2020-2022年中考數(shù)學試題分項匯編：投影與視圖、命題與證明、尺規(guī)作圖（全國解析版）

專題18投影與視圖、命題與證明、尺規(guī)作圖

一、單選題

1.（2022?湖南湘西）如圖是由5個大小相同的正方體搭成的幾何體，則這個幾何體的主視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)主視圖的意義，從正面看該組合體所得到的圖形即可.

【詳解】

解：從正面看該組合體，一共有三列，從左到右小正方形的個數(shù)分別為1、2、1.

故選：C.

【點睛】

本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握主視圖的畫法是正確判斷的關(guān)鍵.

2.（2022?山東煙臺）如圖，是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）

根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可.

【詳解】

解：從左邊看，可得如下圖形:

故選：A.

【點睛】

本題考查三視圖、熟練掌握三視圖的定義是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2022?黑龍江）如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方

體的個數(shù)最多是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層小正方體的個數(shù)，由左視圖可得第二層小正方體的最多個數(shù)，

再相加即可.

【詳解】

由俯視圖可知最底層有5個小正方體，由左視圖可知這個幾何體有兩層，其中第二層最多有3個，那么搭

成這個幾何體所需小正方體最多有5+3=8個.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查.

4.（2022?山東青島）如圖①.用一個平面截長方體，得到如圖②的幾何體，它在我國古代數(shù)學名著《九章

算術(shù)》中被稱為“塹堵”.圖②“塹堵”的俯視圖是（）

C.

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何體的俯視圖是從上面看進行判斷解答即可.

【詳解】

解：由圖可知，該“塹堵”的俯視圖是

故選：C.

【點睛】

本題考查幾何體的俯視圖，理解俯視圖的概念是解答的關(guān)鍵.

5.（2021?山東德州）如圖所示的幾何體，對其三視圖敘述正確的是（）

A.左視圖和俯視圖相同B.三個視圖都不相同

C.主視圖和左視圖相同D.主視圖和俯視圖相同

【答案】c

【解析】

【分析】

畫出幾何體的三視圖，可以發(fā)現(xiàn)幾何體的主視圖和左視圖一樣.

【詳解】

解：該幾何體的三視圖如圖所示：

故該幾何體的主視圖和左視圖相同.

故選：C.

【點睛】

本題考查幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握簡單圖像的三視圖.

6.（2021?四川德陽）圖中幾何體的三視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；認真觀察實物圖，按照三視

圖的要求畫圖即可，注意看得到的棱用實線表示，看不到的棱用虛線的表示.

【詳解】

解：該幾何體的三視圖如下：

ra

故選：A.

【點睛】

此題主要考查三視圖的畫法，注意實線和虛線在三視圖的用法.

7.（2020?山東濟南）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

B'士C立

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)俯視圖是從物體上面看所得到的圖形判斷即可.

【詳解】

解：從幾何體上面看，共2層，底層2個小正方形，上層是3個小正方形，左齊.

故選：C.

【點睛】

本題考查幾何體的三視圖，屬于中考常考基礎(chǔ)題型.

8.（2022?廣東深圳）下列圖形中，主視圖和左視圖一樣的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)各個幾何體的主視圖和左視圖進行判定即可.

【詳解】

解：A.主視圖和左視圖不相同，故本選項不合題意；

B.主視圖和左視圖不相同，故本選項不合題意；

C.主視圖和左視圖不相同，故本選項不合題意；

D.主視圖和左視圖相同，故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】

本題考查簡單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握各種幾何體的三視圖的形狀.

9.（2022?內(nèi)蒙古包頭）幾個大小相同，且棱長為1的小正方體所搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正

方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖的面積為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)該幾何體的俯視圖以及該位置小正方體的個數(shù)，可以畫出左視圖，從而求出左視圖的面積；

【詳解】

由俯視圖以及該位置小正方體的個數(shù)，左視圖共有兩列，第一列兩個小正方體，第二列兩個小正方體，可

以畫出左視圖如圖，

所以這個幾何體的左視圖的面積為4

故選:B

【點睛】

本題考查了物體的三視圖，解題餓到關(guān)鍵是根據(jù)俯視圖，以及該位置小正方體的個數(shù)，正確作出左視圖.

10.（2021?山東日照）一張水平放置的桌子上擺放著若干個碟子，其三視圖如圖所示，則這張桌子上共有碟

子的個數(shù)為（)

主視圖

俯視圖

A.10B.12C.14D.18

【答案】B

【解析】

【分析】

從俯視圖看只有三列碟子，主視圖中可知左側(cè)碟子有6個，右側(cè)有2個，根據(jù)三視圖的思路可解答該題.

【詳解】

解：從俯視圖可知該桌子共擺放著三列碟子.主視圖可知左側(cè)碟子有6個，右側(cè)有2個，

而左視圖可知左側(cè)有4個，右側(cè)與主視圖的左側(cè)碟子相同，共計12個，

故選：B.

【點睛】

本題的難度不大，主要是考查三視圖的基本知識以及在現(xiàn)實生活中的應用.

11.（2021?黑龍江牡丹江）如圖，是由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，則搭成該

幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）

0

主視圖

俯視圖

A.6B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖可以看出第二層的個數(shù)，從而算出總的個

數(shù).

【詳解】

解：由俯視圖易得最底層有4個小正方體，第二層最少有1個小正方體，那么搭成這個幾何體的小正方體

最少為4+1=5個.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查.如果掌

握口訣“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案.

12.（2020?四川巴中）己知一個幾何體由大小相等的若干個小正方體組成，其三視圖如圖所示，則組成該幾

何體的小正方體個數(shù)為（）

正視圖左視圖俯視圖

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖和左視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和

個數(shù)，從而算出總的個數(shù).

【詳解】

解：根據(jù)俯視圖可知該組合體共3行、2歹

結(jié)合主視圖和左視圖知該幾何體中小正方體的分布情況如圖所示：

1

則組成此幾何體需要正方體個數(shù)為6.

故選：A.

【點睛】

本題意在考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查.如果掌

握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案.

13.（2022?上海）下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進行判斷，即可得出答案.

【詳解】

解：A、命題一定有逆命題，故此選項符合題意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應角相等沒有逆定理，故此選項不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，它是假命題而

不是真命題，故此選項不符合題意；

D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如相等的兩個角是對頂角的逆命題是對頂角相等，它是真命題,

故此選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】

本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵.把一個命題的條件和結(jié)論互

換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題.

14.（2022?廣西貴港）下列命題為真命題的是（）

A.=aB.同位角相等

C.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等D.正多邊形都是中心對稱圖形

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)判斷命題真假的方法即可求解.

【詳解】

解：當a<0時，后=_a，故A為假命題，故A選項錯誤；

當兩直線平行時，同位角才相等，故B為假命題，故B選項錯誤；

三角形的內(nèi)心為三角形內(nèi)切圓的圓心，故到三邊的距離相等，故C為真命題，故C選項正確；

三角形不是中心對稱圖形，故D為假命題，故D選項錯誤，

故選：C.

【點睛】

本題考查了真假命題的判斷，熟練掌握其判斷方法是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?四川達州）下列命題是真命題的是（）

A.相等的兩個角是對頂角

B.相等的圓周角所對的弧相等

C.若a〈b,貝！Jac2Vbe2

D.在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里任意摸出1個球,

摸到白球的概率是g

【答案】D

【解析】

【分析】

分別根據(jù)對頂角的定義，圓周角定理，不等式的基本性質(zhì)及概率公式進行判斷即可得到答案.

【詳解】

有公共頂點且兩條邊互為反向延長線的兩個角是對頂角，故A選項錯誤，不符合題意；

在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故B選項錯誤，不符合題意；

若Q<b,貝!Jac2Vbe2,故C選項錯誤，不符合題意；

在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里任意摸出1個球,

摸到白球的概率是g,故D選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】

本題考查了命題的真假，涉及對頂角的定義，圓周角定理，不等式的基本性質(zhì)及概率公式，熟練掌握知識

點是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?湖南岳陽）下列命題是真命題的是（）

A.對頂角相等

B.平行四邊形的對角線互相垂直

C.三角形的內(nèi)心是它的三條邊的垂直平分線的交點

D.三角分別相等的兩個三角形是全等三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)對頂角性質(zhì)判斷A,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判斷B,根據(jù)三角形的內(nèi)心定義判斷C,根據(jù)全等三角形的

判定定理判斷D.

【詳解】

A.對頂角相等是一個正確的命題，是真命題，故A符合題意；

B.菱形的對角線互相垂直，非菱形的平行四邊形的對角線不垂直，所以平行四邊形的對角線互相垂直是一個

假命題，故B不符合題意；

C.三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點，不一定是三邊的垂直平分線的交點，則三角形的內(nèi)心是它的三

條邊的垂直平分線的交點是一個假命題，故C不符合題意；

D.三角分別相等的兩個三角形不一定全等，故D不符合題意；

故選：A.

【點睛】

本題考查了真命題與假命題的判斷，對頂角的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心定義，全等三角形

的判定，熟練掌握這些性質(zhì)、定義、定理是解決問題的關(guān)鍵.

17.（2022?江蘇無錫）下列命題中，是真命題的有（）

①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形②對角線互相垂直的四邊形是菱形

③四邊相等的四邊形是正方形④四邊相等的四邊形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用平行四邊形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分別分析進而得出答案.

【詳解】

解：①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，正確；

②對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原命題錯誤；

③四邊相等的四邊形是菱形，故原命題錯誤；

④四邊相等的四邊形是菱形，正確.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了命題與定理，正確把握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵.

18.（2021?廣西百色）下列四個命題：①直徑是圓的對稱軸；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3,則它

們的周長比是1：3,面積比是1：6；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行；④對角線相等且

互相垂直的平行四邊形是正方形.其中真命題有（）

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)有關(guān)性質(zhì)，對命題逐個判斷即可.

【詳解】

解：①直徑是圓的對稱軸，直徑為線段，對稱軸為直線，應該是直徑所在的直線是圓的對稱軸，為假命題;

②若兩個相似四邊形的相似比是1：3,面積比是1：9,而不是1：6,為假命題；

③根據(jù)平行和垂直的有關(guān)性質(zhì)，可以判定為真命題；

④根據(jù)正方形的判定方法，可以判定為真命題；

故答案選C.

【點睛】

此題考查了命題的判定，熟練掌握命題有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

19.（2021?黑龍江綏化）下列命題是假命題的是（）

A.任意一個三角形中，三角形兩邊的差小于第三邊

B.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

C.如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角一定相等

D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊、中位線定理、平行四邊形的判定方法依次即可求解.

【詳解】

解：選項A：三角形的兩邊之差小于第三邊，故選項A正確，不符合題意；

選項B：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，故選項B正確，不符合題意；

選項C：一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補，故選項C不正確，是假命題，

符合題意；

選項D：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項D正確，不符合題意：

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角形中位線定理，三角形三邊之間的關(guān)系，平行四邊形的判定等知識點，熟練掌握各個基本

定理和性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵.

20.（2021?四川達州）以下命題是假命題的是（）

A."的算術(shù)平方根是2

B.有兩邊相等的三角形是等腰三角形

C.一組數(shù)據(jù)：3,-1,1,1,2,4的中位數(shù)是1.5

D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)所學知識對命題進行判斷，得出真假即可.

【詳解】

解：A,"的算數(shù)平方根是血，命題為假命題，符合題意；

B,有兩邊相等的三角形是等腰三角形，命題為真命題，不符合題意；

C,一組數(shù)據(jù)：3,-1,1,1,2,4的中位數(shù)是丁=1.5,命題為真命題，不符合題意；

D,過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，命題為真命題，不符合題意，

故選：A.

【點睛】

本題考查了命題的真假，解題的關(guān)鍵是：要結(jié)合所學知識對選項逐一判斷，需要對基本知識點掌握牢固.

21.（2022?黑龍江綏化）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形的中位線定理、鄰補角性質(zhì)、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判斷后即可

確定正確的選項.

【詳解】

解：A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意;

B.如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角不一定相等，故此選項是假命題，符合題意；

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真

命題，故此選項不符合題意；

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；

故選：B

【點睛】

考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補角性質(zhì)、切線長定理以及直角三

角形斜邊上的中線的性質(zhì).

22.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特）以下四個命題：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；

@A,B,C,D,E,尸六個足球隊進行單循環(huán)賽，若N,B,C,D,E分別賽了5,4,3,2,1場，則由

此可知，還沒有與8隊比賽的球隊可能是。隊；③兩個正六邊形一定位似；④有13人參加捐款，其中小

王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多.比其他的都

少.其中真命題的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】

①根據(jù)三角形中位線、中線的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的判定與性質(zhì)解題；②由單循環(huán)賽對A隊，E隊進行

推理即可；③根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、位似的定義解題；④由平均數(shù)定義解題.

【詳解】

解:①如圖，AD是的中線，EF是A/8C的中位線，連接E。、FD,

由中位線定義可知，

EDIIAF,FDIIAE

..?四邊形N瓦才是平行四邊形

.??對角線E尸互相平分，故①正確；

②由單循環(huán)比賽可知，每支隊伍最多賽5場，A隊已經(jīng)賽5場，即每支隊伍都與N隊比賽過，而E隊只比

賽1場，據(jù)此可知，E隊沒有與5對比賽過，故②錯誤；

③兩個正六邊形不一定位似，沒有確定位似中心，只能是相似的，故③錯誤；

④小王的捐款數(shù)比他所在學習小組中13人捐款的平均數(shù)多2元，小王的捐款數(shù)不會是最少的，捐款數(shù)可能

最多，也可正確在第12位，故原命題正確，是真命題，符合題意B故④正確，

其中真命題的個數(shù)有①④，2個，

故選：B.

【點睛】

本題考查中位線、中線的性質(zhì)，簡單推理、位似、正六邊形的性質(zhì)、平均數(shù)的應用等知識，是基礎(chǔ)考點，

難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

41

23.(2021?安徽)設(shè)a,6,c為互不相等的實數(shù)，且6=1。+］。，則下列結(jié)論正確的是()

A.a>b>cB.c>b>aC.a-b=4(b-c)D.a-c=5(a-b)

【答案】D

【解析】

【分析】

舉反例可判斷A和B,將式子整理可判斷C和D.

【詳解】

41,

解：A.當4=5,c=10,b=—a+—c=60^,ob>a,故A錯誤；

41,

B.當a=10,c=5,b=—a+—c=9a>b>c,故B錯誤；

C.a-6=4(6-c)整理可得b=故C錯誤；

41

D.a-c=5(a-b)整理可得6=1.+不，故D正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(2022?黑龍江齊齊哈爾)由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖都是如圖

所示的“田”字形，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少為()

A.4個B.5個C.6個D.7個

【答案】C

【解析】

【分析】

從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從左視圖可以看出第二層的個數(shù)，從而算出總的個

數(shù).

【詳解】

解：由題中所給出的左視圖知物體共兩層，每一層都是兩個小正方體；

從俯視圖可以可以看出最底層的個數(shù)

所以圖中的小正方體最少2+4=6.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查.如果掌

握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案.

25.（2022?黑龍江牡丹江）左下圖是一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖.這個幾何體只能是

（）

三Eb口

主視圖左視圖俯視圖

A.哥B.例C.D.

【答案】A

【解析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)幾何體的主視圖可判斷C不合題意；根據(jù)左視圖可得B、D不合題意，因此選項A正確,

故選A.

考點：幾何體的三視圖

26.（2021?山東荷澤）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標數(shù)據(jù)計算這個幾何體的體積為（）

A.12兀B.18萬C.247D.30%

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖可以確定該幾何體是空心圓柱體，再利用已知數(shù)據(jù)計算空心圓柱體的體積.

【詳解】

解：先由三視圖確定該幾何體是空心圓柱體，底面外圓直徑是4,內(nèi)圓直徑是2,高是6.

空心圓柱體的體積為7tx（-1）2x6-7ixf|）2/6=18兀.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查由三視圖確定幾何體和求圓柱體的體積，考查學生的空間想象.

27.（2021?江蘇南京）如圖，正方形紙板的一條對角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對

角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

因為中心投影物體的高和影長成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項即可找到符合題意

的選項

【詳解】

因為正方形的對角線互相垂直，且一條對角線垂直地面，光源與對角線組成的平面垂直于地面，則有影子

的對角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長影子會更長一些，

故選D

【點睛】

本題考查了中心投影的概念，應用，利用中心投影的特點，理解中心投影物體的高和影長成比例是解題的

關(guān)鍵.

28.（2021?內(nèi)蒙古赤峰）如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位cm）,則這個幾何體的側(cè)面積為（）

A.48兀c/B.24兀c/C.12itcm2D.9ncm2

【答案】B

【解析】

【分析】

先判斷這個幾何體為圓錐，同時得到圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,然后利用扇形的面積公式計算

這個圓錐的側(cè)面積.

【詳解】

解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,

所以這個幾何體的側(cè)面積=gX7tx6x8=24兀（cm2）.

故選：B.

【點睛】

本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑

等于圓錐的母線長.也考查了三視圖.

29.（2021?內(nèi)蒙古通遼）如圖，是由若干個相同的小正方形搭成的一個幾何體的主視圖和左視圖，則組成這

個幾何體的小正方形的個數(shù)不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)主視圖和左視圖畫出可能的俯視圖即可解答.

【詳解】

由主視圖和左視圖得到俯視圖中小正方形的個數(shù)可能為：

???這個幾何體的小正方形的個數(shù)可能是3個、4個或5個，

故選：D.

【點睛】

此題考查由三視圖判斷幾何體，正確掌握各種簡單幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

30.（2020?四川）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，根據(jù)圖中給定數(shù)據(jù)求出表面積即可.

【詳解】

4

由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，且底面半徑為，=彳=2,

???這個幾何體的表面積

=底面圓的面積+圓柱的側(cè)面積+圓錐的側(cè)面積

=71rl+2兀rh+7irl

=22K+2x2義2兀+3x2兀=18兀，

故選：B.

【點睛】

本題考查了由三視圖判斷幾何體、圓錐和圓柱的計算，由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組

合體是解題的關(guān)鍵.

31.（2020?內(nèi)蒙古赤峰）某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:。加）如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積是

65萬2c—cc

A.B.607rcm"C.65兀c“rD.130萬c"

2

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)三視圖判斷出該幾何體為圓錐，圓錐的高為12cm,底部圓的半徑為5cm,可用勾股定理求出圓錐

母線的長度，且圓錐側(cè)面積的計算公式為S圓錐惻=萬71,其中R為圓錐底部圓的半徑，/為母線的長度，將

其值代入公式，即可求出答案.

【詳解】

解：由三視圖可判斷出該幾何體為圓錐，圓錐的高為12cm,底部圓的半徑為5cm,

???圓錐母線長為：Z=V52+122=13cm,

又圓鏈惻=萬,五，/,將R=5cm,/=13cm代入，

???S圓錐惻=7,R./=657r（cm2）,

故選：C.

【點睛】

本題考察了用三視圖判斷幾何體形狀、勾股定理、圓錐側(cè)面積計算，解題的關(guān)鍵在于通過題目中已給出的

三視圖判斷出幾何體的形狀.

32.（2022?廣西）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，如

已知A43C中，乙4=30。，NC=3,乙4所對的邊為白，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖

的△NBC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（)

A.2月B.2>/3-3C.2百或百D.2月或26-3

【答案】C

【解析】

【分析】

分情況討論，當A48C是一個直角三角形時，當A43/C是一個鈍角三角形時，根據(jù)含30。的直角三角形的性

質(zhì)及勾股定理求解即可.

【詳解】

如圖，當A48C是一個直角三角形時，即/。=90。，

?.Z=30。,8c=5

AB=2BC=2g；

如圖，當"3/C是一個鈍角三角形時,

過點。作CDLAB],

ZCDA=90°=ZCDB,

???CB=CB[,

BD=B1D,

vZA=30°,AC=3f

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=6,

22

BtD=75]C-CD=^-=BD,

BBX—A/3,

AB】=AB—BB、=>/3,

綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為2百或G，

故選：C.

【點睛】

本題考查了根據(jù)已知條件作三角形，涉及含30。的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識點是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題

33.（2022?青海）由若干個相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示，那么構(gòu)成這個幾何體的小正方

體的個數(shù)是.

主視圖左視圖俯視圖

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖得出這個幾何體的構(gòu)成情況，由此即可得.

【詳解】

解：由三視圖可知，這個幾何體的構(gòu)成情況如下：（數(shù)字表示相應位置上小正方形的個數(shù)）

則構(gòu)成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是2+1+1+1=5,

故答案為：5.

【點睛】

本題考查了三視圖，熟練掌握三視圖是解題關(guān)鍵.

34.（2021?江蘇揚州）如圖是某圓柱體果罐，它的主視圖是邊長為10cm的正方形，該果罐側(cè)面積為

【答案】100萬

【解析】

【分析】

根據(jù)圓柱體的主視圖為邊長為10cm的正方形，得到圓柱的底面直徑和高，從而計算側(cè)面積.

【詳解】

解：???果罐的主視圖是邊長為10c加的正方形，為圓柱體，

圓柱體的底面直徑和高為10cm,

二側(cè)面積為10萬xl0=100萬,

故答案為：1007.

【點睛】

本題考查了幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得到幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù).

35.（2021?云南）如圖是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）.已知主視圖和

左視圖是兩個全等的矩形.若主視圖的相鄰兩邊長分別為2和3,俯視圖是直徑等于2的圓，則這個幾何體

的體積為

主視圖左視圖

俯視圖

【答案】37

【解析】

【分析】

由三視圖判斷出幾何體的形狀以及相關(guān)長度，根據(jù)圓柱的體積公式計算即可.

【詳解】

解：由三視圖可知：該幾何體是圓柱,

該圓柱的底面直徑為2,高為3,

2

???這個幾何體的體積為萬xIx3=3萬，

故答案為：37r.

【點睛】

本題考查了幾何體的三視圖，圓柱的體積，解題的關(guān)鍵是判斷出該幾何體為圓柱.

36.（2020?內(nèi)蒙古呼和浩特）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

【答案】3兀+4

【解析】

【分析】

首先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，然后計算其表面積即可.

【詳解】

解：觀察該幾何體的三視圖發(fā)現(xiàn)其為半個圓柱，

半圓柱的直徑為2,高為1,

故其表面積為：兀xp+（兀+2）義2=3兀+4,

故答案為：37T+4.

【點睛】

本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)三視圖得到幾何體的形狀，難度不大.

37.2020?湖南郴州）如圖，圓錐的母線長為10,側(cè)面展開圖的面積為60萬，則圓錐主視圖的面積為.

【答案】48

【解析】

【分析】

圓錐的主視圖是等腰三角形，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S=TH代入數(shù)據(jù)求出圓錐的底面半徑長，再由勾股定理求

出圓錐的高即可.

【詳解】

根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：S=7rrl,圓錐的母線長為10,側(cè)面展開圖的面積為60兀，

故6O7r=7t><l0><r,

解得：r=6.

由勾股定理可得圓錐的高=而==8

???圓錐的主視圖是一個底邊為12,高為8的等腰三角形，

;它的面積」xl2x8=48,

2

故答案為：48

【點睛】

本題考查了三視圖的知識，圓錐側(cè)面積公式的應用，正確記憶圓錐側(cè)面積公式是解題關(guān)鍵.

38.（2020?黑龍江齊齊哈爾）如圖是一個幾何體的三視圖，依據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，計算出這個幾何體的側(cè)面

積是.

【答案】65%

【解析】

【分析】

由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐，根據(jù)圖中給定數(shù)據(jù)求出母線/和底面圓半徑為r的長度，再套用

側(cè)面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：由三視圖可知，原幾何體為圓錐，設(shè)圓錐母線長為/,底面圓半徑為r

有/=13,r=5

S姬=?！?%*5*13=65%.

故答案為：6571.

【點睛】

本題考查了三視圖以及圓錐的側(cè)面積公式,其中根據(jù)幾何體的三視圖判斷出原幾何體是解題的關(guān)鍵，再套

用公式即可作答.

39.（2020?浙江金華）如圖為一個長方體,則該幾何體主視圖的面積為_____cm2.

電板rm,

【答案】20

【解析】

【分析】

根據(jù)從正面看所得到的圖形，即可得出這個幾何體的主視圖的面積.

【詳解】

解：該幾何體的主視圖是一個長為5,寬為4的矩形，所以該幾何體主視圖的面積為20cm2.

故答案為：20.

【點睛】

本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

40.（2021?江蘇無錫）下列命題中，正確命題的個數(shù)為.

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③邊長相等的兩個菱形都相似

④對角線相等的兩個矩形都相似

【答案】1

【解析】

【分析】

根據(jù)多邊形的判定方法對①進行判斷；利用菱形的定義對②進行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對③進行判斷；根

據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對④進行判斷.

【詳解】

解：所有的正方形都相似，所以①正確；

所有的菱形不一定相似，所以②錯誤；

邊長相等的兩個菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個菱形不一定相似所以③錯誤；

對角線相等的兩個矩形，對應邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯誤；

故答案是：1.

【點睛】

本題考查了判斷命題真假，熟練掌握圖形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

41.（2022?江蘇無錫）請寫出命題“如果。>6,那么6-。<0”的逆命題：.

【答案】如果6-°<0,那么a>6

【解析】

【分析】

根據(jù)逆命題的概念解答即可.

【詳解】

解：命題“如果。>6,那么6<0"的逆命題是“如果6-a<0,那么。>叱,

故答案為：如果6-a<0,那么。>6.

【點睛】

此題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的

結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

42.（2022?浙江湖州）“如果同=回，那么a="的逆命題是.

【答案】如果a=b,那么同=同

【解析】

【分析】

把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，從而得出答案.

【詳解】

解：“如果同=網(wǎng)，那么a=6”的逆命題是：

“如果a=6,那么同=網(wǎng)”,

故答案為：如果a=6,那么同=問.

【點睛】

本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握逆命題的定義.

43.（2020?北京）如圖是某劇場第一排座位分布圖：甲、乙、丙、丁四人購票，所購票分別為2,3,4,

5.每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位之和最小.如果按“甲、乙、

丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1,2號座位的票，乙購買3,5,7號座位的票，丙選座購票后，丁

無法購買到第一排座位的票.若丙第一購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條

件的購票的先后順序.

I..I

I舞臺I

【答案】丙，丁，甲，乙

【解析】

【分析】

根據(jù)甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)量分別為2,3,4,5可得若丙第一購票，要使其他三人都能購買

到第一排座位的票，那么丙選座要盡可能得小，因此丙先選擇：1,2,3,4.丁所購票數(shù)最多，因此應讓

丁第二購票，據(jù)此判斷即可.

【詳解】

解：丙先選擇：1,2,3,4.

丁選：5,7,9,11,13.

甲選：6,8.

乙選：10,12,14.

順序為丙，丁，甲，乙.

(答案不唯一)

【點睛】

本題考查有理數(shù)的加法，認真審題，理解題意是解題的關(guān)鍵.

44.(2012?天津)“三等分任意角”是數(shù)學史上一個著名問題?已知一個角4MAN設(shè)Na=g/MAN

(I)當NMAN=69。時，Na的大小為(度)；

(II)如圖，將4MAN放置在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平

行，另一邊AN經(jīng)過格點B,且AB=2.5cm.現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請你在圖中作出/a,并簡要

說明作法(不要求證明).

B7

/

/

A￡

A

【答案】(D23(II)見解析

【解析】

【詳解】

(I)23.

(II)如圖，讓直尺有刻度一邊過點A,設(shè)該邊與過點B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點C,與過點B水平方向

的網(wǎng)格線交于點D,保持直尺有刻度的一邊過點A,調(diào)整點C、D的位置，使CD=5cm,畫射線AD,此時

Z.MAD即為所求的Na.

BAD

/11

A

（I）根據(jù)題意，用69。乘以g,計算即可得解：1X69°=23°.

（II）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作以點B為直角頂點的直角三角形，并且使斜邊所在的直線過點A,且斜邊的長度為

5,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得斜邊上的中線等于AB的長度，再結(jié)合三角形的外角

性質(zhì)可知，ZBAD=2ZBDC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NBDC=NMAD,從而得到NMAD=g

ZMAN.

三、解答題

45.（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所示，在某一時刻，他

們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米,

其中。、C、D、F、G五點在同一直線上，4、B、。三點在同一直線上，且EF1FG.已知小明

的身高即為1.8米，求旗桿的高AB.

【答案】旗桿的高N3為3米.

【解析】

【分析】

證明利用相似比計算出/O的長，再證明然后利用相似比計算03的長,

進一步計算即可求解.

【詳解】

解：,.皿EG,

:.乙ADO=KEGF.

又?:乙4OD=AEFG=9Q°,

AAOD-AEFG.

AOOP

EF~FG'

同理，△BOJAAOD.

BOPC

"^4O~OD'

「八AOOC15x16-

D(J=-----------=---------=12.

OD20

；.AB=OA-OB=3(米).

???旗桿的高N5為3米.

【點睛】

本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行

投影.平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的.

46.(2020?四川攀枝花)實驗學校某班開展數(shù)學“綜合與實踐”測量活動.有兩座垂直于水平地面且高度不一

的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線九W的距離皆為100cm.王詩嬤觀測到高度90cm

矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知落在地面上的影

子皆與坡腳水平線九W互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，=1:0.75,在不計圓柱厚度與影子

寬度的情況下，請解答下列問題：

(1)若王詩嬤的身高為150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm?

(2)猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi).請直接回答這

個猜想是否正確？

(3)若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm,則高圓柱的高度為多少cm?

【答案】(1)120cm；(2)正確；(3)280cm

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)同一時刻，物長與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問題.

(2)根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線血W互相垂直，并視太陽光為平行光，結(jié)合橫截面分析可得;

(3)過點F作FG1CE于點G,設(shè)FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和FG,得到BG,過點F作

FH1AB于點H,再根據(jù)同一時刻身高與影長的比例，求出AH的長度，即可得到AB.

【詳解】

解：(1)設(shè)王詩嬤的影長為xcm,

,口90150

由題意可得：—=---，

72x

解得：x=120,

經(jīng)檢驗：x=120是分式方程的解，

王詩嬤的的影子長為120cm；

(2)正確，

因為高圓柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

???高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)；

(3)如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，4CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，

過點F作FG1CE于點G,

由題意可得：BC=100,CF=100,

???斜坡坡度，=1:0.75,

DEFG14

“瓦一節(jié)一誣一晨

.?.設(shè)FG=4m,CG=3m,在4CFG中，

(4加y+(3機『=10()2,

解得:m=20,

.?.CG=60,FG=80,

.-.BG=BC+CG=160,

過點F作FH1AB于點H,

:同一時刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm,

FG1BE,AB1BE,FH1AB,

可知四邊形HBGF為矩形,

90_AH_AH

T2~HF~^G

AH=—xBG=—xl60=200,

??.AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圓柱的高度為280cm.

BCGE

【點睛】

本題考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解實際物

體與影長之間的關(guān)系解決問題，屬于中考?？碱}型.

47.（2022?廣西貴港）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：

如圖，已知線段〃求作ZA=90°,AB=m,BC=n.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

作直線/及/上一點/；過點/作/的垂線；在/上截取43=?。蛔?C=〃；即可得到

【詳解】

解：如圖所示：A/3C為所求.

注：（1）作直線/及/上一點4;

（2）過點4作/的垂線；

（3）在/上截取/3=加；

（4）作8C=".

【點睛】

本題考查作圖——復雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型.

48.（2022?湖南永州）如圖，8。是平行四邊形/BCD的對角線，BF平分NDBC,交CD于點F.

（1）請用尺規(guī)作N/D2的角平分線交4B于點、E（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認答案后，請用

黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）;

（2）根據(jù)圖形猜想四邊形萬為平行四邊形，請將下面的證明過程補充完整.

證明：???四邊形48CD是平行四邊形，

AD//BC

?：/ADB=N（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又DE平分AADB,BF平分ZDBC,

ZEDB=-NADB,ZDBF=-ZDBC

22

???ZEDB=NDBF

-.DEH（）（填推理的依據(jù)）

又???四邊形/BCD是平行四邊形

BE//DF

???四邊形D班廠為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）.

【答案】（1）詳見解析

（2"DBC；BF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)作角平分線的步驟作。E平分N4D2即可;

（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；

（1）

解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到?！?即為所求;

⑵

證明：???四邊形”CD是平行四邊形,

AD//BC

ZADB=ZDBC.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又?；DE平分NADB,BF平分ZDBC,

ZEDB=-ZADB,NDBF=-NDBC

22

???NEDB=ZDBF.

???DEIIBF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）

又,??四邊形N8C。是平行四邊形.

BE//DF,

.??四邊形。鹿廠為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應用是解題的關(guān)鍵.

49.（2022?山東青島）已知：Rt^ABC,Z5=90°.

求作：點尸，使點尸在A/8C內(nèi)部，且PB=PC,/PBC=45°.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

分別以點2、C為圓心，大于2c長的一半為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，然后再以點8為圓心，適

當長為半徑畫弧，交4B、8C于點初、N,以點M、N為圓心，大于長一半為半徑畫弧，交于一點0,

連接80,進而問題可求解.

【詳解】

解：如圖，點尸即為所求：

【點睛】

本題主要考查角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)

鍵.

50.(2022?黑龍江綏化)已知:AABC.

(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出A/BC內(nèi)切圓的圓心。；(只保留作圖痕跡，不寫作法和證明)

(2)如果A48C的周長為14cm,內(nèi)切圓的半徑為1.3cm,求A48C的面積.

【答案】(1)作圖見詳解

(2)9.1

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知角平分線的交點為三角形內(nèi)切圓的圓心，故只要作出兩個角的角平分線即可；

(2)利用割補法，連接CM,OB,OC,作。。L48,OE1BC,OF1AC,這樣將A48C分成三個小三角形,

這三個小三角形分別以418c的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，利用提取公因式可將周長代入，進而求出

三角形的面積.

(1)

解：如下圖所示，。為所求作點，

⑵

解：如圖所示，連接CM,OB,OC,作0D1N5,OELBC,OFLAC,

A

???內(nèi)切圓的半徑為1.3cm,

：.OD=OF=OE=L3,

?.?三角形N8C的周長為14,

：.AB+BC+AC=\A,

則S/XABC=SAAOB+SACOB+SAAOCAB-OD+^-BC-OE+^-AC-OF

=1xl.3x（yiJB+SC+JC）=1xl,3xl4=9.1

故三角形4BC的面積為9.1.

【點睛】

本題考查三角形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，割補法求幾何圖形的面積，能夠?qū)⒔瞧椒志€的性質(zhì)與三角形

的內(nèi)切圓相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

51.（2022?江蘇揚州）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

【初步嘗試】如圖1,已知扇形。請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心。作一條直線，使扇形的面積被

這條直線平分；

【問題聯(lián)想】如圖2,已知線段請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以為斜邊的等腰直角三角形

MNP；

【問題再解】如圖3,已知扇形。請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點。為圓心的圓弧，使扇形的

面積被這條圓弧平分