安徽省亳州市黌學(xué)高級(jí)中學(xué)2024屆招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷數(shù)學(xué)試題

安徽省亳州市黌學(xué)高級(jí)中學(xué)2023屆招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．年某省將實(shí)行“”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，設(shè)，當(dāng)最小時(shí)，的值為()A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A． B．C． D．5．已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．6．如圖所示，正方體的棱，的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．過拋物線（）的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn).，且在第一象限，則（）A． B． C． D．8．已知雙曲線（，），以點(diǎn)（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A． B． C． D．9．已知圓：，圓：，點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．10．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里11．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．12．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．14．已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，的內(nèi)心的軌跡方程為__________．15．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____16．在疫情防控過程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下，第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx．（1）討論函數(shù)f(x)在[?π，π]上的單調(diào)性；（2）證明：函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對(duì)于，使得成立，求的取值范圍.19．（12分）如圖，已知在三棱臺(tái)中，，，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點(diǎn)，，且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長(zhǎng).提示：臺(tái)體的體積公式（，分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，為棱臺(tái)的高）.20．（12分）某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元，乙設(shè)備每臺(tái)9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對(duì)于每臺(tái)設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購(gòu)買哪種設(shè)備？請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，在線段上取點(diǎn)，使，求證：點(diǎn)在定直線上.22．（10分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)、分別在第一和第二象限內(nèi)，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．2．B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則，考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.4．B【解析】

列出循環(huán)的每一步，進(jìn)而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：，，，執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)：，，所以：不成立．繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，…，當(dāng)，時(shí)，成立，，由于不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，，，成立，，成立，輸出的的值為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．5．A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則，，，取平面的法向量為，設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．7．C【解析】

作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【詳解】由題意，，準(zhǔn)線：，作，；，設(shè)，故，，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8．A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因?yàn)椋詧A心到的距離為：，即，因?yàn)?，所以解得．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．對(duì)于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個(gè)思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.9．B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，故的最大值為，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對(duì)稱性，求出所求式子的最大值．10．A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.11．D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．A【解析】

利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，可排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，可排除C選項(xiàng)，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線，如下圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，所以由圖象可知，，，所以．14．【解析】

考查更為一般的問題：設(shè)P為橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為△PF1F2的內(nèi)心，求點(diǎn)I的軌跡方程．解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點(diǎn)為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點(diǎn)的軌跡是以F1F2為長(zhǎng)軸，離心率e滿足的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得.另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點(diǎn)I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.15．2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.16．161【解析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果．【詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人．第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，從第15天開始，每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則第19天治愈出院患者的人數(shù)為，，解得，第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．見解析【解析】

（1）f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=，由f(x)=1，x∈[?π，π]得x=1或或．當(dāng)x變化時(shí)，f(x)和f(x)的變化情況如下表：x1f(x)?1+1?1+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．（2）由（1）得極大值為f(1)=?4；極小值為f()=f()<f(1)<1．又f(π)=f(?π)=π2+4>1，所以f(x)在，上各有一個(gè)零點(diǎn)．顯然x∈(π，2π)時(shí)，?4xsinx>1，x2?4cosx>1，所以f(x)>1；x∈[2π，+∞)時(shí)，f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1，所以f(x)在(π，+∞)上沒有零點(diǎn)．因?yàn)閒(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，從而x<?π時(shí)，f(x)>1，即f(x)在(?∞，?π)上也沒有零點(diǎn)．故f(x)僅在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．18．（1）當(dāng)時(shí)，在上增；當(dāng)時(shí)，在上減，在上增（2）【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間；（2）題意說(shuō)明,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，由（1）可得的最小值，從而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，即在上增；當(dāng)時(shí)，即得得綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上增；當(dāng)時(shí)，在上減，在上增（2）由題在上增由（1）當(dāng)時(shí)，在上增，所以此時(shí)無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，在上減，在上增，即，解得綜上【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題恒成立問題轉(zhuǎn)化為，求出兩函數(shù)的最小值后可得結(jié)論．19．（1）證明見解析；（2）2【解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設(shè)條件，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到；（2）設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，列出方程求得，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，，，所以，可得，因?yàn)?，可?又由，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）因?yàn)?，可得，令，，設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，則，整理得，即，解得，即，又由，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20．（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設(shè)備，理由見解析【解析】

（1）的可能取值為10000，11000，12000，的可能取值為9000，10000，11000，12000，計(jì)算概率得到分布列；（2）計(jì)算期望，得到，設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，，計(jì)算分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列為如下9000100001100012000（2）設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，的可能取值為2，3，4，5，，，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，，