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2022-2023學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷

專(zhuān)題09菱形的判定和性質(zhì)

一.選擇題(共10小題,滿(mǎn)分20分,每小題2分)

1.(2分)(2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中)如圖,菱形2故?中,然與必交于點(diǎn),CD=2OB,£為切延長(zhǎng)線(xiàn)上

一點(diǎn),使得〃£=切,連結(jié)能分別交ZC、助于點(diǎn)尸、G,連結(jié)。G,AE,則下列結(jié)論:①N4%'=120。;

②0G,AB;③四邊形切比與四邊形曲G的面積相等;④由點(diǎn)力、B、D、片構(gòu)成的四邊形是菱形?其

中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

解:??,四邊形Z四是菱形,

:.BC=CD=AB,AB//CD,OB=OD,

?:CD=2OB,

:.BC=DC=BD,

???△切「是等邊三角形,

:.ZBCD=60°,

■:AB//CD,

:.ZABaZBCD=180°,

:.ZABC=120°,故①正確;

9:AB//CD,

:.ABAG=AEDG,

VAB=CD,CD=DE,

:.AB=DE,

在△4比和△頌中,

<ZBAG=ZEDG

,NAGB=NDGE,

AB=DE

二△ABG^XDEG(AAS),

:.AG=DG,BG=GE,

':BO=DO,AB//DE,

:.0G//AB//DE,OG=^AB,%到之間的距離=0G到龐之間的距離(設(shè)距離為方),

2

:四邊形/好的面積S=L(DE+OG)h,四邊形煙G的面積S'=工QAB+OG)h,AB=DE,

22

...四邊形勿跖與四邊形儂1G的面積相等,故②正確,③正確;

,:AG=DG,BG=GE,

四邊形4叫應(yīng)是平行四邊形,

":DE=CD=BD,

.,.四邊形ABDE是菱形,故④正確;

即正確的個(gè)數(shù)是4,

故選:A.

2.(2分)(2022春?留壩縣期末)已知:如圖,四邊形26磔是菱形,E、戶(hù)是直線(xiàn)/C上兩點(diǎn),AF=CE.求

證:四邊形與劭是菱形.幾名同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題,給出了如下幾種解題思路,其中正確的是()

甲:利用全等,證明四邊形女曲四條邊相等,進(jìn)而說(shuō)明該四邊形是菱形;

乙:連接初,利用對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形,判定四邊形沖切是菱形;

丙:該題目錯(cuò)誤,根據(jù)已知條件不能夠證明該四邊形是菱形.

A.甲、乙B.乙、丙C.甲.乙、丙D.甲、丙

解:甲:二?四邊形48"是菱形,

:.AB=BC=CD=AD,ABAC=ADAC=ZBCA=ADCA,

ZBAF=ZDAF=ZBCE=ZDCE,

在△掰尸和△物尸中,

'AB=AD

,ZBAF=ZDAF-

tAF=AF

:./\BAF^/\DAF{SAS'),

:.BF=DF,

同理:△DCE^XBCE〈SAS,△掰&△比F(必S),

:.BE=DE,BF=BE,

:.BF=DF=BE=DE,

二四邊形/次”是菱形;

乙:連接劭交立于0,如圖所示:

?..四邊形4題?是菱形,

0A=OC,OB=OD,ACLBD,

,:AF=CE,

:.OA+AF=OC+CE,

即0F=OE,

...四邊形必必是平行四邊形,

又,:AC1BD,

平行四邊形射是菱形;

綜上所述,甲對(duì)、乙對(duì),

故選:A.

3.(2分)(2022春?白河縣期末)如圖所示,以的直角邊/向△/以外構(gòu)造等邊E為AB

的中點(diǎn),連接區(qū)DE,/4GB=9Q,ZABC^30°.下列結(jié)論:①4a龍;②四邊形比班'是平行四邊形;

③四邊形血匕?是菱形;④S四邊形砥E=3S§@.其中正確的結(jié)論有()

C.3個(gè)D.4個(gè)

解:⑦=90°,ZABC=30°,

:.ZBAC=60°,AC=^-AB,

2

?.?△力切是等邊三角形,

:.ZACD^60°,

:.ZACD=Z.BAC,

CD//AB,

為四的中點(diǎn),

:.BE=AE=^AB,

2

J.BE//CD,CABE=AE,

...四邊形故加為平行四邊形,故②正確;四邊形是平行四邊形,

VZACB=9Q0,AE=BE,

:.CE=AE=^-AB,

2

四邊形四是菱形,故③正確;

?.?四邊形6儂為平行四邊形,

:.DF//BC,

:.AC1DE,故①正確;

設(shè)AC=x,則AB=2x,

S?AC產(chǎn)2/龍=/鹿=

4

***S四邊形BCDE=2S^BCE=2S^ACD,故④錯(cuò)誤;

故選:C.

4.(2分)(2022春?江北區(qū)期末)如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的菱形/阿〃相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)空

隙,其中周?chē)膹埿∑叫兴倪呅渭埰既龋虚g一張紙片的面積為,.連結(jié)陽(yáng)BG,DE,DG,四邊形

戚G的面積為如若無(wú)至、/則周?chē)∑叫兴倪呅蔚膶捙c長(zhǎng)的比值為()

'31

A.亞B.—C.亞D.A

4433

解:如圖,過(guò)點(diǎn)〃作"L比1,交成的延長(zhǎng)線(xiàn)于尸,交的的延長(zhǎng)線(xiàn)于0,

設(shè)小平行四邊形的寬是X,長(zhǎng)是x,Dgh,Pgh\,

???周?chē)膹埿∑叫兴倪呅渭埰既龋?/p>

":EH=GH=FG=EF=y-x,

二四邊形口如是菱形,

VS2=|S1,

.包即(xnO(h+hi)-2yh「2xhi_5

S[3(y-x)(h-hj)3

.(x+y)(h-h1)_5

(y-x)(h-hj)3

???x—_—1—.

y4

故選:B.

5.(2分)(2022春?高邑縣期末)如圖,在N/W的兩邊上分別截取如,OB,使刃=如;再分別以點(diǎn)4B

為圓心,以長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)C;再連接ZC,BC,AB,OC.若AB=2,OC=4.則四邊形4以

解:由題意得:

OA=AC=BC=OB,

;?四邊形OACB是菱形,

9:AB=2,OC=4,

,菱形"⑵的面積=工。。/6

2

=JLX4X2

2

=4,

故選:C.

6.(2分)(2021秋?墾利區(qū)期末)如圖,菱形/5以中,/BAD=6Q°,4C與BD交于點(diǎn)、0,£為繆延長(zhǎng)線(xiàn)上

一點(diǎn),豆CD=DE,連結(jié)龐,分別交/于點(diǎn)穴G,連結(jié)。C,則下列結(jié)論:

①OG=?B;②S四邊形勿Q>S.巾③由點(diǎn)月、B、D、£構(gòu)成的四邊形是菱形;④S△位=45即其中正確的

結(jié)論是()

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

解:;四邊形/版是菱形,

:.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

/BAG=NEDG,

":CD=DE,

:.AB=DE,

在44泓和△頗中,

,ZAGB=ZDGE

-ZBAG=ZEDG>

LAB=DE

:./\ABG^/\DEG(A4S),

:.AG=DG,

是加的中位線(xiàn),

:.OG=LAB,故①正確;

2

':AB//CE,AB=DE,

二四邊形4位應(yīng)是平行四邊形,

■:NBCD=NBAD=6Q°,

:.XABD、"是等邊三角形,

J.AB^BD^AD,/阪=60°,

平行四邊形力應(yīng)應(yīng)是菱形,故③正確;

,/0A=OC,AG=DG,

是△力切的中位線(xiàn),

:.0G//CD//AB,OG=^CD,

2

,?S^ACD―4必/華,

?SAAO(^SRBOG,

**?s^ACD=^s^B0G,故④正確;

連接演,如圖:

???△/必是等邊三角形,A0平分/BAD,BG平分/ABD,

???分到三邊的距離相等,

,?S^BDF_S&ABF_2S&BOF_2S&DOF一S四邊形ODGF,

S四邊形ODGF=S?ABF,故②錯(cuò)誤;

正確的是①③④,

故選:c.

B

/\/G\^\

CDE

7.(2分)(2022春?禮縣期末)兩張全等的矩形紙片/況〃/叱按如圖方式交叉疊放在一起,AB=AF,AE

A.2B.V3C.SD.A

33

解:設(shè)式'交/£于。AD交CF于H,如圖所示:

;四邊形46切、四邊形/比F是全等的矩形,

:.AB=CE,/B=/E=90°,AD//BC,AE//CF,

四邊形方是平行四邊形,

rZB=ZE

在和△四G中,,ZAGB=ZCGE>

kAB=CE

:./\ABG^/\CEG(AAS),

:.AG=CG,

...四邊形力笫7是菱形,

設(shè)AG=CG=x,貝l]BG=BC-CG=3-x,

在RtzX/a?中,由勾股定理得:J+(3-X)2=/,

解得:x=$,

3

:.CG=^~,

3

菱形/G紡的面積=CGX/6=$X1=S,

33

即圖中重疊(陰影)部分的面積為5;

3

故選:c.

8.(2分)(2022春?白水縣期末)如圖,在菱形/頗中,對(duì)角線(xiàn)/C與初相交于點(diǎn)。,/ABC=60°,點(diǎn)

E,b分別是比;。的中點(diǎn),劭分別與力£,"'相交于點(diǎn)融N,連接第OF,下列結(jié)論:(1)△/第是

等邊三角形;(2)四邊形砥火是菱形;(3)OFVAE-,(4)BM=MN=ND.其中正確的結(jié)論有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解::四邊形力時(shí)是菱形,

:.AB=BC=CD=AD,NADC=NABC=60°,OA=OgLlC,OB=OD^^BD,ACLBD,

22

:ZBC、是等邊三角形,

如是等邊三角形/比'的高,

丁點(diǎn)£是寬的中點(diǎn),

.?.46時(shí)等邊三角形46c的高,

:.AE=OB,

同理:AF=OD,

:.AE=AF,

??.點(diǎn)區(qū)戶(hù)分別是8C切的中點(diǎn),

緒是465的中位線(xiàn),

:.EF=LBD=OB,EF//BD,

2

:.AE=AF=EF,

即△/緒是等邊三角形,

/.(1)正確;

■:點(diǎn)E,尸分別是比;切的中點(diǎn),ACVBD,

:.OE=LBC=CE,OF=LCD=CF,

22

:.OE=OF=CE=CF,

...四邊形函加是菱形,

(2)正確;

?..四邊形畫(huà)加是菱形,

:.OF//BC,

':AE1BC,

:.OFLAE,

A(3)正確;

:小方。是等邊三角形/呢的中線(xiàn),

:.AM=BM,

同理:AN=ND,

:△4項(xiàng)是等邊三角形,

:.ZAEF=ZAFE=60°,

':EF//BD,

:.AAMN=ZAEF=6Q0,/ANM=NAFE=6Q°,

:.AAMN=AANM=^°,

:.AM=AN,

:.BM=MN=ND,

:.(4)正確;

正確的結(jié)論有4個(gè),

故選:D.

9.(2分)(2021春?萊陽(yáng)市期末)如圖,在菱形/四中,/BAQ6Q。,然與劃交于點(diǎn)。,£為切延長(zhǎng)線(xiàn)

上的一點(diǎn),ACD=DE,連接座分別交4C、AO于點(diǎn)、F、G,連接。G,則下列結(jié)論:

①OG^AB;

②與△〃跖全等的三角形共有5個(gè);

③四邊形勿跖與四邊形期G面積相等;

④由點(diǎn)/、B、D、£構(gòu)成的四邊形是菱形.

其中一定成立的是()

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

解:..?四邊形5是菱形,

:.AB=BC=CD=DA,AB//CD,04=OC,OB=OD,ACLBD,

:.ABAG=AEDG,△/反匡△比'隹隹△/勿(SSS),

':CD=DE,

:.AB=DE,

在△9和△頌中,

,ZBAG=ZEDG

-ZAGB=ZDGE>

tAB=DE

工△ABMXDEG(MS'),

:.AG=DG,

是的中位線(xiàn),

:.OG=LCD=LAB,故①正確;

22

':AB//CE,AB=DE,

二四邊形4皿應(yīng)是平行四邊形,

?:/BCD=/BAD=6Q°,

:.XABD、△閱9是等邊三角形,

:.AB=BAAD,/勿C=60°,

OD=AG,四邊形4應(yīng)后是菱形,故④正確;

J.ADLBE,

由菱形的性質(zhì)得:△臺(tái)物絲△灰屋△灰?(555),

在曲和△口切中,

AG=D0

ZBAG=ZCD0.

AB=DC

.△BGAQXCOD(囪S),

./\AOB^△COB^△COD^!\AOD^/\BGA^/\BGD^/\EGD,故②不正確;

"OB=OD,

?S&BOG—SaDOG,

,四邊形ABDE是菱形,

?$AABG-SADAE,

.四邊形山/笫與四邊形四4G面積相等,故③正確;

故選:A.

10.(2分)(2021春?兩江新區(qū)期末)如圖,。是菱形465的對(duì)角線(xiàn)力G加的交點(diǎn),E,戶(hù)分別是小,OC

的中點(diǎn).下列結(jié)論中正確的是()

①為3=aOBF;

②四邊形座必是菱形;

③四邊形46繆的面積為OCXOD-,

④NABE=NOBE.

A.①②B.②④C.②③D.③④

解::四邊形/頗是菱形,

:.AO=CO,BO=DO,ACVBD,

■:E、/分別是OA、%的中點(diǎn),

:.AE=EO=FO=CF,

,?邑W—S號(hào)OBP故①正確;

■:EgOF,BO^DO,

四邊形旗必是平行四邊形,

又‘:ACLBD

四邊形旗煙是菱形,故②正確;

?..菱形/9的面積初=2%?勿,故③錯(cuò)誤;

2

?.?四邊形及他是菱形,

:.Z.OBF=/OBE,NABE#/OBE,故④錯(cuò)誤;

故選:4

二.填空題(共10小題,滿(mǎn)分20分,每小題2分)

11.(2分)(2022春?惠民縣期末)如圖,剪兩張對(duì)邊平行的紙條,隨意交叉疊放在一起,重合的部分構(gòu)成

了一個(gè)四邊形,轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條,則下列相等關(guān)系:

①AD=4B;

②AD=BC;

③/DAC=/ACD;

?AO=BO,

其中一定成立的是②.(只填序號(hào))

解:由題意可知:AB//CD,AD//BC,

四邊形46徵為平行四邊形,

:.AD=BC,

故答案為:②.

12.(2分)(2022春?錫山區(qū)期中)如圖,四邊形/四中,AD//BC,ZC=90°,AB=AD,連接被作■乙BAD

角平分線(xiàn)AE交即、%于點(diǎn)然E.若a^3,CD=4,那么/£長(zhǎng)為2、樂(lè)

D

C

解:連接班:

在直角三角形。應(yīng)中,EC=3,繆=4,根據(jù)勾股定理,得龐=5.

':AB=AD,AELBD,

垂直平分如,NBAE=/DAE.

:.DE=BE=3.

':AD//BC,

:.ZDAE=NAEB,

:.4BAE=Z.AEB,

:.AB=BE=3,

:.BC=BE+EC=3,

四邊形力頗是菱形,

由勾股定理得出BD=>\/CD2+BC2=^42+82=4V5'

^=VBE2-B02=^52-(2V5)2幸'

:.AE=20E=2限,

故答案為:2遙.

13.(2分)(2021春?華容縣期末)如圖,在平行四邊形力皿中,AD=2AB,",/夕于點(diǎn)£,點(diǎn)戶(hù)、G分別

是柩理的中點(diǎn),連接/EF、FG,下列五種說(shuō)法①加做②四邊形四亦是菱形③BC=2EG;④N

DFC=/EFG;⑤)2AEF=2EGB.正確的有①②③④.(填序號(hào))

D

E叱\

解:?.?四邊形出■必是平行四邊形,

J.AD//BC,AD=BC,

":點(diǎn)、F、C分別是47、a'的中點(diǎn),

:.AF=^AD,BG=^BC,

22

:.AF=BG,

':AF//BG,

...四邊形/叱是平行四邊形,

:.AB//FG,

,:CELAB,

:.CE1FG;故①正確;

,:AD=2AB,AA2AF,

:.AB=AF,

四邊形"戚'是菱形,故②正確;

CEVAB,

:.NBECS,

?點(diǎn)G是歐的中點(diǎn),

:.BC=2EG,故③正確;

延長(zhǎng)須,交切延長(zhǎng)線(xiàn)于弘

?.?四邊形46W是平行四邊形,

:.AB//CD,

:.NZ=/MDF,

???尸為49中點(diǎn),

:.AF=FD,

在和△力的中,

2A=NFDM

<AF=DF,

,ZAFE=ZDFM

:.△AEF^XDMF(ASA),

:?FE=MF,/AEF=/M,

*.?CELAB,

:.ZAEC=90°

:.ZAFC=ZECD=90°,

■:FM=EF,

:.FC=EF=FM,

:.CF=^EM,

2

:.ZECM=QO°,

???ZFCD=/M=AFCE=N陽(yáng)7=45

??,四邊形然切是平行四邊形,

:.AB=CD,AD//BQ

9

:AF=DF,AD=2ABf

:.DF=DC,

:.ADCF=/DFC,

■:DF=AF=LD,CD=AB=^AD,

22

???四邊形CW是菱形,

:.FG//CD,

:?/DCF=/CFG,

■:FGLCE,

\/EFC=/CFG,

:.AEFG=ZDFC,故④正確,

YEG=BG,

:./B=/BEG,

:.ZEGB=180°-2ZB,

*:EF力FG,

:?/FEG#/FGE,

:./FEGW/FGE,

?:/FGE=/BEG=/B,

:?/FEG豐/B,

???NZ緒=180°-ABEG-ZFEG=180°-ZB-AFEG,

:?/AEF千/EGB,故⑤錯(cuò)誤;

故答案為:①②③④.

14.(2分)(2021春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考)如圖,兩把完全一樣的直尺疊放在一起,重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊

形,這個(gè)四邊形一定是一菱形,依據(jù)是一鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

解:過(guò)點(diǎn)〃作廢文/夕于幺DFLBC千F,如圖所示:

二?兩把完全一樣的直尺疊放在一起,

:.AB//CD,AD//Ba兩把直尺的寬度相等,

???四邊形/用力是平行四邊形,DE=DF,

又,??平行四邊形48口的面積=冊(cè)加三加1?0;

:.AB=BC,

???平行四邊形/頗為菱形,

故答案為:菱形,鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

DC

15.(2分)(2020?壽光市二模)如圖所示,四邊形相切中,ACLBD于點(diǎn)0,AO=CO=^,BO=DO=3,點(diǎn)、P

為線(xiàn)段力。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸分別作物工力〃于點(diǎn)瓶作恒2c于點(diǎn)兒連接陽(yáng),在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,

/外1的最小值等于7.8.

解:':AO=CO=4,BO=DO=3,

:.AC=8,四邊形力閱9是平行四邊形,

劭于點(diǎn)0,

平行四邊形ABCD是菱形,AD=^A02+D02=V42+32=5,

.'.CD=AD=5,

連接如,如圖所示:

?SXAD鏟SRCDP—SMADC,

:.工A"p嶺LDGPN=工/OOD,

222

即JLX5X加工X5X掰一工X8X3,

222

.\5X(/WW)=8X3,

:.PgPN=4.8,

當(dāng)以最短時(shí),小即加有最小值,

由垂線(xiàn)段最短可知:當(dāng)HL47時(shí),加最短,

當(dāng)點(diǎn)?與點(diǎn)。重合時(shí),即/M陽(yáng)有最小值,最小值=4.8+3=7.8,

故答案為:7.8.

16.(2分)(2020春?深口區(qū)期末)如圖,在RtZk46C中,ZBAC=90°,N4比1的平分線(xiàn)交47于〃過(guò)點(diǎn)4

作/吐正于£,交劭于G,過(guò)點(diǎn),作外上火于汽,過(guò)點(diǎn)G作陽(yáng)〃陽(yáng)交”于點(diǎn)〃,則下列結(jié)論:

①/BAE=NC;

②叢回:SAEBG=AB:BE-,

③4ADF=22CDF;

④四邊形/魏?是菱形;

忌CH=DF.

解:①為「=90°,

:.ZBA&-ZCAE=9Q°,

':AEVBC,

/NG4£=90°,

:.ZBAE=ZC,①正確;

②作/〃〃切交⑦的延長(zhǎng)線(xiàn)于弘如圖所示:

則N斤/儂/BAM=/ABD,

,:BD平■64ABC,

:.ZCBD=ZABD,

:./后ZBAM,

:.AB=BM,

':AM//BD,

:.AGxGE=BM:BE,

:.AG:GE=ABzBE,

?SYBG:SMB尹AG:GE,

:?SXABG:S^EBG=ABZBE;②正確;

(4)VAAGD=AABIAABAE,/ADG=/CBIA/C,/BAE=/C,/CBD=/ABD,

:.AAGD=AADG,

:.AG=AD,

':ZBAC=90°,BD平分/ABC.DFLBC,

:.AD=DF,

:.AG=DF,

■:AELBC,

:.AG//DF,

???四邊形4670是平行四邊形,

又?:AG=AD,

???四邊形/皿是菱形;④正確;

⑤??,四邊形力皿是菱形;

:.AAGD=AFGD,GF=DF,/ADB=/FDB,

:?/AGB=/FGB,

在△28G和△沖G中,

'NABG=NFBG

<BG=BG,

tZAGB=ZFGB

:.△ABgXFBG(ASA),

:.ABAE=/BFG,

,:4BAE=/C,

:?/BFG=/C,

:.GF//CH,

GH//BC,

???四邊形67s是平行四邊形,

:.GF=CH,

:?CH=DF,⑤正確;

③?:4ADF=2/ADB,

當(dāng)/C=30°,/CDF=60°,

則//所=120°,

:./ADF=2/CDF;③不正確;

故答案為:①②④⑤.

17.(2分)(2019春?倉(cāng)山區(qū)期中)如圖,已知以點(diǎn)/為圓心,恰當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交力£,//于

點(diǎn)、B,D,繼續(xù)分別以點(diǎn)6,,為圓心,線(xiàn)段長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)G連接加;CD,則所得四邊形40

為菱形,判定依據(jù)是:四條邊相等的四邊形是菱形.

解:?.?已知N4以點(diǎn)力為圓心,恰當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交/£,AF于點(diǎn)、B,D,

:.AB=AD,

???分別以點(diǎn)6,〃為圓心,線(xiàn)段4?長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)乙

:.BC=CD=AB,

:.AB=AgBC=CD,

所得四邊形/頗為菱形,判定依據(jù)是:四條邊相等的四邊形是菱形.

故答案為:四條邊相等的四邊形是菱形.

18.(2分)(2017?安徽模擬)如圖,平行四邊形題力中,AELBC,AFLCD,垂足分別為£,F,連接即

給出下列判斷:①若△/所是等邊三角形,則/6=60°,②若/夕=60°,則△/環(huán)是等邊三角形,③若

AE=AF,則平行四邊形49是菱形,④若平行四邊形/9是菱形,則AE=AF,其中,結(jié)論正確的是①③

④(只需填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)).

B■D

ET

C

解:①?.?△4顏是等邊三角形,

:.ZBAF=6Q0,AE=AF,

又‘:AELBC,AFICD,

:.ZC=12Q°,

?.?四邊形/題是平行四邊形,

J.AB//CD,/。=/勿9=120°,

...NQ180°-ZC=60°,故①正確;

②?.?/人/夕=60°,

:.ZBAE=ZDAF=90°-60°=30°,

:.ZEAF=12Q°-30°-30°=60°,

但是//不一定等于4尸,故②錯(cuò)誤;

③若/£=AF,則/£=Ac?AF,

22

:.BC=CD,

.??平行四邊形/四是菱形,故③正確;

④若平行四邊形/四是菱形,

則BC=CD,

:.LBQAE=LC?AF,

22

:.AE=AF,故④正確;

故答案為:①③④.

19.(2分)(2021?朝天區(qū)模擬)如圖,在平行四邊形4加刀中,AD=2AB,〃,力夕于點(diǎn)£,點(diǎn)尺G分別是

AD,歐的中點(diǎn),連接/EF、FG,下列四種說(shuō)法:QCE1FG;②四邊形被孑是菱形;③BC=2EG;④/

DFC=ZEFG.正確的有①②③④.(填序號(hào))

AD

解:?.?四邊形出■必是平行四邊形,

J.AD//BC,AD=BC,

":點(diǎn)、F、G分別是42、a7的中點(diǎn),

:.AF=^AD,BG=LBC,

22

:.AF=BG,

':AF//BG,

...四邊形/叱是平行四邊形,

:.AB//FG,

':CELAB,

:.CE1FG;故①正確;

,:AD=2AB,AA2AF,

:.AB=AF,

四邊形4a獷是菱形,故②正確;

CEVAB,

:.NBEC=9G,

,點(diǎn)G是歐的中點(diǎn),

:.BC=2EG,故③正確;

延長(zhǎng)用,交切延長(zhǎng)線(xiàn)于弘

,/四邊形46。是平行四邊形,

:.AB//CD,

:.N4=AMDF,

?.?戶(hù)為4?中點(diǎn),

:.AF=FD,

,ZA=ZFDM

在△45F和△力物中,<AF=DF

LZAFE=ZDFM

二△AEF^XDMF(ASA),

:.FE=MF,/AEF=/M,

CELAB,

:.ZAEC=90°,

:.2AEC=』ECD=9N,

YFM=EF,

:.FC=EF=FM,

CF=LEM,

2

:?/ECM=9G,

:■/FCD=/M=/FCE=/FEC=45°,

??,四邊形/題是平行四邊形,

:.AB=CD,AD//BC,

■:AF=DF,AD=2AB,

:.DF=DC,

:?/DCF=/DFC,

*:DF=AF=LAD,CD=AB=^AD,

22

???四邊形兩是菱形,

:?FG〃CD,

:?/DCF=/CFG,

YFG1CE,

:.AEFG=ACFG,

:.ZBFG=ZDFC,故④正確,

故答案為:①②③④.

BG

20.(2分)(2020春?和平區(qū)期末)如圖,在中,ZABC^9Q°,劭為47邊上的中線(xiàn),過(guò)點(diǎn)。作㈤1

BD千點(diǎn)、E,過(guò)點(diǎn)/作物的平行線(xiàn),交位的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸,在/尸的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取bG=初,連接陽(yáng)、

解:":AG//BD,BD=FG,

四邊形而如是平行四邊形,

CFY.BD,

:.CFVAG,

又:點(diǎn)〃是“7中點(diǎn),

:.BD=DF=LC,

2

.,.四邊形叨是菱形,

:.GF=BG=3,貝!|/6=13-5=8,40=2X5=10,

?.?在RtZ\45F中,/宓=90。,

:.AP+CP=AC,即82+b=1。2,

解得:CF=6.

故答案是:6.

三.解答題(共9小題,滿(mǎn)分60分)

21.(6分)(2023?黔江區(qū)一模)如圖,在口45磔中,對(duì)角線(xiàn)47,初交于點(diǎn)。,£是/〃上一點(diǎn),連接并

延長(zhǎng),交比'于點(diǎn)尸.連接/尸,CE,EF平分ZAEC.

(1)求證:四邊形加還是菱形;

(2)若/%C=60°,47=2,求四邊形"T石的面積.

(1)證明::四邊形/四是平行四邊形

J.AD//BC,AgCO,

:.ZAEF=ZCFE,

'/AEF=/CFE

在和△呼中,■ZAOE=ZCOF-

AO=CO

:.匕AQ-XCOF(A4S),

0F=OE,

':AO^CO,

.?.四邊形加還是平行四邊形;

■:EF平分'NAEC,

:./AEF=4CEF,

:.ZCFE=ACEF,

:.CE=CF,

.?.四邊形加還是菱形;

(2)解:由(1)得:四邊形"'四是菱形,

J.ACLEF,4ggL「=l,

2

:.ZAOE=90°,

':ZDAC=6Q°,

ZAEO=30°,

:.OE=MAO=M,

:.EF=20E=2M,

四邊形血跡的面積=/=春X2X2強(qiáng)=2百.

22.(6分)(2022春?海安市期中)如圖,AE//BF,AC平分/BAD,且交班'于點(diǎn)C,BD平%/ABC,且交初

于點(diǎn)。,連接⑦

(1)求證:四邊形4灰刀是菱形;

(2)若47=6,龍=8,過(guò)點(diǎn)4作/“La'于點(diǎn)〃,求/〃的長(zhǎng).

BH

(1)證明:9:AE//BF,

ADB=/DBC,ZDAC=ABCA,

?:AC平分/BAD,BD平分/ABC,

:.ADAC=ABAC,AABD=ADBC,

:.ABAC=AACB,AABD=Z.ADB,

/.AB=BC,AB=AD,

:.AD=BC,

9:AD//BC,

四邊形4?必是平行四邊形,

又;AMAB,

,平行四邊形/四是菱形;

(2)解:由(1)可知,四邊形/比,是菱形,

:.0A=0C=^-AC=3,OB=OD=^BD=^,ACLBD,

22

:.NB0C=9Q°,

BC=7OB2K)C2=V42+32=5,

':AHVBC,

S菱形ABCD=BC*AH=^-AC*BD,

即54#=工X6X8,

2

解得:AH=生,

5

即就的長(zhǎng)為處.

5

23.(6分)(2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中)在等腰△/a'中,AC=BC,D、E、尸分別是46、AC,6c邊上的中點(diǎn),

連接應(yīng)'、DF.

(1)如圖1,求證:四邊形"還是菱形;

(2)如圖2延長(zhǎng)龍至點(diǎn)G,梗EG=DE,連接廖CG,在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2

中所有的平行四邊形(不包括菱形師').

AA

(1)證明::點(diǎn)〃E,尸分別是AC,&'的中點(diǎn),

:.DE、小都是△45C的中位線(xiàn),

:.DE//CF,DE=^BC,DF//CE,DF=Lc,

22

四邊形F是平行四邊形,

":AC=BC,

:.DE=DF,

平行四邊形如龍是菱形;

(2)解::久E、戶(hù)分別是/反AC.比'邊上的中點(diǎn),

:.AD=BD,杼'是△4歐的中位線(xiàn),

:.EF//AB,EF=LAB=AABD,

2

二四邊形4W、四邊形颯F是平行四邊形,

,:BC=2DE,EG=DE,

:.BC=DG,

':DE//BC,

...四邊形BCGD、四邊形瓦TG是平行四邊形,

即圖2中所有的平行四邊形(不包括菱形所")為平行四邊形/〃陽(yáng)平行四邊形應(yīng)跖平行四邊形

BCGD、平行四邊形圖方.

24.(6分)(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)如圖,在口四力中,AD>AB,/力歐的平分線(xiàn)交于點(diǎn)戶(hù),EF//AB

交比'于點(diǎn)E.

(1)求證:四邊形/龐F是菱形;

(2)若羽=5,BF=3,口/65的面積為42,求怎的長(zhǎng).

(1)證明:??,四邊形/題是平行四邊形,

C.AD//BC,

“:EF"AB,

???四邊形4座F是平行四邊形,

*:BF平分/ABC,

:.AABF=/EBF,

■:AF//BC,

:"AFB=/FBE,

:.ZABF=AAFB,

:.AB=AF,

.二四邊形4座F是菱形;

(2)解:???四邊形/應(yīng)尸是菱形,

C.AELBF,B0=0F=4,AO=OE,AB=BE=3,

^=7BE2-B02=V52-42=3,

:?AE=2OE=6,

**?S菱形z頌="^■力"BF-X6X8—24,

?:AD〃BC,AB//EF//CD,

???四邊形的/是平行四邊形,

:,SBFD廣42-24=18,

.c_24_4

,,Dc菱形ABEF:??贓FDCTTT一—,

183

:.BE:CE=生,

3

,*=3龐=3義5=".

444

25.(6分)(2022春?澄海區(qū)期末)已知:如圖,四邊形/四是平行四邊形,分別以4?、為腰作等腰三

角形△/郎和等腰三角形△/陽(yáng)且頂角/掰々/物£,連結(jié)M緒相交于點(diǎn)G,即與//相交于點(diǎn)〃

(1)求證:BD=EF\

(2)若/GHF=/BFG,求證:四邊形/四是菱形;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)/BAF=/DAE=9G°時(shí),連結(jié)龐,若BF=4,求△廢尸的面積.

(1)證明:':ZBAF=ZDAE,

:.ZBAFVZFAD=/DAE+/FAD,

即N的

■:AB=AF,AD=AE,

:.MBA恒XFAE(第S),

:.BD=EF.

(2)°:/GHF=/BFG,

:?2GFH=/GBF,

由(1)可知/GFH=/ABD,

:.ZABD=AGBF,

9:AD//BC,

:.AADB=ZGBF,

:.AABD=AADB,

:.AB=AD,

???四邊形力為切是菱形;

(3)延長(zhǎng)必交火于〃

E

■:/DAE=90°.

:?EM工AD,

??,四邊形/比〃是菱形,

:.AD//BC,

C.EMLBF,

U:AB=AF,BF=4,

:.BM=FM=2,

ZBAF=90°,

AM-|-BF=2,

,AB=2詢(xún),

???AE=AD=AB=2V2-

:.EM=AE+AM=2近+2,

=4

SAEBF-|BF'EM=yX4X(2V2+2)V2+4.

26.(8分)(2022春?桂平市期末)如圖,在口四切中,/曲〃的平分線(xiàn)交理于點(diǎn)£,交加的延長(zhǎng)線(xiàn)于尸,

以及;CF為鄰邊作口£0%.

(1)證明口£0%是菱形;

(2)若//比'=120°,連接BD、CG,求/瓦右的度數(shù);

(3)若/4?C=90°,AB=<o,49=8,〃是庚的中點(diǎn),求血的長(zhǎng).

解:(1)證明:

?:AF平分NBAD,

:.ABAF=/DAF,

??,四邊形/四是平行四邊形,

:.AD//BC,AB//CD,

:?/DAF=/CEF,/BAF=/CFE,

:?/CEF=/CFE,

:.CE=CF,

又,:四邊形式為G是平行四邊形,

???四邊形£0%為菱形;

(2)??,四邊形力戈力是平行四邊形,

:.AB//DC,AB=DC,AD//BC,

ZABC=120°,

:?/BCD=60。,ZBCF=120°

由(1)知,四邊形CF6尸是菱形,

:.CE=GE,/BCG=L/BCF=60°,

2

:.CG=GE=CE,ZDCG=120°,

?:EG"DF,

:.ZBEG=120°=/DCG,

???/£是N掰〃的平分線(xiàn),

???/DAE=/BAE,

':AD//BC,

:./DAE=AAEB,

:.ZBAE=/AEB,

:?AB=BE,

:.BE=CD,

???△砥絲△次石(S4S),

:.BG=DG,ZBGE=ZDGC,

:.ABGD^ACGE,

':CG=GE=CE,

,△這是等邊三角形,

;./,曲=60°,

:.NBGD=60°,

':BG=DG,

△初G是等邊三角形,

:.ZBDG=60°;

(3)如圖2中,連接掰MC,

?:ZABC=9Q°,四邊形49(6是平行四邊形,

,四邊形46繆是矩形,

又由(1)可知四邊形以'G為菱形,

/ECF=9Q°,

四邊形即%為正方形.

YNBAF=ADAF,

:.BE=AB=DC,

?.?〃為頤中點(diǎn),

:.ACEM=AECM=^>a,

:"BEM=Z.DCM=\33°,

在△頗'和△畋中,

'BE=CD

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