現(xiàn)代物化電子教案：湖南大學(xué)112三種統(tǒng)計(jì)的最概然分布培訓(xùn)教材

1.2

三種統(tǒng)計(jì)的最概然分布1.2.1玻爾茲曼分布

（1）有簡(jiǎn)并度時(shí)定位體系的分布能級(jí)ε0

ε1

ε2

······εi

······簡(jiǎn)并度g0g1g2······gi

······粒子分布數(shù)n0n1n2······ni

······∑ni

=N(粒數(shù)守恒)∑εini

=U(能量守恒)設(shè)體系：N個(gè)粒子、體積為V、能量為U體系中的粒子按能級(jí)分布（Xi)：滿足：先從N個(gè)分子中選出N0個(gè)粒子放在能級(jí)上，取法有下列種:

但能極上有個(gè)不同狀態(tài)，每個(gè)分子在能極上都有種放法，所以共有種放法；這樣將N0個(gè)粒子放在能極上，共有 種微態(tài)數(shù)。依次類推，這種分配方式的微態(tài)數(shù)為：能級(jí)ε0

ε1

ε2

······εi······簡(jiǎn)并度g0

g1

g2

······gi······粒子分布數(shù)N0N1N2······Ni······總微觀狀態(tài)數(shù)為：適用于獨(dú)立定域子體系。例題一個(gè)系統(tǒng)，由彼此獨(dú)立的一維諧振子組成，系統(tǒng)的總能量為，3個(gè)諧振子定域在a,b,c附近振動(dòng)，試計(jì)算該系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)。已知一維諧振子的能量為：解答：(2)非定位體系分布的微觀狀態(tài)數(shù)

非定位體系由于粒子不能區(qū)分，它在能級(jí)上分布的微態(tài)數(shù)一定少于定位體系，所以對(duì)定位體系微態(tài)數(shù)的計(jì)算式進(jìn)行等同粒子的修正，即將計(jì)算公式除以。

則非定位體系在U、V、N一定的條件下，所有的總微態(tài)數(shù)為：非定位體系分布的微觀狀態(tài)數(shù)

（3）無簡(jiǎn)并度定位體系的最概然分布ii當(dāng)Ni適合于(1.12)式的那種分配是微觀狀態(tài)數(shù)最多的一種分配,這種分配叫做最概然分布。因它不同一般的分配,我們加以*號(hào)以示區(qū)別即:

1Ne1*=+?ab

Neii*=+?ab

例如將(1.6)對(duì)N1微商:

ln!lnln∑Ni∑NilnNi

NNNN

i+--=-=

??lnlnlnNNNNN1111111=--+=-代入(1.10a)式得:

lnN11=+?ab或

11?+=baeN

(1.11)同樣可得到:ieNi?+=ba

(1.12)

i∑

lnNi!

玻茲曼的最概然分布公式若考慮簡(jiǎn)并度，則定域子體系的玻爾茲曼最概然分布為：

討論：

、稱為玻爾茲曼因子，它與能量零點(diǎn)的選取有關(guān)。、、定義分母為粒子的配分函數(shù)。表示單粒子所有可及能級(jí)上的有效量子態(tài)數(shù)之和。稱能級(jí)i的有效量子態(tài)數(shù)。配分函數(shù)q決定了系統(tǒng)的粒子在各能級(jí)的分布情況。決定系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，宏觀狀態(tài)函數(shù)可以通過配分函數(shù)求出，因此，配分函數(shù)就是連系系統(tǒng)微觀性質(zhì)和宏觀性質(zhì)之間的橋梁。

在上述M-B分布定律中，假設(shè)在能級(jí)的任意量子狀態(tài)上都可以容納任意數(shù)量的粒子，但從量子力學(xué)原理和實(shí)驗(yàn)事實(shí)的觀察中知道，這一假設(shè)是不完全正確的。

對(duì)于等同粒子，有兩種情況，精確的描述需用量子統(tǒng)計(jì)。1.2.2BOSE-EINSTEIN統(tǒng)計(jì)玻色子:自選為波函數(shù)為對(duì)稱的每個(gè)量子態(tài)中容納的粒子數(shù)不受限制不受泡利原理限制的量子氣體，如光子及含電子、中子和質(zhì)子的總數(shù)為偶數(shù)的分子或原子。(1)在能級(jí)i上的分布相當(dāng)于將ni個(gè)球投入一個(gè)由gi個(gè)連續(xù)格子構(gòu)成的盒子內(nèi)，即將ni個(gè)球與（gi-1）個(gè)隔板一起進(jìn)行組合:(2)玻色子在εi能級(jí)上的分布(3)玻色子分布（X)的微觀狀態(tài)數(shù)(4)玻色子分布的總微觀狀態(tài)數(shù)(5)玻色-愛因斯坦最概然分布

(P9~10)

玻色子系的最概然分布為：1.2.3費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)（1）

費(fèi)米子:波函數(shù)為反對(duì)稱遵守保利不相容原理，且gi>ni

如電子、質(zhì)子、中子和由奇數(shù)個(gè)基本粒子組成的原子和分子（D,3Li,9Be,13C,17O,NO)(2)費(fèi)米子在εi能級(jí)上的分布在某一能級(jí)εi上的分布相當(dāng)于ni個(gè)只有一個(gè)粒子的格子與（gi-1）個(gè)空格一起進(jìn)行組合(3)費(fèi)米-狄拉克分布的微觀狀態(tài)數(shù)(P10～11)2、體系總分布的微觀狀態(tài)數(shù)1、體系某分布（X）的微觀狀態(tài)數(shù)(4)費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)

（費(fèi)米子的最概然分布P10～11）◎共同點(diǎn)：β表達(dá)一致◎異同點(diǎn)：描述不同體系

MB分布→粒子遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律

1.2.4三種統(tǒng)計(jì)分布的比較→粒子遵守量子力學(xué)規(guī)律BE分布FD分布MB分布→◎

α表達(dá)有區(qū)別：BE和FD分布→◎聯(lián)系：當(dāng)溫度不太低，密度不太高，粒子質(zhì)量不太小時(shí)，，BE分布和FD分布可轉(zhuǎn)化為MB分布第二小節(jié)思考題某分子的許可能級(jí)是ε0，ε1，ε2，簡(jiǎn)并度為g0=1,g1=2,g2=1,五個(gè)可別粒子按照N0=2,N1=2,N2=1的分布方式分配在三個(gè)能級(jí)上，則該分布方式的樣式數(shù)

為多少？答案：120在下列表達(dá)式中，不屬于M-B分布的是：ABCD答案：B答案：28A

可別粒子體系最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)

B

不可別粒子體系某一分布的微觀狀態(tài)數(shù)

C

晶體中某一分布的微觀狀態(tài)數(shù)

D

理想氣體中某一分布的微觀狀態(tài)

答案：CABCD答案：D課后文獻(xiàn)閱讀推薦文獻(xiàn)（1）量子力學(xué)是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的自然推廣北京大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)1994

03

2貓態(tài)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)性質(zhì)量子光學(xué)學(xué)報(bào)1996

02

3量子統(tǒng)計(jì)向經(jīng)典統(tǒng)計(jì)過渡的條件安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)1998044經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與貝爾定理常州工學(xué)院學(xué)報(bào)199804

5論經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)與量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的公理假設(shè)北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)1999

01

6經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理與量子統(tǒng)計(jì)物理的比較與討論新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào)(漢文版)1999

04

7Bayes統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法及其在水文水資源中的應(yīng)用長(zhǎng)江職工大學(xué)學(xué)報(bào)2000

018理想氣體量子統(tǒng)計(jì)到經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的過渡廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2000

04

9經(jīng)典統(tǒng)計(jì)適用條件的討論龍巖師專學(xué)報(bào)200003

10經(jīng)典統(tǒng)計(jì)4粒子關(guān)聯(lián)模式的演化方程及其圖形表示柳州師專學(xué)報(bào)200004

文獻(xiàn)（2）

陶瓷材料可靠性分析中的統(tǒng)計(jì)斷裂強(qiáng)度理論Ⅰ—經(jīng)典統(tǒng)計(jì)斷裂強(qiáng)度理論中國(guó)陶瓷20000512量子統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的區(qū)別和聯(lián)系

湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)2003.02.13物質(zhì)抗磁性的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)解釋