高等數(shù)學(xué)第二部分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)知識分享

第二節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系3.向量的模，兩點(diǎn)間距離5.向量的投影4.向量的方向角與方向余弦2.利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算一、空間直角坐標(biāo)系由三條兩兩互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.過空間一定點(diǎn)O,橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四個手指從正向x軸以2p角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向.橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)面卦限(八個)空間直角坐標(biāo)系Ⅶ面三個坐標(biāo)面把空間分成八個部分----卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)面卦限(八個)面面向量點(diǎn)M有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo),也稱為向量的坐標(biāo))向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑。點(diǎn)M與向量的坐標(biāo)相同?？臻g直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)點(diǎn)M坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C原點(diǎn)O(0,0,0);特殊點(diǎn)的坐標(biāo):坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:向徑點(diǎn)M有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo),稱為向量的坐標(biāo))向量稱為M原點(diǎn)O的向經(jīng)。點(diǎn)M與向量的坐標(biāo)相同。向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)M

則的坐標(biāo)為任意向量r

可用向徑OM

表示.坐標(biāo)x,y,z稱為向量r在三個坐標(biāo)軸上的分量向量xi,yj,zk稱為向量r在三個坐標(biāo)軸上的分向量二、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算向量的加,減,數(shù)乘運(yùn)算只需對向量的各個坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)運(yùn)算！即有平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:例1解:

例2.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即說明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB的中點(diǎn),于是三、向量的模，兩點(diǎn)間距離公式因?qū)牲c(diǎn)與例3.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為例4在z軸上求與點(diǎn)A(-4,1,7)和點(diǎn)B(3,5,-2)等距離的點(diǎn)解例5已知兩點(diǎn)A(4,0,5)和B(7,1,3)，求方向和AB相同的單位向量。四、向量的方向角與方向余弦與三坐標(biāo)軸的夾角

,

,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

方向余弦的性質(zhì):例6.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例7.設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限,解:已知角依次為求點(diǎn)A的坐標(biāo).則因點(diǎn)A在第一卦限,故于是故點(diǎn)A的坐標(biāo)為向徑OA與x軸y軸的夾稱為向量在軸u上的分向量.設(shè),則數(shù)稱為向量在軸u上的投影（或分量）記作五向量的投影是向量在軸上的投影是向量在軸上的投影是向量在軸上的投影對向量的投影與向量的坐標(biāo)兩個概念不加區(qū)分.關(guān)于向量投影具有與坐標(biāo)相同的的性質(zhì)：性質(zhì)1其中為與軸的夾角.性質(zhì)2性質(zhì)3例8.設(shè)立方體的一條對角線為O