2022-2023學年人教版八年級數(shù)學下冊壓軸題：菱形的判定和性質(zhì)（解析版）

2022-2023學年人教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷

專題09菱形的判定和性質(zhì)

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2022春?南崗區(qū)校級期中）如圖，菱形2故?中，然與必交于點，CD=2OB,￡為切延長線上

一點，使得〃￡=切，連結(jié)能分別交ZC、助于點尸、G,連結(jié)。G,AE,則下列結(jié)論：①N4%'=120。；

②0G,AB；③四邊形切比與四邊形曲G的面積相等；④由點力、B、D、片構(gòu)成的四邊形是菱形?其

中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

解：??,四邊形Z四是菱形，

：.BC=CD=AB,AB//CD,OB=OD,

?：CD=2OB,

：.BC=DC=BD,

???△切「是等邊三角形，

：.ZBCD=60°,

■:AB//CD,

：.ZABaZBCD=180°,

：.ZABC=120°,故①正確；

9：AB//CD,

：.ABAG=AEDG,

VAB=CD,CD=DE,

：.AB=DE,

在△4比和△頌中，

<ZBAG=ZEDG

,NAGB=NDGE，

AB=DE

二△ABG^XDEG(AAS),

：.AG=DG,BG=GE,

'：BO=DO,AB//DE,

：.0G//AB//DE,OG=^AB,%到之間的距離=0G到龐之間的距離（設距離為方），

2

:四邊形/好的面積S=L（DE+OG）h,四邊形煙G的面積S'=工QAB+OG）h,AB=DE,

22

...四邊形勿跖與四邊形儂1G的面積相等，故②正確，③正確；

,:AG=DG,BG=GE,

四邊形4叫應是平行四邊形，

"：DE=CD=BD,

.,.四邊形ABDE是菱形，故④正確；

即正確的個數(shù)是4,

故選：A.

2.（2分）（2022春?留壩縣期末）已知：如圖，四邊形26磔是菱形，E、戶是直線/C上兩點，AF=CE.求

證：四邊形與劭是菱形.幾名同學對這個問題，給出了如下幾種解題思路，其中正確的是（）

甲：利用全等，證明四邊形女曲四條邊相等，進而說明該四邊形是菱形；

乙：連接初，利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，判定四邊形沖切是菱形；

丙：該題目錯誤，根據(jù)已知條件不能夠證明該四邊形是菱形.

A.甲、乙B.乙、丙C.甲.乙、丙D.甲、丙

解：甲：二?四邊形48"是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ABAC=ADAC=ZBCA=ADCA,

ZBAF=ZDAF=ZBCE=ZDCE,

在△掰尸和△物尸中，

'AB=AD

，ZBAF=ZDAF-

tAF=AF

：./\BAF^/\DAF{SAS'）,

：.BF=DF,

同理：△DCE^XBCE〈SAS,△掰&△比F（必S）,

:.BE=DE,BF=BE,

：.BF=DF=BE=DE,

二四邊形/次”是菱形；

乙：連接劭交立于0,如圖所示：

?..四邊形4題?是菱形，

0A=OC,OB=OD,ACLBD,

,:AF=CE,

：.OA+AF=OC+CE,

即0F=OE,

...四邊形必必是平行四邊形，

又,：AC1BD,

平行四邊形射是菱形；

綜上所述，甲對、乙對，

故選：A.

3.（2分）（2022春?白河縣期末）如圖所示，以的直角邊/向△/以外構(gòu)造等邊E為AB

的中點，連接區(qū)DE,/4GB=9Q,ZABC^30°.下列結(jié)論：①4a龍；②四邊形比班'是平行四邊形;

③四邊形血匕？是菱形；④S四邊形砥E=3S§@.其中正確的結(jié)論有（）

C.3個D.4個

解：⑦=90°,ZABC=30°,

：.ZBAC=60°，AC=^-AB,

2

?.?△力切是等邊三角形，

：.ZACD^60°,

：.ZACD=Z.BAC,

CD//AB,

為四的中點,

：.BE=AE=^AB,

2

J.BE//CD,CABE=AE,

...四邊形故加為平行四邊形，故②正確；四邊形是平行四邊形,

VZACB=9Q0,AE=BE,

：.CE=AE=^-AB,

2

四邊形四是菱形，故③正確；

?.?四邊形6儂為平行四邊形，

：.DF//BC,

:.AC1DE,故①正確；

設AC=x,則AB=2x,

S?AC產(chǎn)2/龍=/鹿=

4

***S四邊形BCDE=2S^BCE=2S^ACD,故④錯誤;

故選：C.

4.（2分）（2022春?江北區(qū)期末）如圖是一個由5張紙片拼成的菱形/阿〃相鄰紙片之間互不重疊也無空

隙，其中周圍四張小平行四邊形紙片都全等，中間一張紙片的面積為，.連結(jié)陽BG,DE,DG,四邊形

戚G的面積為如若無至、/則周圍小平行四邊形的寬與長的比值為（）

'31

A.亞B.—C.亞D.A

4433

解：如圖，過點〃作"L比1,交成的延長線于尸，交的的延長線于0,

設小平行四邊形的寬是X,長是x,Dgh,Pgh\,

???周圍四張小平行四邊形紙片都全等，

":EH=GH=FG=EF=y-x,

二四邊形口如是菱形，

VS2=|S1，

.包即(xnO(h+hi)-2yh「2xhi_5

S[3(y-x)(h-hj)3

.(x+y)(h-h1)_5

(y-x)(h-hj)3

???x—_—1—.

y4

故選：B.

5.（2分）（2022春?高邑縣期末）如圖，在N/W的兩邊上分別截取如，OB,使刃=如；再分別以點4B

為圓心，以長為半徑作弧，兩弧交于點C；再連接ZC,BC,AB,OC.若AB=2,OC=4.則四邊形4以

解：由題意得:

OA=AC=BC=OB,

；?四邊形OACB是菱形,

9：AB=2,OC=4,

，菱形"⑵的面積=工。。/6

2

=JLX4X2

2

=4,

故選：C.

6.（2分）（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，菱形/5以中，/BAD=6Q°,4C與BD交于點、0,￡為繆延長線上

一點，豆CD=DE,連結(jié)龐，分別交/于點穴G,連結(jié)。C,則下列結(jié)論:

①OG=?B；②S四邊形勿Q>S.巾③由點月、B、D、￡構(gòu)成的四邊形是菱形；④S△位=45即其中正確的

結(jié)論是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

解：；四邊形/版是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

/BAG=NEDG,

"：CD=DE,

：.AB=DE,

在44泓和△頗中，

,ZAGB=ZDGE

-ZBAG=ZEDG>

LAB=DE

：./\ABG^/\DEG(A4S),

：.AG=DG,

是加的中位線，

：.OG=LAB,故①正確；

2

'：AB//CE,AB=DE,

二四邊形4位應是平行四邊形，

■：NBCD=NBAD=6Q°,

:.XABD、"是等邊三角形，

J.AB^BD^AD,/阪=60°,

平行四邊形力應應是菱形，故③正確；

,/0A=OC,AG=DG,

是△力切的中位線，

：.0G//CD//AB,OG=^CD,

2

,?S^ACD―4必/華，

?SAAO(^SRBOG，

**?s^ACD=^s^B0G,故④正確；

連接演，如圖：

???△/必是等邊三角形，A0平分/BAD,BG平分/ABD,

???分到三邊的距離相等，

,?S^BDF_S&ABF_2S&BOF_2S&DOF一S四邊形ODGF,

S四邊形ODGF=S?ABF，故②錯誤；

正確的是①③④,

故選：c.

B

/\/G\^\

CDE

7.（2分）（2022春?禮縣期末）兩張全等的矩形紙片/況〃/叱按如圖方式交叉疊放在一起，AB=AF,AE

A.2B.V3C.SD.A

33

解：設式'交/￡于。AD交CF于H,如圖所示：

;四邊形46切、四邊形/比F是全等的矩形，

：.AB=CE,/B=/E=90°,AD//BC,AE//CF,

四邊形方是平行四邊形，

rZB=ZE

在和△四G中，，ZAGB=ZCGE>

kAB=CE

：./\ABG^/\CEG（AAS）,

：.AG=CG,

...四邊形力笫7是菱形，

設AG=CG=x,貝l]BG=BC-CG=3-x,

在RtzX/a?中，由勾股定理得：J+（3-X）2=/,

解得：x=$,

3

：.CG=^~,

3

菱形/G紡的面積=CGX/6=$X1=S,

33

即圖中重疊（陰影）部分的面積為5；

3

故選：c.

8.（2分）（2022春?白水縣期末）如圖，在菱形/頗中，對角線/C與初相交于點。，/ABC=60°,點

E,b分別是比；。的中點，劭分別與力￡,"'相交于點融N,連接第OF,下列結(jié)論：（1）△/第是

等邊三角形；（2）四邊形砥火是菱形；（3）OFVAE-,（4）BM=MN=ND.其中正確的結(jié)論有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

解：：四邊形力時是菱形,

：.AB=BC=CD=AD,NADC=NABC=60°,OA=OgLlC,OB=OD^^BD,ACLBD,

22

:ZBC、是等邊三角形,

如是等邊三角形/比'的高,

丁點￡是寬的中點，

.?.46時等邊三角形46c的高,

：.AE=OB,

同理：AF=OD,

：.AE=AF,

??.點區(qū)戶分別是8C切的中點,

緒是465的中位線，

:.EF=LBD=OB,EF//BD,

2

：.AE=AF=EF,

即△/緒是等邊三角形,

/.(1)正確；

■:點E,尸分別是比；切的中點，ACVBD,

：.OE=LBC=CE,OF=LCD=CF,

22

：.OE=OF=CE=CF,

...四邊形函加是菱形，

(2)正確；

?..四邊形畫加是菱形，

：.OF//BC,

'：AE1BC,

：.OFLAE,

A(3)正確；

:小方。是等邊三角形/呢的中線，

：.AM=BM,

同理：AN=ND,

:△4項是等邊三角形，

：.ZAEF=ZAFE=60°,

'：EF//BD,

：.AAMN=ZAEF=6Q0,/ANM=NAFE=6Q°,

：.AAMN=AANM=^°,

：.AM=AN,

:.BM=MN=ND,

：.(4)正確;

正確的結(jié)論有4個，

故選：D.

9.(2分)(2021春?萊陽市期末)如圖，在菱形/四中，/BAQ6Q。，然與劃交于點。，￡為切延長線

上的一點，ACD=DE,連接座分別交4C、AO于點、F、G,連接。G,則下列結(jié)論：

①OG^AB；

②與△〃跖全等的三角形共有5個;

③四邊形勿跖與四邊形期G面積相等；

④由點/、B、D、￡構(gòu)成的四邊形是菱形.

其中一定成立的是（）

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

解：..?四邊形5是菱形，

:.AB=BC=CD=DA,AB//CD,04=OC,OB=OD,ACLBD,

：.ABAG=AEDG,△/反匡△比'隹隹△/勿(SSS),

'：CD=DE,

：.AB=DE,

在△9和△頌中，

，ZBAG=ZEDG

-ZAGB=ZDGE>

tAB=DE

工△ABMXDEG(MS'),

：.AG=DG,

是的中位線，

：.OG=LCD=LAB,故①正確；

22

'：AB//CE,AB=DE,

二四邊形4皿應是平行四邊形，

?:/BCD=/BAD=6Q°,

:.XABD、△閱9是等邊三角形，

:.AB=BAAD,/勿C=60°,

OD=AG,四邊形4應后是菱形，故④正確；

J.ADLBE,

由菱形的性質(zhì)得：△臺物絲△灰屋△灰?(555),

在曲和△口切中,

AG=D0

ZBAG=ZCD0.

AB=DC

.△BGAQXCOD（囪S）,

./\AOB^△COB^△COD^!\AOD^/\BGA^/\BGD^/\EGD,故②不正確;

"OB=OD,

?S&BOG—SaDOG，

,四邊形ABDE是菱形,

?$AABG-SADAE，

.四邊形山/笫與四邊形四4G面積相等，故③正確;

故選：A.

10.（2分）（2021春?兩江新區(qū)期末）如圖，。是菱形465的對角線力G加的交點，E,戶分別是小，OC

的中點.下列結(jié)論中正確的是（）

①為3=aOBF；

②四邊形座必是菱形;

③四邊形46繆的面積為OCXOD-,

④NABE=NOBE.

A.①②B.②④C.②③D.③④

解：：四邊形/頗是菱形,

：.AO=CO,BO=DO,ACVBD,

■:E、/分別是OA、%的中點,

：.AE=EO=FO=CF,

,?邑W—S號OBP故①正確;

■:EgOF,BO^DO,

四邊形旗必是平行四邊形,

又‘：ACLBD

四邊形旗煙是菱形，故②正確；

?..菱形/9的面積初=2%?勿，故③錯誤；

2

?.?四邊形及他是菱形，

：.Z.OBF=/OBE,NABE#/OBE,故④錯誤；

故選：4

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（2分）（2022春?惠民縣期末）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成

了一個四邊形，轉(zhuǎn)動其中一張紙條，則下列相等關系：

①AD=4B；

②AD=BC；

③/DAC=/ACD；

?AO=BO,

其中一定成立的是②.（只填序號）

解：由題意可知：AB//CD,AD//BC,

四邊形46徵為平行四邊形，

：.AD=BC,

故答案為：②.

12.（2分）（2022春?錫山區(qū)期中）如圖，四邊形/四中，AD//BC,ZC=90°,AB=AD,連接被作■乙BAD

角平分線AE交即、%于點然E.若a^3,CD=4,那么/￡長為2、樂

D

C

解：連接班：

在直角三角形。應中，EC=3,繆=4,根據(jù)勾股定理，得龐=5.

'：AB=AD,AELBD,

垂直平分如，NBAE=/DAE.

:.DE=BE=3.

'：AD//BC,

：.ZDAE=NAEB,

：.4BAE=Z.AEB,

:.AB=BE=3,

：.BC=BE+EC=3,

四邊形力頗是菱形，

由勾股定理得出BD=>\/CD2+BC2=^42+82=4V5'

^=VBE2-B02=^52-（2V5）2幸'

:.AE=20E=2限,

故答案為：2遙.

13.（2分）（2021春?華容縣期末）如圖，在平行四邊形力皿中，AD=2AB,"，/夕于點￡,點戶、G分別

是柩理的中點，連接/EF、FG,下列五種說法①加做②四邊形四亦是菱形③BC=2EG；④N

DFC=/EFG；⑤）2AEF=2EGB.正確的有①②③④.（填序號）

D

E叱\

解：?.?四邊形出■必是平行四邊形,

J.AD//BC,AD=BC,

":點、F、C分別是47、a'的中點，

：.AF=^AD,BG=^BC,

22

:.AF=BG,

'：AF//BG,

...四邊形/叱是平行四邊形，

：.AB//FG,

,：CELAB,

:.CE1FG；故①正確；

,:AD=2AB,AA2AF,

：.AB=AF,

四邊形"戚'是菱形，故②正確;

CEVAB,

:.NBECS,

?點G是歐的中點，

：.BC=2EG,故③正確；

延長須，交切延長線于弘

?.?四邊形46W是平行四邊形,

：.AB//CD,

：.NZ=/MDF,

???尸為49中點,

：.AF=FD,

在和△力的中，

2A=NFDM

<AF=DF，

,ZAFE=ZDFM

:.△AEF^XDMF(ASA),

:?FE=MF,/AEF=/M,

*.?CELAB,

：.ZAEC=90°

：.ZAFC=ZECD=90°,

■:FM=EF,

：.FC=EF=FM,

：.CF=^EM,

2

：.ZECM=QO°,

???ZFCD=/M=AFCE=N陽7=45

??,四邊形然切是平行四邊形，

：.AB=CD,AD//BQ

9

：AF=DF,AD=2ABf

：.DF=DC,

：.ADCF=/DFC,

■:DF=AF=LD,CD=AB=^AD,

22

???四邊形CW是菱形，

：.FG//CD,

:?/DCF=/CFG,

■:FGLCE,

\/EFC=/CFG,

：.AEFG=ZDFC,故④正確,

YEG=BG,

：./B=/BEG,

：.ZEGB=180°-2ZB,

*：EF力FG,

:?/FEG#/FGE,

:./FEGW/FGE,

?：/FGE=/BEG=/B,

:?/FEG豐/B,

???NZ緒=180°-ABEG-ZFEG=180°-ZB-AFEG,

:?/AEF千/EGB,故⑤錯誤；

故答案為：①②③④.

14.（2分）（2021春?朝陽區(qū)校級月考）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個四邊

形，這個四邊形一定是一菱形，依據(jù)是一鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

解：過點〃作廢文/夕于幺DFLBC千F,如圖所示:

二?兩把完全一樣的直尺疊放在一起，

：.AB//CD,AD//Ba兩把直尺的寬度相等，

???四邊形/用力是平行四邊形，DE=DF,

又,??平行四邊形48口的面積=冊加三加1?0；

：.AB=BC,

???平行四邊形/頗為菱形，

故答案為：菱形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

DC

15.（2分）（2020?壽光市二模）如圖所示，四邊形相切中，ACLBD于點0,AO=CO=^,BO=DO=3,點、P

為線段力。上的一個動點.過點尸分別作物工力〃于點瓶作恒2c于點兒連接陽，在點尸運動過程中,

/外1的最小值等于7.8.

解：'：AO=CO=4,BO=DO=3,

：.AC=8,四邊形力閱9是平行四邊形，

劭于點0,

平行四邊形ABCD是菱形，AD=^A02+D02=V42+32=5,

.'.CD=AD=5,

連接如，如圖所示：

?SXAD鏟SRCDP—SMADC，

：.工A"p嶺LDGPN=工/OOD,

222

即JLX5X加工X5X掰一工X8X3,

222

.\5X(/WW)=8X3,

:.PgPN=4.8,

當以最短時，小即加有最小值,

由垂線段最短可知：當HL47時，加最短，

當點?與點。重合時，即/M陽有最小值，最小值=4.8+3=7.8,

故答案為：7.8.

16.（2分）（2020春?深口區(qū)期末）如圖，在RtZk46C中，ZBAC=90°,N4比1的平分線交47于〃過點4

作/吐正于￡,交劭于G,過點，作外上火于汽，過點G作陽〃陽交”于點〃，則下列結(jié)論：

①/BAE=NC；

②叢回:SAEBG=AB：BE-,

③4ADF=22CDF；

④四邊形/魏?是菱形；

忌CH=DF.

解：①為「=90°,

：.ZBA&-ZCAE=9Q°,

'：AEVBC,

/NG4￡=90°,

：.ZBAE=ZC,①正確；

②作/〃〃切交⑦的延長線于弘如圖所示:

則N斤/儂/BAM=/ABD,

,:BD平■64ABC,

：.ZCBD=ZABD,

：./后ZBAM,

：.AB=BM,

'：AM//BD,

：.AGxGE=BM：BE,

：.AG：GE=ABzBE,

?SYBG：SMB尹AG：GE,

:?SXABG：S^EBG=ABZBE；②正確；

(4)VAAGD=AABIAABAE,/ADG=/CBIA/C,/BAE=/C,/CBD=/ABD,

：.AAGD=AADG,

：.AG=AD,

'：ZBAC=90°,BD平分/ABC.DFLBC,

：.AD=DF,

：.AG=DF,

■:AELBC,

：.AG//DF,

???四邊形4670是平行四邊形，

又?：AG=AD,

???四邊形/皿是菱形；④正確；

⑤??,四邊形力皿是菱形；

：.AAGD=AFGD,GF=DF,/ADB=/FDB,

:?/AGB=/FGB,

在△28G和△沖G中，

'NABG=NFBG

<BG=BG，

tZAGB=ZFGB

:.△ABgXFBG(ASA),

：.ABAE=/BFG,

,:4BAE=/C,

:?/BFG=/C,

：.GF//CH,

GH//BC,

???四邊形67s是平行四邊形，

：.GF=CH,

:?CH=DF,⑤正確；

③?：4ADF=2/ADB,

當/C=30°,/CDF=60°,

則//所=120°,

:./ADF=2/CDF；③不正確;

故答案為：①②④⑤.

17.（2分）（2019春?倉山區(qū)期中）如圖，已知以點/為圓心，恰當長為半徑畫弧，分別交力￡,//于

點、B,D,繼續(xù)分別以點6,，為圓心，線段長為半徑畫弧交于點G連接加；CD,則所得四邊形40

為菱形，判定依據(jù)是：四條邊相等的四邊形是菱形.

解：?.?已知N4以點力為圓心，恰當長為半徑畫弧，分別交/￡,AF于點、B,D,

：.AB=AD,

???分別以點6,〃為圓心，線段4?長為半徑畫弧交于點乙

：.BC=CD=AB,

:.AB=AgBC=CD,

所得四邊形/頗為菱形，判定依據(jù)是：四條邊相等的四邊形是菱形.

故答案為：四條邊相等的四邊形是菱形.

18.（2分）（2017?安徽模擬）如圖，平行四邊形題力中，AELBC,AFLCD,垂足分別為￡,F,連接即

給出下列判斷：①若△/所是等邊三角形，則/6=60°,②若/夕=60°,則△/環(huán)是等邊三角形，③若

AE=AF,則平行四邊形49是菱形,④若平行四邊形/9是菱形，則AE=AF,其中，結(jié)論正確的是①③

④（只需填寫正確結(jié)論的序號）.

B■D

ET

C

解：①?.?△4顏是等邊三角形，

：.ZBAF=6Q0,AE=AF,

又‘：AELBC,AFICD,

：.ZC=12Q°,

?.?四邊形/題是平行四邊形，

J.AB//CD,/。=/勿9=120°,

...NQ180°-ZC=60°,故①正確;

②?.?/人/夕=60°,

：.ZBAE=ZDAF=90°-60°=30°,

：.ZEAF=12Q°-30°-30°=60°,

但是//不一定等于4尸，故②錯誤；

③若/￡=AF,則/￡=Ac?AF,

22

：.BC=CD,

.??平行四邊形/四是菱形，故③正確；

④若平行四邊形/四是菱形，

則BC=CD,

:.LBQAE=LC?AF,

22

：.AE=AF,故④正確；

故答案為：①③④.

19.（2分）（2021?朝天區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形4加刀中，AD=2AB,〃，力夕于點￡，點尺G分別是

AD,歐的中點，連接/EF、FG,下列四種說法：QCE1FG；②四邊形被孑是菱形；③BC=2EG；④/

DFC=ZEFG.正確的有①②③④.（填序號）

AD

解：?.?四邊形出■必是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

":點、F、G分別是42、a7的中點，

：.AF=^AD,BG=LBC,

22

:.AF=BG,

'：AF//BG,

...四邊形/叱是平行四邊形，

：.AB//FG,

'：CELAB,

:.CE1FG；故①正確；

,:AD=2AB,AA2AF,

：.AB=AF,

四邊形4a獷是菱形，故②正確；

CEVAB,

:.NBEC=9G,

,點G是歐的中點，

:.BC=2EG,故③正確；

延長用，交切延長線于弘

,/四邊形46。是平行四邊形，

：.AB//CD,

：.N4=AMDF,

?.?戶為4?中點，

：.AF=FD,

，ZA=ZFDM

在△45F和△力物中，＜AF=DF

LZAFE=ZDFM

二△AEF^XDMF(ASA),

：.FE=MF,/AEF=/M,

CELAB,

：.ZAEC=90°,

：.2AEC=』ECD=9N,

YFM=EF,

：.FC=EF=FM,

CF=LEM,

2

:?/ECM=9G,

:■/FCD=/M=/FCE=/FEC=45°,

??,四邊形/題是平行四邊形，

：.AB=CD,AD//BC,

■:AF=DF,AD=2AB,

：.DF=DC,

:?/DCF=/DFC,

*:DF=AF=LAD,CD=AB=^AD,

22

???四邊形兩是菱形，

:?FG〃CD,

:?/DCF=/CFG,

YFG1CE,

：.AEFG=ACFG,

：.ZBFG=ZDFC,故④正確，

故答案為：①②③④.

BG

20.（2分）（2020春?和平區(qū)期末）如圖，在中，ZABC^9Q°,劭為47邊上的中線，過點。作㈤1

BD千點、E,過點/作物的平行線，交位的延長線于點尸，在/尸的延長線上截取bG=初，連接陽、

解："：AG//BD,BD=FG,

四邊形而如是平行四邊形，

CFY.BD,

：.CFVAG,

又：點〃是“7中點，

:.BD=DF=LC,

2

.,.四邊形叨是菱形，

:.GF=BG=3,貝!|/6=13-5=8,40=2X5=10,

?.?在RtZ\45F中，/宓=90。，

：.AP+CP=AC,即82+b=1。2,

解得：CF=6.

故答案是：6.

三.解答題（共9小題，滿分60分）

21.（6分）（2023?黔江區(qū)一模）如圖，在口45磔中，對角線47,初交于點。，￡是/〃上一點，連接并

延長，交比'于點尸.連接/尸，CE,EF平分ZAEC.

（1）求證：四邊形加還是菱形；

（2）若/%C=60°,47=2,求四邊形"T石的面積.

（1）證明：：四邊形/四是平行四邊形

J.AD//BC,AgCO,

：.ZAEF=ZCFE,

'/AEF=/CFE

在和△呼中，■ZAOE=ZCOF-

AO=CO

:.匕AQ-XCOF(A4S),

0F=OE,

'：AO^CO,

.?.四邊形加還是平行四邊形；

■:EF平分'NAEC,

：./AEF=4CEF,

：.ZCFE=ACEF,

：.CE=CF,

.?.四邊形加還是菱形；

(2)解:由(1)得：四邊形"'四是菱形，

J.ACLEF,4ggL「=l,

2

：.ZAOE=90°,

'：ZDAC=6Q°,

ZAEO=30°,

:.OE=MAO=M，

:.EF=20E=2M，

四邊形血跡的面積=/=春X2X2強=2百.

22.(6分)(2022春?海安市期中)如圖，AE//BF,AC平分/BAD,且交班'于點C,BD平%/ABC,且交初

于點。,連接⑦

(1)求證：四邊形4灰刀是菱形；

(2)若47=6,龍=8,過點4作/“La'于點〃，求/〃的長.

BH

(1)證明：9：AE//BF,

ADB=/DBC,ZDAC=ABCA,

?:AC平分/BAD,BD平分/ABC,

：.ADAC=ABAC,AABD=ADBC,

：.ABAC=AACB,AABD=Z.ADB,

/.AB=BC,AB=AD,

：.AD=BC,

9：AD//BC,

四邊形4?必是平行四邊形，

又；AMAB,

，平行四邊形/四是菱形；

（2）解：由（1）可知，四邊形/比，是菱形，

：.0A=0C=^-AC=3,OB=OD=^BD=^,ACLBD,

22

:.NB0C=9Q°,

BC=7OB2K）C2=V42+32=5，

'：AHVBC,

S菱形ABCD=BC*AH=^-AC*BD,

即54#=工X6X8,

2

解得：AH=生,

5

即就的長為處.

5

23.（6分）（2022春?南崗區(qū)校級期中）在等腰△/a'中，AC=BC,D、E、尸分別是46、AC,6c邊上的中點,

連接應'、DF.

（1）如圖1,求證：四邊形"還是菱形；

（2）如圖2延長龍至點G,梗EG=DE,連接廖CG,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2

中所有的平行四邊形（不包括菱形師'）.

AA

(1)證明：：點〃E,尸分別是AC,&'的中點,

:.DE、小都是△45C的中位線，

：.DE//CF,DE=^BC,DF//CE,DF=Lc,

22

四邊形F是平行四邊形，

"：AC=BC,

:.DE=DF,

平行四邊形如龍是菱形；

(2)解：:久E、戶分別是/反AC.比'邊上的中點，

:.AD=BD,杼'是△4歐的中位線，

：.EF//AB,EF=LAB=AABD,

2

二四邊形4W、四邊形颯F是平行四邊形，

,:BC=2DE,EG=DE,

：.BC=DG,

'：DE//BC,

...四邊形BCGD、四邊形瓦TG是平行四邊形，

即圖2中所有的平行四邊形(不包括菱形所")為平行四邊形/〃陽平行四邊形應跖平行四邊形

BCGD、平行四邊形圖方.

24.(6分)(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)如圖，在口四力中，AD>AB,/力歐的平分線交于點戶，EF//AB

交比'于點E.

(1)求證：四邊形/龐F是菱形；

(2)若羽=5,BF=3,口/65的面積為42,求怎的長.

(1)證明：??,四邊形/題是平行四邊形，

C.AD//BC,

“：EF"AB,

???四邊形4座F是平行四邊形，

*：BF平分/ABC,

：.AABF=/EBF,

■:AF//BC,

:"AFB=/FBE,

：.ZABF=AAFB,

：.AB=AF,

.二四邊形4座F是菱形；

(2)解：???四邊形/應尸是菱形，

C.AELBF,B0=0F=4,AO=OE,AB=BE=3,

^=7BE2-B02=V52-42=3,

:?AE=2OE=6,

**?S菱形z頌="^■力"BF-X6X8—24,

?:AD〃BC,AB//EF//CD,

???四邊形的/是平行四邊形，

:,SBFD廣42-24=18，

.c_24_4

,,Dc菱形ABEF：?？贓FDCTTT一—，

183

:.BE：CE=生,

3

，*=3龐=3義5=".

444

25.（6分）（2022春?澄海區(qū)期末）已知：如圖，四邊形/四是平行四邊形，分別以4?、為腰作等腰三

角形△/郎和等腰三角形△/陽且頂角/掰々/物￡,連結(jié)M緒相交于點G,即與//相交于點〃

(1)求證：BD=EF\

(2)若/GHF=/BFG,求證：四邊形/四是菱形；

(3)在(2)的條件下，當/BAF=/DAE=9G°時，連結(jié)龐，若BF=4,求△廢尸的面積.

(1)證明：'：ZBAF=ZDAE,

：.ZBAFVZFAD=/DAE+/FAD,

即N的

■:AB=AF,AD=AE,

:.MBA恒XFAE(第S),

：.BD=EF.

(2)°：/GHF=/BFG,

:?2GFH=/GBF,

由(1)可知/GFH=/ABD,

：.ZABD=AGBF,

9：AD//BC,

：.AADB=ZGBF,

：.AABD=AADB,

：.AB=AD,

???四邊形力為切是菱形；

(3)延長必交火于〃

E

■:/DAE=90°.

:?EM工AD,

??,四邊形/比〃是菱形，

：.AD//BC,

C.EMLBF,

U：AB=AF,BF=4,

：.BM=FM=2,

ZBAF=90°,

AM-|-BF=2，

，AB=2詢，

???AE=AD=AB=2V2-

:.EM=AE+AM=2近+2,

=4

SAEBF-|BF'EM=yX4X(2V2+2)V2+4.

26.(8分)(2022春?桂平市期末)如圖，在口四切中，/曲〃的平分線交理于點￡,交加的延長線于尸,

以及；CF為鄰邊作口￡0%.

(1)證明口￡0%是菱形；

(2)若//比'=120°,連接BD、CG,求/瓦右的度數(shù)；

(3)若/4?C=90°,AB=<o,49=8,〃是庚的中點，求血的長.

解：（1）證明：

?:AF平分NBAD,

：.ABAF=/DAF,

??,四邊形/四是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

:?/DAF=/CEF,/BAF=/CFE,

:?/CEF=/CFE,

：.CE=CF,

又,:四邊形式為G是平行四邊形，

???四邊形￡0%為菱形；

（2）??,四邊形力戈力是平行四邊形,

：.AB//DC,AB=DC,AD//BC,

ZABC=120°,

:?/BCD=60。,ZBCF=120°

由（1）知，四邊形CF6尸是菱形，

:.CE=GE,/BCG=L/BCF=60°,

2

：.CG=GE=CE,ZDCG=120°,

?:EG"DF,

：.ZBEG=120°=/DCG,

???/￡是N掰〃的平分線，

???/DAE=/BAE,

'：AD//BC,

：./DAE=AAEB,

：.ZBAE=/AEB,

:?AB=BE,

：.BE=CD,

???△砥絲△次石（S4S）,

：.BG=DG,ZBGE=ZDGC,

：.ABGD^ACGE,

'：CG=GE=CE,

，△這是等邊三角形,

；./，曲=60°,

:.NBGD=60°,

'：BG=DG,

△初G是等邊三角形,

：.ZBDG=60°；

(3)如圖2中，連接掰MC,

?：ZABC=9Q°,四邊形49(6是平行四邊形,

，四邊形46繆是矩形，

又由(1)可知四邊形以'G為菱形，

/ECF=9Q°,

四邊形即%為正方形.

YNBAF=ADAF,

：.BE=AB=DC,

?.?〃為頤中點，

：.ACEM=AECM=^>a,

:"BEM=Z.DCM=\33°,

在△頗'和△畋中，

'BE=CD

工