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文檔簡介
第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析§2.1引言§2.2微分方程的式的建立與求解§2.3系統(tǒng)的沖激響應(yīng)§2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定§2.5卷積積分的性質(zhì)1§2.1引言1/12/20252系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域表示時域分析方法:不涉及任何變換,直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式,這種方法比較直觀,物理概念比較清楚,是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。
本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。1/12/20253系統(tǒng)分析過程經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過,但與
(t)有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決——h(t);卷積積分法:
任意激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過沖激響應(yīng)來求。(新方法)1/12/20254本章主要內(nèi)容線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解;沖激響應(yīng)h(t)的求解;卷積的圖解說明;卷積的性質(zhì);零狀態(tài)響應(yīng):。1/12/20255§2.2微分方程的式的建立與求解1/12/20256主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法1/12/20257許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變,則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。一.微分方程的列寫1/12/20258根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng),主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束:表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。
網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束:由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL,KVL。1/12/20259二.求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法:列寫方程,求解方程。
求解方程時域經(jīng)典法就是:齊次解+特解。
1/12/202510齊次解:由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解:根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式,設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程,比較系數(shù)定出特解。經(jīng)典法
全解:齊次解+特解,由初始條件定出齊次解。1/12/202511
我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0,響應(yīng)為時的方程的解,初始條件
初始條件的確定是此課程要解決的問題。1/12/202512三
零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)起始狀態(tài)與激勵源的等效轉(zhuǎn)換系統(tǒng)響應(yīng)劃分對系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識1/12/2025131.起始狀態(tài)與激勵源的等效轉(zhuǎn)換在一定條件下,激勵源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲能看作是激勵源。電容的等效電路電感的等效電路1/12/2025142.系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)+強(qiáng)迫響應(yīng)
(Natural+forced)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)
(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)
(Transient+Steady-state)1/12/202515也稱固有響應(yīng),由系統(tǒng)本身特性決定,與外加激勵形式無關(guān)。對應(yīng)于齊次解。
形式取決于外加激勵。對應(yīng)于特解。(1)自由響應(yīng):強(qiáng)迫響應(yīng):3、各種系統(tǒng)響應(yīng)定義1/12/202516是指激勵信號接入一段時間內(nèi),完全響應(yīng)中暫時出現(xiàn)的有關(guān)成分,隨著時間t增加,它將消失。
由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。
(2)暫態(tài)響應(yīng):穩(wěn)態(tài)響應(yīng):1/12/202517沒有外加激勵信號的作用,只由起始狀態(tài)(起始時刻系統(tǒng)儲能)所產(chǎn)生的響應(yīng)。
不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用(起始狀態(tài)等于零),由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)。
(3)零輸入響應(yīng):零狀態(tài)響應(yīng):1/12/202518系統(tǒng)零輸入響應(yīng),實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解,由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。
系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng),是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解,由狀態(tài)值為零決定的初始值求出待定系數(shù)。
求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作,所以引出卷積積分法。4、求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積,即1/12/202519系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零,激勵為單位沖激信號作用下的響應(yīng),用表示?!?.3系統(tǒng)的沖激響應(yīng)
1/12/202520由于沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)僅在t=0處作用,而在t>0的區(qū)間恒為零。也就是說,激勵信號的作用是在t=0的瞬間給系統(tǒng)輸入了若干能量,貯存在系統(tǒng)的各貯能元件中,而在t>0系統(tǒng)的激勵為零,只有沖激引入的那些貯能在起作用,因而,系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由上述貯能唯一地確定。1/12/202521+-列微分方程:一、簡單電路可直接計算1/12/202522上式從到取積分,得電感電流在沖激信號作用下,從零躍變到由三要素公式得當(dāng)時,此時電路是一個特殊的零輸入響應(yīng)。1/12/202523與RL電路相對偶,可得RC電路的沖激響應(yīng)Rc+_1/12/202524二先計算系統(tǒng)的階躍響應(yīng),然后利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系求沖激響應(yīng)與的關(guān)系(線性時不變系統(tǒng))1/12/2025251/12/202526+-如1/12/202527例:如圖所示電路,R1=R2=1,c=1F,求階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)解:先用三要素法求階躍響應(yīng)+-1/12/202528從波形圖上也能得到同樣的結(jié)論:(0.5)0.2510.51/12/202529三、從微分方程求解得沖激響應(yīng)當(dāng)已知微分方程時,求解沖激響應(yīng)有兩種方法。(1)間接法:人為假設(shè)描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程右側(cè)只有一項,為則有1/12/202530當(dāng)時,由因果性為保證等式兩邊平衡,只能是第n階導(dǎo)數(shù)項包含沖激函數(shù)。而且只有一項。這時則n-1階導(dǎo)數(shù)項包含,而n-2階導(dǎo)數(shù)項包含…,當(dāng)時,由于將是一個特殊的零輸入響應(yīng),它取決于時的n個初始條件。1/12/202531在t=0處,只有是不連續(xù)的,而其余的如等都是連續(xù)的,因而的低于n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0處是連續(xù)的。即注意:…,,,…是一族很有用的函數(shù)。只有1/12/202532對上述微分方程兩邊取積分上式左邊只第一項不為零,其他項為零單位沖激信號引起的t=0+時的n個初始條件為1/12/202533一、卷積的圖解能夠直觀地理解卷積積分的計算過程,有助于確定更為一般的卷積積分的上下限。進(jìn)一步加深對其物理意義的理解?!?.4卷積的圖解和卷積積分限的確定
1/12/2025344.相乘5.積分求函數(shù)的面積。求響應(yīng),必須:1.換元(t)1/12/20253511t0130.5t0110130.50解:1/12/202536-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)當(dāng)-1+t<0即t<1時,-1+t-3+t011y(t)=0移動距離
t前沿坐標(biāo)-1+t兩函數(shù)無公共的非零區(qū)域1/12/202537011-3+t-1+t-3+t-1+t0111/12/202538-3+t-1+t-3+t-1+t0110111/12/2025390.512341/12/20254010t解:(1)當(dāng)t<0時1t010ty(t)=01/12/2025410101tt1/12/202542二、卷積的另一種計算方法當(dāng)被卷積函數(shù)中有分段連續(xù)函數(shù)時,直接用公式1/12/202543用圖解來說明。t-t2-t2t11/12/2025441/12/2025451/12/2025461/12/202547一、卷積代數(shù)(1)交換律如,輸入和沖激響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式互換位置,則零狀態(tài)響應(yīng)不變。§2.5卷積積分的性質(zhì)1/12/202548證:1/12/202549(2)分配律利用卷積的定義比較容易得到兩個子系統(tǒng)并聯(lián)1/12/2025501/12/202551兩次卷積運算是二重積分,變換積分次序可得。(3)結(jié)合律兩個子系統(tǒng)級聯(lián)1/12/202552二、卷積的微分與積分(1)卷積的微分性質(zhì)1/12/202553(2)卷積的積分性質(zhì)(3)卷積的微積分性質(zhì)當(dāng)為正整數(shù)時,表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù),當(dāng)為負(fù)整數(shù)時,表示求重積分的次數(shù)。1/12/202554注意:應(yīng)用微積分性質(zhì)時,被積分的函數(shù)應(yīng)為可積函數(shù),被求導(dǎo)的函數(shù)在處應(yīng)為零值。1/12/202555三、含有沖激函數(shù)的卷積由第二章第二節(jié),任意信號的分解,記為1/12/202556即:任意函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積仍為該函數(shù)本身。即:即:任意函數(shù)與延遲沖激函數(shù)的卷積只是把該函數(shù)延遲了時間,而其波形不變。此性質(zhì)稱為沖激函數(shù)的重現(xiàn)性。1/12/202557沖激函數(shù)三個常用性質(zhì)小結(jié):1.篩選性:(抽樣性)2.加權(quán)性:3.重現(xiàn)性:(“照相”)寫詳細(xì),為1/12/202558利用微積分性質(zhì)還可以得到推廣后,有利用卷積的性質(zhì)能大大簡化卷積計算。1/12/2025591/12/202560-221A0(1)(1)tt0023-1-2At解:這類題只需要畫圖即可。1/12/202561-2T0At2Tt0AA2A02Tt-2TaA-T(1)(1)0Tt0Tt1/12/202562210t1-101t解:2t-1tt+111/12/202563t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+10211/12/2025641t-2t-1011-101t-2tt-2t1/12/2025651-101t-2tt-2t1-101t-2tt-2t1/12/2025661/12/202567例:已知波形如圖,求1021-10tt1/12/2025681/12/202569例:已知波形如圖,求0123t20123t1-1解:直接求卷積比較復(fù)雜,利用卷積的性質(zhì)及函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積較為簡便1/12/202570結(jié)果如圖所示0123t(2)(2)0123t1-20123t2451/12/2025711/12
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