向量共可得n個.

由定理4.3.4知對應于不同特征值的特征向量正交，故這n個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕嫵烧痪仃嘝，則求A的特征值;將特征向量正交化;將特征向量單位化.

根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：1234（1）解：第一步求A的特征值例4求出正交矩陣P，使為對角陣.設解之得基礎解系

解之得基礎解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化第四節(jié)二次型一、二次型的概念及其矩陣稱為二次型.定義4.4.1只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形(法式).例如都為二次型；為二次型的標準形.如果標準型的系數(shù)只在1，0，-1三個數(shù)中取，即稱為二次型的規(guī)范型.系數(shù)為實數(shù)的二次型稱為實二次型；系數(shù)為復數(shù)的二次型稱為復二次型.注：若沒有特別說明，本節(jié)中所討論的為實二次型.1.用和號表示對二次型二次型的表示方法2.用矩陣表示記：則二次型可記為：在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型。這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系。對稱矩陣A叫做二次型f的矩陣；f叫做對稱矩陣A的二次型；對稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩。解例設二、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形。證明即B為對稱矩陣.定理4.4.1注意：稱這樣的矩陣與合同。要使二次型f經(jīng)可逆變換X=CY變成標準型，就是要使定理4.4.2推論4.4.1用正交變換化二次型為標準形的具體步驟1.寫出二次型的矩陣解1.寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值例1將二次型通過正交變換x=Py

，使其化為標準形。接下來利用例4.3.2的結果，求出正交矩陣于是有正交變換x=Py，使f化為標準形如果要把二次型f化為規(guī)范形，只需令即得f的規(guī)范形三、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標準形，也可以通過拉格朗日配方法化為標準形，顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩。下面我們限定所用的變換為實變換，來研究二次型的標準形所具有的性質(zhì)。定理4.3.3（慣性定理）第五節(jié)正定二次型為正定二次型為負定二次型一、正定二次型的定義定義4.5.1例如定理4.5.1證明先證充分性.故二、正定二次型的判別再證必要性，用反證法.故

對稱矩陣A為正定的充分必要條件是：

A的特征值全為正.推論4.5.1

若對稱矩陣A正定，則A的行列式大于零，反之未必.推論4.5.2定理4.5.2

對稱矩陣A為正定的充分必要條件是：A的各階主子式為正，即對稱矩陣A為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負，而偶數(shù)階主子式為正，即這個定理稱為霍爾維茨定理.解它的順序