2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（蘇科版）第十二章 二次根式（復(fù)合二次根式化簡和應(yīng)用拓展）（原卷版）

第十二章二次根式復(fù)合二次根式化簡典例1閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)．形如，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使，且，則可變形為．從而達(dá)到化去一層根號的目的．例如化簡，且，．(1)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：______；(2)當(dāng)時(shí)，化簡．典例2閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)了二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．這樣就可以將進(jìn)行化簡，即：．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：對于，若能找到兩個(gè)數(shù)m和n，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．（其中a，b，m，n均為正整數(shù)）例如：∵，∴．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)化簡；(2)化簡；(3)若，求a的值．跟蹤訓(xùn)練1先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡．經(jīng)過思考①，②，③，④，在上述化簡過程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡的正確結(jié)果為；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：①②跟蹤訓(xùn)練2閱讀材料：小李同學(xué)在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小李同學(xué)進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小李同學(xué)就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學(xué)的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．(3)化簡：．二次根式應(yīng)用問題典例3如圖，在長方形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片則圖中空白部分的面積為（

）．A． B． C． D．典例4【閱讀下列材料】：若，，則，，∴．（注：）∵，，∴．“”稱為“基本不等式”，利用它可求一些代數(shù)式的最值及解決一些實(shí)際問題．（a、b為正數(shù)；積定和最?。缓投ǚe最大；當(dāng)時(shí)，取等號．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，

∴，∴．∴時(shí)，的最小值為8．【解決問題】(1)用籬笆圍成一個(gè)面積為的長方形菜園，當(dāng)這個(gè)長方形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長是多少；(2)用一段長為的籬笆圍成一個(gè)長方形菜園，當(dāng)這個(gè)長方形的邊長是多少時(shí)，菜園面積最大？最大面積是多少；(3)如圖，四邊形的對角線相交于點(diǎn)O，、的面積分別為2和3，求四邊形面積的最小值．跟蹤訓(xùn)練3如圖，長方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形：正方形和正方形，面積分別為1和2，那么圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練4閱讀理解：由得，；如果兩個(gè)正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當(dāng)，式子的最小值為；(2)如圖1，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米的長方形花園，使這個(gè)長方形花園的一邊靠墻（墻長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊），這個(gè)長方形的長、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

(3)如圖2，四邊形的對角線相交于點(diǎn)，的面積分別是6和12，求四邊形面積的最小值．

1、如圖，將長、寬的長方形剪拼成一個(gè)正方形，則正方形邊長為．2．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一個(gè)三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積為．已知的三邊長分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．3、閱讀下列材料，解決問題：①∵∴∴②∵∴∴……由此可知，部分含有雙重二次根式的式子可以運(yùn)用以上方法進(jìn)行化簡．(1)化簡：；(2)現(xiàn)有長度分別為，，的三條線段，以這三條線段的長為邊能否構(gòu)成三角形？請說明理由.4、先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個(gè)問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡的正確結(jié)果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．5、閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積S=．這個(gè)公式