第二章連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析§2.1引言§2.2微分方程的式的建立與求解§2.3系統(tǒng)的沖激響應(yīng)§2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定§2.5卷積積分的性質(zhì)1§2.1引言1/12/20252系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域表示時(shí)域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。

本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。1/12/20253系統(tǒng)分析過(guò)程經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過(guò)，但與

(t)有關(guān)的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決——h(t)；卷積積分法:

任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過(guò)沖激響應(yīng)來(lái)求。(新方法)1/12/20254本章主要內(nèi)容線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)h(t)的求解；卷積的圖解說(shuō)明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應(yīng)：。1/12/20255§2.2微分方程的式的建立與求解1/12/20256主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫(xiě)n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法1/12/20257許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述。一．微分方程的列寫(xiě)1/12/20258根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。1/12/20259二．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：列寫(xiě)方程，求解方程。

求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

1/12/202510齊次解：由特征方程→求出特征根→寫(xiě)出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。經(jīng)典法

全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。1/12/202511

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件

初始條件的確定是此課程要解決的問(wèn)題。1/12/202512三

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換系統(tǒng)響應(yīng)劃分對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1/12/2025131．起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換在一定條件下，激勵(lì)源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲(chǔ)能看作是激勵(lì)源。電容的等效電路電感的等效電路1/12/2025142．系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)

(Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

(Transient+Steady-state)1/12/202515也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。(1)自由響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：3、各種系統(tǒng)響應(yīng)定義1/12/202516是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。

由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。

(2)暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1/12/202517沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

(3)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：1/12/202518系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。4、求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即1/12/202519系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，激勵(lì)為單位沖激信號(hào)作用下的響應(yīng)，用表示?！?.3系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

1/12/202520由于沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)僅在t=0處作用，而在t>0的區(qū)間恒為零。也就是說(shuō)，激勵(lì)信號(hào)的作用是在t=0的瞬間給系統(tǒng)輸入了若干能量，貯存在系統(tǒng)的各貯能元件中，而在t>0系統(tǒng)的激勵(lì)為零，只有沖激引入的那些貯能在起作用，因而，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由上述貯能唯一地確定。1/12/202521+-列微分方程：一、簡(jiǎn)單電路可直接計(jì)算1/12/202522上式從到取積分，得電感電流在沖激信號(hào)作用下，從零躍變到由三要素公式得當(dāng)時(shí)，此時(shí)電路是一個(gè)特殊的零輸入響應(yīng)。1/12/202523與RL電路相對(duì)偶，可得RC電路的沖激響應(yīng)Rc+_1/12/202524二先計(jì)算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，然后利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系求沖激響應(yīng)與的關(guān)系（線性時(shí)不變系統(tǒng)）1/12/2025251/12/202526+-如1/12/202527例：如圖所示電路，R1=R2=1,c=1F,求階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)解：先用三要素法求階躍響應(yīng)+-1/12/202528從波形圖上也能得到同樣的結(jié)論：(0.5)0.2510.51/12/202529三、從微分方程求解得沖激響應(yīng)當(dāng)已知微分方程時(shí)，求解沖激響應(yīng)有兩種方法。(1)間接法：人為假設(shè)描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程右側(cè)只有一項(xiàng)，為則有1/12/202530當(dāng)時(shí)，由因果性為保證等式兩邊平衡，只能是第n階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含沖激函數(shù)。而且只有一項(xiàng)。這時(shí)則n-1階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含，而n-2階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含…,當(dāng)時(shí)，由于將是一個(gè)特殊的零輸入響應(yīng)，它取決于時(shí)的n個(gè)初始條件。1/12/202531在t=0處，只有是不連續(xù)的，而其余的如等都是連續(xù)的，因而的低于n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0處是連續(xù)的。即注意：…，，，…是一族很有用的函數(shù)。只有1/12/202532對(duì)上述微分方程兩邊取積分上式左邊只第一項(xiàng)不為零，其他項(xiàng)為零單位沖激信號(hào)引起的t=0+時(shí)的n個(gè)初始條件為1/12/202533一、卷積的圖解能夠直觀地理解卷積積分的計(jì)算過(guò)程，有助于確定更為一般的卷積積分的上下限。進(jìn)一步加深對(duì)其物理意義的理解。§2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定

1/12/2025344.相乘5.積分求函數(shù)的面積。求響應(yīng)，必須：1.換元（t)1/12/20253511t0130.5t0110130.50解：1/12/202536-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)當(dāng)-1+t<0即t<1時(shí)，-1+t-3+t011y(t)=0移動(dòng)距離

t前沿坐標(biāo)-1+t兩函數(shù)無(wú)公共的非零區(qū)域1/12/202537011-3+t-1+t-3+t-1+t0111/12/202538-3+t-1+t-3+t-1+t0110111/12/2025390.512341/12/20254010t解：(1)當(dāng)t<0時(shí)1t010ty(t)=01/12/2025410101tt1/12/202542二、卷積的另一種計(jì)算方法當(dāng)被卷積函數(shù)中有分段連續(xù)函數(shù)時(shí)，直接用公式1/12/202543用圖解來(lái)說(shuō)明。t-t2-t2t11/12/2025441/12/2025451/12/2025461/12/202547一、卷積代數(shù)(1)交換律如，輸入和沖激響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式互換位置，則零狀態(tài)響應(yīng)不變?！?.5卷積積分的性質(zhì)1/12/202548證：1/12/202549(2)分配律利用卷積的定義比較容易得到兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)1/12/2025501/12/202551兩次卷積運(yùn)算是二重積分，變換積分次序可得。(3)結(jié)合律兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)1/12/202552二、卷積的微分與積分(1)卷積的微分性質(zhì)1/12/202553(2)卷積的積分性質(zhì)(3)卷積的微積分性質(zhì)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，表示求重積分的次數(shù)。1/12/202554注意：應(yīng)用微積分性質(zhì)時(shí)，被積分的函數(shù)應(yīng)為可積函數(shù)，被求導(dǎo)的函數(shù)在處應(yīng)為零值。1/12/202555三、含有沖激函數(shù)的卷積由第二章第二節(jié)，任意信號(hào)的分解，記為1/12/202556即：任意函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積仍為該函數(shù)本身。即：即：任意函數(shù)與延遲沖激函數(shù)的卷積只是把該函數(shù)延遲了時(shí)間，而其波形不變。此性質(zhì)稱為沖激函數(shù)的重現(xiàn)性。1/12/202557沖激函數(shù)三個(gè)常用性質(zhì)小結(jié)：1.篩選性：(抽樣性)2.加權(quán)性：3.重現(xiàn)性：(“照相”)寫(xiě)詳細(xì)，為1/12/202558利用微積分性質(zhì)還可以得到推廣后，有利用卷積的性質(zhì)能大大簡(jiǎn)化卷積計(jì)算。1/12/2025591/12/202560-221A0(1)(1)tt0023-1-2At解：這類題只需要畫(huà)圖即可。1/12/202561-2T0At2Tt0AA2A02Tt-2TaA-T(1)(1)0Tt0Tt1/12/202562210t1-101t解：2t-1tt+111/12/202563t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+10211/12/2025641t-2t-1011-101t-2tt-2t1/12/2025651-101t-2tt-2t1-101t-2tt-2t1/12/2025661/12/202567例：已知波形如圖，求1021-10tt1/12/2025681/12/202569例：已知波形如圖，求0123t20123t1-1解：直接求卷積比較復(fù)雜，利用卷積的性質(zhì)及函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積較為簡(jiǎn)便1/12/202570結(jié)果如圖所示0123t(2)(2)0123t1-20123t2451/12/2025711/12