一輪復(fù)習(xí)(配北師版)第9章-解析幾何-高考解答題專項(xiàng)五-第3課時-圓錐曲線中的存在性(或證明)問題

高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第3課時圓錐曲線中的存在性(或證明)問題高考解答題專項(xiàng)五2023考情分析存在性問題與證明問題是近幾年高考試題對解析幾何考查的一種熱點(diǎn)題型,以判斷滿足條件的點(diǎn)、直線、參數(shù)是否存在,證明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,數(shù)量關(guān)系(等量或不等量)為主要呈現(xiàn)方式,多以解答題的形式考查.增素能精準(zhǔn)突破突破點(diǎn)一

圓錐曲線中的證明問題(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)A(0,b),B(0,-b),C(a,b),O(0,0),過B點(diǎn)且斜率為k(k>0)的直線l交E于另一點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)Q,直線AM與直線x=a相交于點(diǎn)P.證明:PQ∥OC.(1)解:由題可知2c=4,即c=2.∴橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為(-2,0),(2,0),由橢圓的定義知突破方法關(guān)于證明問題的解題方法(1)求值證明:對于定值、定點(diǎn)等類型的證明,通過計算,求出相應(yīng)的值、方程即可證明.(2)轉(zhuǎn)化證明:將要證明的命題轉(zhuǎn)化為斜率、弦長、中點(diǎn)、位置關(guān)系等.對點(diǎn)訓(xùn)練1(2021陜西寶雞一模)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l:y=2x+a與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).(1)若a=-1,求△FAB的面積;(2)已知圓M:(x-3)2+y2=4,過點(diǎn)P(4,4)作圓M的兩條切線,與曲線C交于另外兩點(diǎn)分別為D,E,求證:直線DE也與圓M相切.(2)證明:設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為x=t(y-4)+4,D(x1,y1),E(x2,y2).把x=t(y-4)+4代入拋物線方程可得y2-4ty+16t-16=0,Δ=16t2-4(16t-16)=16(t-2)2>0,t≠2.則4,y1是方程y2-4ty+16t-16=0的兩根,可得y1=4t1-4,同理y2=4t2-4.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,過定點(diǎn)P(2,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),連接AF并延長交橢圓C于M,求證:∠PFM=∠PFB.突破技巧1.轉(zhuǎn)化法證明:對于轉(zhuǎn)化法,先是對已知條件進(jìn)行化簡,根據(jù)化簡后的情況,將證明的問題轉(zhuǎn)化為另一問題,如將要證明的問題轉(zhuǎn)化為斜率、弦長、中點(diǎn)、位置關(guān)系等.2.答題模板對點(diǎn)訓(xùn)練2(2020河南開封三模)已知拋物線C:x2=2py(p>0),F為拋物線C的焦點(diǎn).以F為圓心,p為半徑作圓,與拋物線C在第一象限交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求拋物線C的方程;(2)直線y=kx+1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,設(shè)切線l1,l2的交點(diǎn)為P,求證:△PAB為直角三角形.(1)解:記拋物線C與圓F在第一象限的交點(diǎn)為M.由題意,圓F與拋物線C的準(zhǔn)線相切,且M到拋物線C準(zhǔn)線的距離等于圓F的半徑p.代入拋物線方程,得4=p2(p>0),所以p=2.拋物線C的方程為x2=4y.突破點(diǎn)二

圓錐曲線中的存在性問題

(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得

為常數(shù)?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值;若不存在,說明理由.突破技巧關(guān)于存在性問題的解題策略(1)直接求解,求出要探究的參數(shù)值、點(diǎn)、直線等,即可說明存在性,若無解,則不存在.(2)假設(shè)存在,并作為條件使用,結(jié)合已知條件進(jìn)行推導(dǎo),探究是否有矛盾,沒有矛盾符合題意則存在,否則不存在.(1)求E的方程;(2)設(shè)P為E上異于A1,A2的動點(diǎn),直線A1P與y軸交于點(diǎn)C,過A1作A1D∥PA2,交y軸于點(diǎn)D.試探究在x軸上是否存在一定點(diǎn)Q,使得

=3,若存在,求出點(diǎn)Q坐標(biāo);若不存在,說明理由.解法2

(1)同解法1.(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B1重合時,C點(diǎn)即B1(0,1),而點(diǎn)D即B2(0,-1),(1)求C的離心率e;(2)設(shè)A為C的左頂點(diǎn),Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點(diǎn),問是否存在常數(shù)λ(λ>0),使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.(2)當(dāng)QF2⊥x軸時,∠QF2A=90°,所以|AF2|=|F2Q|,則∠QAF2=45°,所以λ=2.下面證明一般情況也成立.下面證明當(dāng)Q為第一象限內(nèi)C上的除了使∠QF2A=90°的任意一點(diǎn)時,∠QF2A=2∠QAF2,設(shè)Q(x0,y0),因?yàn)椤螿F2A∈(0°,90°)∪(90°,180°),2∠QAF2∈(0°,90°)∪(90°,180°),突破技巧對條件中角相等關(guān)系的使用,一般把角的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的等量關(guān)系,取哪一種三角函數(shù),要根據(jù)圖形中角的位置決定,若角的一邊平行于坐標(biāo)軸,角的位置比較正,一般取正切,這樣與直線的斜率能建立聯(lián)系,若角的兩邊都不平行坐標(biāo)軸,一般取余弦,可用向量的數(shù)量積表示.在平面直角坐標(biāo)系中,∠ABC的角平分線l的一個方向向量可表示為對點(diǎn)訓(xùn)練4(2021廣東湛江一模