經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：相似矩陣與二次型

相似矩陣與二次型第一節(jié)正交矩陣引入：我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)直角坐標(biāo)系中向量的數(shù)量積（點(diǎn)乘）。計(jì)算公式：兩向量和的數(shù)量積：n維向量的內(nèi)積正是上述數(shù)量積的推廣。定義4.1.1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)實(shí)數(shù)說(shuō)明

1.維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣，但是沒(méi)有3維向量直觀的幾何意義。顯然有:2.內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算。如果都是列向量，內(nèi)積可用矩陣記號(hào)表示為：內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)定義4.1.2

令長(zhǎng)度范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：二、向量的長(zhǎng)度及夾角解單位向量夾角定義4.1.3

１正交的概念２正交向量組的概念正交定義4.1.4

若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向量組為正交向量組。三、向量組的正交性零向量與任何向量都正交。證明３正交向量組的性質(zhì)定理4.1.1以左乘上式兩端，得注意：此定理反之不真。

設(shè)是一組線性無(wú)關(guān)的向量組，找一組兩兩正交的單位向量組，使和等價(jià)。這稱之為將向量組規(guī)范正交化。4把向量組規(guī)范正交化的方法（1）正交化取：若是一組線性無(wú)關(guān)的向量組。那么，兩兩正交，并且與等價(jià)。（2）單位化?。荷鲜鲇删€性無(wú)關(guān)向量組構(gòu)造出正交向量組的過(guò)程稱為施密特正交化過(guò)程。那么就是一組規(guī)范正交化的向量組。例1

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取再單位化，得規(guī)范正交向量組如下四、正交矩陣與正交變換

A為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是單位向量且兩兩正交。證明定義4.1.5正交矩陣定理4.1.2例2

判別下列矩陣是否為正交陣。解（1）考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它不是正交矩陣。由于所以它是正交矩陣。性質(zhì)：（1）若為正交矩陣，則即也是正交矩陣，并且證：（2）若、都是正交矩陣，則也是正交矩陣。證：定義4.1.6

若P為正交陣，則線性變換稱為正交變換。性質(zhì)

正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變。證明第二節(jié)方陣的特征值

與特征向量

定義4.2.1

設(shè)A是階方陣，如果數(shù)和維非零列向量,使關(guān)系式成立，那末，這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值，非零向量稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。一、特征值與特征向量的概念(1)式的等價(jià)形式為該齊次方程組有非零解的充要條件是例1

設(shè)求A的特征值與特征向量.解第一步：寫出特征多項(xiàng)式第二步：求解特征方程令＝0，解得：第三步：將代入方程組，求其解，即得到對(duì)應(yīng)于的特征向量。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即：得相應(yīng)的同解方程組為：其基礎(chǔ)解系為：因此，對(duì)應(yīng)于的特征向量可取為同理，可得對(duì)應(yīng)于的特征向量為例2

設(shè)求A的特征值與全部特征向量.解得的特征值為：解之得基礎(chǔ)解系為：性質(zhì)4.2.1設(shè)是方陣的特征值一般地，特征值的特征向量記為性質(zhì)4.2.2

矩陣的一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.性質(zhì)4.2.3

階方陣與具有相同的特征值.例3

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得否則，設(shè)則有由于可逆，故推出矛盾。

性質(zhì)4.2.4設(shè)是方陣的特征值，若則是的特征值。設(shè)2是方陣的一個(gè)特征值，則的一個(gè)特征值為解：由已知，得因此可逆，且所以，由特征值的性質(zhì)，有故的特征值為

設(shè)3階矩陣的特征值為1，-1，2，求：例4于是，定理4.2.1證明則即類推之，有把上列各式合寫成矩陣形式，得注意１.屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。２.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量。３.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。4.

的n個(gè)特征值就是第三節(jié)相似矩陣

定義4.3.1

設(shè)A，B都是階方陣，若有可逆方陣P，使則稱B是A的相似矩陣，或說(shuō)矩陣A與矩陣B相似.對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.一、相似矩陣的概念與性質(zhì)定理4.3.1

若A與B相似，則A

的特征值與B的特征值相同.證明推論4.3.1

若階方陣A與對(duì)角陣?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式.

定理

4

.3.2

階方陣A與對(duì)角矩陣相似（即A能對(duì)角化）的充分必要條件是A有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證明二、方陣的對(duì)角化命題得證.

如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角陣相似.如果A的特征方程有重根，此時(shí)不一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣A不一定能對(duì)角化，但如果能找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，A還是能對(duì)角化。推論4.3.2說(shuō)明例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解所以基礎(chǔ)解系中必含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.故必有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,因而可以對(duì)角化.又當(dāng)時(shí),故B不能化為對(duì)角矩陣.當(dāng)時(shí),顯然,故B

沒(méi)有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.A能否對(duì)角化？若能對(duì)角例2解解之得基礎(chǔ)解系所以A可對(duì)角化.注意即矩陣P的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)。例3問(wèn)取何值時(shí)，能對(duì)角化？解：令，解得的特征值為：當(dāng)時(shí)，因此，三、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣。定理4.3.3

對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).定理4.3.4

設(shè)是對(duì)稱矩陣的兩個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，若，則與正交。

推論4.3.3定理4.3.5說(shuō)明設(shè)A的互不相等的特征值為它們的重?cái)?shù)依次為這樣的特征向量共可得n個(gè).

由定理4.3.4知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，故這n個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣P，則求A的特征值;將特征向量正交化;將特征向量單位化.

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：1234（1）解：第一步求A的特征值例4求出正交矩陣P，使為對(duì)角陣.設(shè)解之得基礎(chǔ)解系

解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化第四節(jié)二次型一、二次型的概念及其矩陣稱為二次型.定義4.4.1只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(法式).例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.如果標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)只在1，0，-1三個(gè)數(shù)中取，即稱為二次型的規(guī)范型.系數(shù)為實(shí)數(shù)的二次型稱為實(shí)二次型；系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次型稱為復(fù)二次型.注：若沒(méi)有特別說(shuō)明，本節(jié)中所討論的為實(shí)二次型.1.用和號(hào)表示對(duì)二次型二次型的表示方法2.用矩陣表示記：則二次型可記為：在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型。這樣，二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。對(duì)稱矩陣A叫做二次型f的矩陣；f叫做對(duì)稱矩陣A的二次型；對(duì)稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩。解例設(shè)二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。證明即B為對(duì)稱矩陣.定理4.4.1注意：稱這樣的矩陣與合同。要使二次型f經(jīng)可逆變換X=CY變成標(biāo)準(zhǔn)型，就是要使定理4.4.2推論4.4.1用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟1.寫出二次型的矩陣解1.寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例1將二次型通過(guò)正交變換x=Py

，使其化為標(biāo)準(zhǔn)形。接下來(lái)利用例4.3.2的結(jié)果，求出正交矩陣于是有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形如果要把二次型f化為規(guī)范形，只需令即得f的規(guī)范形三、慣性定理一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過(guò)拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩。下面我們限定所用的變換為實(shí)變換，來(lái)研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)。定理4.3.3（慣性定理）第五節(jié)正定二次型為正定二次型為負(fù)定二次型一、正定二次型的定義定義4.5.1例如定理4.5.1證明先證充分性.故二、正定二次型的判別再證必要性，用反證法.故

對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是：

A的特征值全為正.推論4.5.1

若對(duì)稱矩陣A正定，則A的行列式大于零，反之未必.推論4.5.2定理4.5.2

對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是：A的各階主子式為正，即對(duì)稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理.解它的順序